Normalt utrymme

För normalt vektorrum, se normal (geometri) .

Separationsaxiom i topologiska utrymmen
Kolmogorov- klassificering
T0	(Kolmogorov)
T 1	(Fréchet)
T 2	(Hausdorff)
T 2 ½	(Urysohn)
helt T 2	(helt Hausdorff)
T 3	(vanlig Hausdorff)
T 3½	(Tychonoff)
T 4	(normal Hausdorff)
T 5	(helt normal Hausdorff)
T 6	(helt normal Hausdorff)
Historia

Inom topologi och relaterade grenar av matematiken är ett normalrum ett topologiskt rum X som uppfyller Axiom T ₄ : varannan disjunkta slutna uppsättningar av X har disjunkta öppna grannskap . Ett normalt Hausdorff-utrymme kallas också ett T ₄ -utrymme . Dessa villkor är exempel på separationsaxiom och deras ytterligare förstärkningar definierar helt normala Hausdorff-rum , eller T ₅ -rum , och perfekt normala Hausdorff-rum , eller T _6- rum .

Definitioner

Ett topologiskt utrymme X är ett normalt utrymme om, givet några disjunkta slutna mängder E och F , det finns kvarter U av E och V av F som också är disjunkta. Mer intuitivt säger detta villkor att E och F kan separeras av stadsdelar .

De slutna uppsättningarna E och F , här representerade av slutna skivor på motsatta sidor av bilden, är åtskilda av sina respektive kvarter U och V , här representerade av större, men fortfarande osammanhängande, öppna skivor.

Ett T ₄ mellanslag är ett T ₁ mellanslag X som är normalt; detta motsvarar att X är normalt och Hausdorff .

Ett helt normalt utrymme , eller ärftligt normalt utrymme , är ett topologiskt utrymme X så att varje delrum av X med delrumstopologi är ett normalt utrymme. Det visar sig att X är helt normalt om och bara om varannan separerade uppsättning kan separeras av grannskap. Dessutom X helt normalt om och endast om varje öppen delmängd av X är normal med subrymdstopologin.

Ett T ₅ mellanslag , eller helt T ₄ mellanslag , är ett helt normalt T ₁ mellanslag X , vilket antyder att X är Hausdorff; på motsvarande sätt måste varje delrum av X vara ett T ₄ -mellanslag.

Ett helt normalt utrymme är ett topologiskt utrymme $X$ där varannan osammanhängande slutna uppsättning $E$ och $F$ kan separeras exakt med en funktion , i den meningen att det finns en kontinuerlig funktion $f$ från $X$ till intervallet $[0,1]$ så att $f^{-1}(0 )=E$ och $f^{-1}(1)=F$ . (Detta är en starkare separationsegenskap än normalitet, eftersom disjunkta slutna mängder i ett normalt rum kan separeras med en funktion , i betydelsen $}(0)}$${\displaystyle E\subseteq f^{-1 enligt$ Urysohns lemma och ${\displaystyle F\subseteq f^{-1}(1)} ,$ men inte exakt separerade i allmänhet.) Det visar sig att X är helt normalt om och bara om X är normal och varje sluten mängd är en G _δ -mängd . På motsvarande sätt X helt normalt om och endast om varje sluten uppsättning är en nolluppsättning . Motsvarigheten mellan dessa tre karakteriseringar kallas Vedenissoffs teorem. Varje helt normalt utrymme är helt normalt, eftersom perfekt normalitet är en ärftlig egenskap .

Ett T ₆ -utrymme , eller perfekt T ₄ -utrymme , är ett helt normalt Hausdorff-utrymme.

Observera att termerna "normalt utrymme" och "T ₄ " och härledda begrepp ibland har en annan betydelse. (Icke desto mindre betyder "T ₅ " alltid detsamma som "helt T ₄ ", vad det än må vara.) Definitionerna som ges här är de som vanligtvis används idag. För mer om den här frågan, se Historia om separationsaxiomen .

Termer som "normalt vanligt utrymme " och "normalt Hausdorff-utrymme" dyker också upp i litteraturen - de betyder helt enkelt att utrymmet både är normalt och uppfyller det andra villkoret som nämns. I synnerhet är ett vanligt Hausdorff-utrymme samma sak som ett T ₄ -utrymme. Med tanke på den historiska förvirringen av termernas innebörd är verbala beskrivningar när de är tillämpliga användbara, det vill säga "normal Hausdorff" istället för "T 4 ", _eller "helt normal Hausdorff" istället för "T ₅ ".

Helt normala utrymmen och helt T ₄ utrymmen diskuteras på annat håll; de är relaterade till parakompakthet .

Ett lokalt normalt utrymme är ett topologiskt utrymme där varje punkt har ett öppet kvarter som är normalt. Varje normalt utrymme är lokalt normalt, men det omvända är inte sant. Ett klassiskt exempel på ett helt regelbundet lokalt normalt utrymme som inte är normalt är Nemytskii-planet .

Exempel på normala utrymmen

De flesta utrymmen som påträffas i matematisk analys är normala Hausdorff-utrymmen, eller åtminstone normala reguljära utrymmen:

• Alla metriska utrymmen (och därmed alla mätbara utrymmen ) är helt normala Hausdorff;
• Alla pseudometriska utrymmen (och därmed alla pseudometriska utrymmen ) är helt normala regelbundna, men inte i allmänhet Hausdorff;
• Alla kompakta Hausdorff-utrymmen är normala;
• I synnerhet är Stone–Čech-komprimeringen av ett Tychonoff-utrymme normal Hausdorff;
• Genom att generalisera ovanstående exempel är alla parakompakta Hausdorff-utrymmen normala, och alla parakompakta reguljära mellanslag är normala;
• Alla parakompakta topologiska grenrör är helt normala Hausdorff. Det finns dock icke-parakompakta grenrör som inte ens är normala.
• Alla ordertopologier på helt beställda set är ärftligt normala och Hausdorff.
• Varje vanligt sekundräknat utrymme är helt normalt, och varje vanligt Lindelöf-utrymme är normalt.

Alla helt normala utrymmen är också normala (även om de inte är vanliga). Sierpiński utrymme är ett exempel på ett normalt utrymme som inte är regelbundet.

Exempel på icke-normala utrymmen

Ett viktigt exempel på en icke-normal topologi ges av Zariski-topologin på en algebraisk variation eller på spektrumet av en ring, som används i algebraisk geometri .

Ett icke-normalt utrymme av viss relevans för analys är det topologiska vektorutrymmet för alla funktioner från den reella linjen R till sig själv, med topologin för punktvis konvergens . Mer generellt säger en teorem av Arthur Harold Stone att produkten av oräkneligt många icke - kompakta metriska utrymmen aldrig är normal.

Egenskaper

Varje sluten delmängd av ett normalt utrymme är normalt. Den kontinuerliga och slutna bilden av ett normalt utrymme är normal.

Den huvudsakliga betydelsen av normala utrymmen ligger i det faktum att de medger "tillräckligt" kontinuerliga reella funktioner , som uttrycks av följande satser giltiga för alla normala utrymme X .

Urysohns lemma : Om A och B är två disjunkta slutna delmängder av X , så finns det en kontinuerlig funktion f från X till den reella linjen R så att f ( x ) = 0 för alla x i A och f ( x ) = 1 för alla x i B. _ Faktum är att vi kan ta att värdena på f ligger helt inom enhetsintervallet [0,1]. (I mer avancerade termer är osammanhängande slutna uppsättningar inte bara åtskilda av grannskap, utan också åtskilda av en funktion .)

Mer allmänt, Tietze förlängningssats : Om A är en sluten delmängd av X och f är en kontinuerlig funktion från A till R , så finns det en kontinuerlig funktion F : X → R som sträcker sig f i den meningen att F ( x ) = f ( x ) för alla x i A.

Kartan $\emptyset \rightarrow X$ har lyftegenskapen med avseende på en karta från ett visst ändligt topologiskt utrymme med fem punkter (två öppna och tre stängda) till utrymmet med en öppen och två stängda punkter.

Om U är ett lokalt ändligt öppet täcke av ett normalutrymme X , så finns det en partition av enhet som är exakt underordnad U . (Detta visar förhållandet mellan normala utrymmen och parakompakthet .)

Faktum är att varje utrymme som uppfyller något av dessa tre villkor måste vara normalt.

En produkt av normala utrymmen är inte nödvändigtvis normal. Detta faktum bevisades först av Robert Sorgenfrey . Ett exempel på detta fenomen är Sorgenfrey-planet . Faktum är att eftersom det finns utrymmen som är Dowker , en produkt av ett normalt utrymme och [0, 1] behöver inte vara normala. Dessutom behöver inte en delmängd av ett normalt utrymme vara normalt (dvs. inte varje normalt Hausdorff-utrymme är ett helt normalt Hausdorff-utrymme), eftersom varje Tychonoff-utrymme är en delmängd av dess Stone–Čech-komprimering (vilket är normal Hausdorff). Ett mer explicit exempel är Tychonoff-plankan . Den enda stora klassen av produktutrymmen av normala utrymmen som är kända för att vara normala är produkterna från kompakta Hausdorff-utrymmen, eftersom både kompakthet ( Tychonoffs sats ) och T ₂ -axiom bevaras under godtyckliga produkter.

Relationer till andra separationsaxiom

₀ Om ett normalt mellanslag är R ₀ , så är det faktiskt helt regelbundet . Allt från "normalt R " till "normalt helt regelbundet" är alltså detsamma som det vi brukar kalla normalt regelbundet . Om vi ​​tar Kolmogorov-kvoter ser vi att alla normala T _{1 -} mellanslag är Tychonoff . Det här är vad vi brukar kalla för normala Hausdorff- utrymmen.

Ett topologiskt utrymme sägs vara pseudonormalt om det ges två disjunkta slutna uppsättningar i det, varav en kan räknas, det finns disjunkta öppna uppsättningar som innehåller dem. Varje normalt utrymme är pseudonormalt, men inte vice versa.

Motexempel till vissa varianter av dessa påståenden finns i listorna ovan. Närmare bestämt Sierpiński-utrymmet normalt men inte regelbundet, medan utrymmet för funktioner från R till sig självt är Tychonoff men inte normalt.

Se även

• Samlingsmässigt normalrum – Egenskapen hos topologiska utrymmen starkare än normaliteten
• Monotont normalt utrymme – Egenskapen hos topologiska utrymmen starkare än normaliteten

Citat

•   Engelking, Ryszard , General Topology , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4
•   Kemoto, Nobuyuki (2004). "Högre separationsaxiom". I KP Hart; J. Nagata; JE Vaughan (red.). Encyclopedia of General Topology . Amsterdam: Elsevier Science . ISBN 978-0-444-50355-8 .
•   Munkres, James R. (2000). Topologi (2:a uppl.). Prentice-Hall . ISBN 978-0-13-181629-9 .
• Sorgenfrey, RH (1947). "Om den topologiska produkten av parakompakta utrymmen" . Tjur. Amer. Matematik. Soc . 53 (6): 631–632. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08858-3 .
• Stone, AH (1948). "Parakompakthet och produktutrymmen" . Tjur. Amer. Matematik. Soc . 54 (10): 977–982. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09118-2 .
•   Willard, Stephen (1970). Allmän topologi . Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 978-0-486-43479-7 .