Borel funktionell kalkyl

I funktionell analys , en gren av matematiken , är Borel funktionell kalkyl en funktionell kalkyl (det vill säga en tilldelning av operatorer från kommutativa algebror till funktioner definierade på deras spektra ), som har särskilt bred räckvidd. Således ^, till exempel om T är en operator, ger användandet ^av kvadreringsfunktionen s → s2 till T operatorn T2 . Genom att använda funktionskalkylen för större klasser av funktioner kan vi till exempel strikt definiera "kvadratroten" av den (negativa) Laplacian operatorn −Δ eller den exponentiella $e^{it\Delta }.$

"Omfattningen" betyder här den typ av funktion hos en operatör som är tillåten. Borel-funktionskalkylen är mer allmän än den kontinuerliga funktionella kalkylen , och dess fokus är annorlunda än den holomorfa funktionella kalkylen .

Närmare bestämt tillåter Borel-funktionskalkylen att applicera en godtycklig Borel-funktion på en självadjoint operator , på ett sätt som generaliserar tillämpningen av en polynomfunktion .

Motivering

Om T är en självadjoint operator på ett ändligt dimensionellt inre produktrum H , så har H en ortonormal bas { e ₁ , ..., e _ℓ } bestående av egenvektorer för T , dvs.

$$Te_{k}=\lambda _{k}e_{k},\qquad 1\leq k\leq \ell .$$

Således, för varje positivt heltal n ,

$$T^{n}e_{k}=\lambda _{k}^{n}e_{k}.$$

Om endast polynom i T beaktas, så får man den holomorfa funktionella kalkylen . Är det möjligt att få mer allmänna funktioner för T ? Ja det är det. Givet en Borel-funktion h , kan man definiera en operator h ( T ) genom att specificera dess beteende på basis av:

$$h(T)e_{k}=h(\lambda _{k})e_{k}.$$

är vilken som helst självadjoint operator T enhetligt ekvivalent med en multiplikationsoperator; detta innebär att T för många ändamål kan betraktas som en operatör

$$[T\psi ](x)=f(x)\psi (x)$$

verkar på L ² av något måttutrymme . Domänen av T består av de funktioner vars uttryck ovan är i L ² . I ett sådant fall kan man definiera analogt

$$[h(T)\psi ](x)=[h\circ f](x)\psi (x).$$

För många tekniska ändamål är den tidigare formuleringen tillräckligt bra. Det är dock önskvärt att formulera funktionskalkylen på ett sätt som inte beror på den speciella representationen av T som en multiplikationsoperator. Det är vad vi gör i nästa avsnitt.

Den avgränsade funktionella kalkylen

Formellt är den avgränsade Borel-funktionella kalkylen för en självadjoint operator T på Hilbert-rymden H en avbildning definierad på rymden av avgränsade komplexvärdade Borel-funktioner f på den reella linjen,

$${\begin{cases}\pi _{T}:L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\\f\mapsto f(T)\end{cases}}$$

så att följande villkor gäller

• π _T är en involutionsbevarande och enhetsbevarande homomorfism från ringen av komplext värderade avgränsade mätbara funktioner på R .
• Om ξ är ett element av H , då
  $$\nu _{\xi }:E\mapsto \langle \pi _{T}(\mathbf {1} _{E})\ xi ,\xi \rangle$$
  är ett räknat additivt mått på Borel-uppsättningarna E av R . I formeln ovan betecknar 1 _E indikatorfunktionen för E . Dessa mått ν _ξ kallas spektralmåtten för T .
• Om η anger avbildningen z → z på C , då:
  $$\pi _{T}\left([\eta +i]^{-1}\right)=[T+i]^{-1}.$$

Teorem — Varje självadjoint operator T har en unik Borel funktionell kalkyl.

Detta definierar funktionskalkylen för avgränsade funktioner som tillämpas på möjligen obegränsade självanslutande operatorer. Med hjälp av den avgränsade funktionella kalkylen kan man bevisa en del av stenens sats om enhetsgrupper med en parameter :

Teorem — Om A är en självadjoint operator, då

$$U_{t}=e^{itA},\qquad t\in \mathbb {R}$$

är en 1-parameter starkt kontinuerlig enhetlig grupp vars infinitesimalgenerator är iA .

Som en tillämpning betraktar vi Schrödinger-ekvationen , eller motsvarande, dynamiken i ett kvantmekaniskt system. Inom den icke-relativistiska kvantmekaniken , modellerar den Hamiltonska operatören H den totala observerbara energin för ett kvantmekaniskt system S . Den enhetliga gruppen som genereras av iH motsvarar tidsutvecklingen av S .

Vi kan också använda Borels funktionell kalkyl för att abstrakt lösa några linjära initiala värdeproblem som värmeekvationen eller Maxwells ekvationer.

Förekomsten av en funktionell kalkyl

Förekomsten av en mappning med egenskaperna hos en funktionskalkyl kräver bevis. För fallet med en bounded self-adjoint operator T , kan förekomsten av en Borel funktionell kalkyl visas på ett elementärt sätt enligt följande:

Gå först från polynom till kontinuerlig funktionell kalkyl genom att använda Stone–Weierstrass-satsen . Det avgörande faktumet här är att för en avgränsad självadjoint operator T och ett polynom p ,

$$\|p(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|p(\lambda )|.$$

Följaktligen kartläggningen

$$p\mapsto p(T)$$

är en isometri och en tätt definierad homomorfism på ringen av polynomfunktioner. Utvidgning med kontinuitet definierar f ( T ) för en kontinuerlig funktion f på spektrumet av T. Riesz -Markovs sats låter oss sedan gå från integration på kontinuerliga funktioner till spektralmått , och detta är Borels funktionell kalkyl.

Alternativt kan den kontinuerliga kalkylen erhållas via Gelfand-transformen , i samband med kommutativa Banach-algebror. Utvidgning till mätbara funktioner uppnås genom att tillämpa Riesz-Markov, enligt ovan. I denna formulering T vara en normal operatör .

Givet en operator T , är intervallet för den kontinuerliga funktionella kalkylen h → h ( T ) den (abelska) C*-algebra C ( T ) som genereras av T. Borel-funktionskalkylen har ett större intervall, det vill säga stängningen av C ( T ) i den svaga operatortopologin , en (fortfarande abelsk) von Neumann-algebra .

Den allmänna funktionskalkylen

Vi kan också definiera den funktionella kalkylen för inte nödvändigtvis avgränsade Borel-funktioner h ; resultatet är en operator som i allmänhet inte kan begränsas. Med hjälp av multiplikationen med en funktion f- modell av en självadjoint operator som ges av spektralsatsen, är detta multiplikation med sammansättningen av h med f .

Sats — Låt T vara en självadjoint operator på H , h en realvärderad Borel-funktion på R . Det finns en unik operatör S sådan att

$$\operatörsnamn {dom} S=\left\{\xi \in H:h\in L_{\nu _{\xi }}^{2}(\mathbb {R} )\right\}$$

$$\langle S\xi ,\xi \rangle =\int _{\mathbb {R} } h(t)\ d\nu _{\xi}(t),\quad {\text{för}}\quad \xi \i \operatörsnamn {dom} S$$

Operatorn S för föregående sats betecknas h ( T ).

Mer generellt finns en Borel-funktionskalkyl också för (avgränsade) normala operatorer.

Se även: Driftskalkyl

Upplösning av identiteten

Låt T vara en självtillslutande operatör. Om E är en Borel-delmängd av R , och 1 _E är indikatorfunktionen för E , så är 1 _E ( T ) en självtillslutande projektion på H. Sedan kartläggning

$$\Omega :E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)$$

är ett projektionsvärderat mått som kallas upplösningen av identiteten för den självanslutna operatören T . Måttet på R med avseende på Ω är identitetsoperatorn på H . Med andra ord kan identitetsoperatorn uttryckas som den spektrala integralen ${\textstyle I=\int 1\,d\Omega }$ . Ibland används termen "upplösning av identiteten" också för att beskriva denna representation av identitetsoperatorn som en spektral integral.

I fallet med ett diskret mått (särskilt när H är finitdimensionell) kan ${\textstyle I=\int 1\,d\Omega }$ skrivas som

$$I=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|$$

i Dirac-notationen, där varje $|i\rangle$ är en normaliserad egenvektor till T . Uppsättningen $\{|i\rangle \}$ är en ortonormal bas för H .

I fysiklitteraturen, med användning av ovanstående som heuristisk, går man över till fallet när det spektrala måttet inte längre är diskret och skriver identitetens upplösning som

$$I=\int \!\!di~|i\rangle \langle i|$$

och tala om en "kontinuerlig bas", eller "kontinuum av bastillstånd", $\{|i\rangle \}$ Matematiskt, om inte rigorösa motiveringar ges, är detta uttryck rent formellt.