Bilinjär karta

I matematik är en bilinjär karta en funktion som kombinerar beståndsdelar av två vektorrum för att ge ett element av ett tredje vektorrum, och är linjär i vart och ett av dess argument. Matrismultiplikation är ett exempel.

Definition

Vektor utrymmen

Låt $V,W$ och $X$ vara tre vektorrum över samma basfält F $\displaystyle F}$ . En bilinjär karta är en funktion

B:V\times W\to X

så att för alla

w\in W

, kartan

B_{w}

v\mapsto B(v,w)

är en linjär karta från

V

till

X,

och för alla

v\in V

, kartan

B_{v}

w\mapsto B(v,w)

är en linjär karta från

W

till

X.

Med andra ord, när vi håller den första posten i den bilinjära kartan fixerad medan vi låter den andra posten variera, blir resultatet en linjär operator, och på samma sätt när vi håller den andra posten fixerad.

En sådan karta $B$ uppfyller följande egenskaper.

För alla $\lambda \in F$ , $B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).$
Kartan $B$ är additiv i båda komponenterna: om $v_{1},v_{2}\in V$ och $w_{1},w_{2}\in W,$ sedan $B(v_{1} +v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)$ och $B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).$

Om $V=W$ och vi har B ( v , w ) = B ( w , v ) för alla $v,w\in V,$ så säger vi att B är symmetrisk . Om X är basfältet F , så kallas kartan en bilinjär form , som är väl studerade (till exempel: skalär produkt , inre produkt och kvadratisk form ).

Moduler

Definitionen fungerar utan några förändringar om vi istället för vektorrum över ett fält F använder moduler över en kommutativ ring R . Den generaliserar till n -ära funktioner, där den korrekta termen är multilinjär .

För icke-kommutativa ringar R och S , en vänster R -modul M och en höger S -modul N , är en bilinjär karta en karta B : M × N → T med T an ( R , S ) -bimodul , och för vilken vilket n som helst i N , m ↦ B ( m , n ) är en R - modulhomomorfism, och för vilken m som helst i M är n ↦ B ( m , n ) en S -modulhomomorfism. Detta tillfredsställer

B ( r ⋅ m , n ) = r ⋅ B ( m , n )

B ( m , n ⋅ s ) = B ( m , n ) ⋅ s

för alla m i M , n i N , r i R och s i S , samt att B är additiv i varje argument.

Egenskaper

0 En omedelbar konsekvens av definitionen är att B ( v , w ) = 0 _X när v = 0 _V eller w = 0 _W . Detta kan ses genom att skriva nollvektorn _V som 0 ⋅ 0 _V (och på liknande sätt för 0 _W ) och flytta skalären 0 "utanför", framför B , genom linjäritet.

Mängden L ( V , W ; X ) för alla bilinjära kartor är ett linjärt delrum av rummet ( dvs. vektorrymden , modul ) för alla kartor från V × W till X .

Om V , W , X är ändliga dimensionella , så är L ( V , W ; X ) det också . För $X=F,$ det vill säga bilinjära former, är dimensionen för detta utrymme dim V × dim W (medan mellanrummet L ( V × W ; F ) för linjära former har dimensionen dim V + svagt W ). För att se detta, välj en grund för V och W ; då kan varje bilinjär karta representeras unikt av matrisen _versa_. B ( ei , fj ) och vice Nu, om X är ett rum med högre dimension, har vi uppenbarligen dim L ( V , W ; X ) = dim V × dim W × dim X .

Exempel

Matrismultiplikation är en bilinjär karta M( m , n ) × M( n , p ) → M( m , p ) .
Om ett vektorrum V över de reella talen $\mathbb {R}$ bär en inre produkt , då är den inre produkten en bilinjär karta $V\times V\to \mathbb {R} .$ Produktens vektorutrymme har en dimension.
I allmänhet, för ett vektorrum V över ett fält F , är en bilinjär form på V densamma som en bilinjär karta V × V → F .
Om V är ett vektorrum med dubbelrum V ^∗ , då är applikationsoperatorn, b ( f , v ) = f ( v ) en bilinjär avbildning från V ^∗ × V till basfältet.
Låt V och W vara vektorrum över samma basfält F . Om f är en medlem av V ^∗ och g en medlem av W ^∗ , då definierar b ( v , w ) = f ( v ) g ( w ) en bilinjär karta V × W → F .
Korsprodukten i $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.$ en bilinjär karta ×
Låt $B:V\times W\to X$ vara en bilinjär karta, och $L:U\to W$ vara en linjär karta , då ( v , u ) ↦ B ( v , Lu ) är en bilinjär karta på V × U .

Kontinuitet och separat kontinuitet

Antag att ${ och }}Z}$ är topologiska vektorrum och låt $b:X\ gånger Y\to Z$ vara en bilinjär karta. Då sägs b vara separat kontinuerlig om följande två villkor gäller:

för alla $x\in X,$ kartan $Y\to Z$ ges av $y\mapsto b(x,y)$ är kontinuerlig;
för alla $y\in Y,$ kartan $X\to Z$ ges av $x\mapsto b(x,y)$ är kontinuerlig.

Många separat kontinuerliga bilinjära som inte är kontinuerliga uppfyller en ytterligare egenskap: hypokontinuitet . Alla kontinuerliga bilinjära kartor är hypokontinuerliga.

Tillräckliga förutsättningar för kontinuitet

Många bilinjära kartor som förekommer i praktiken är separat kontinuerliga men inte alla är kontinuerliga. Vi listar här tillräckliga förutsättningar för att en separat kontinuerlig bilinjär ska vara kontinuerlig.

Om X är ett Baire-rum och Y är mätbar så är varje separat kontinuerlig bilinjär karta $b:X\ gånger Y\till Z$ kontinuerlig.
Om ${ och }}Z}$ är de starka dualerna av Fréchet-rymden så är varje separat kontinuerlig bilinjär karta $b:X\ gånger Y\ till Z$ är kontinuerlig.
Om en bilinjär karta är kontinuerlig vid (0, 0) så är den kontinuerlig överallt.

Sammansättningskarta

Låt $X,Y,{\text{ och }}Z$ vara lokalt konvexa Hausdorff-mellanrum och ${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)} är$ kompositionskartan som definieras av $C(u,v):=v\circ u.$ I allmänhet är den bilinjära kartan $C$ inte kontinuerlig (oavsett vilka topologier utrymmena för linjära kartor ges). Vi har dock följande resultat:

Ge alla tre utrymmen av linjära kartor en av följande topologier:

ge alla tre topologin för begränsad konvergens;
ge alla tre topologin för kompakt konvergens;
ge alla tre topologin för punktvis konvergens.

Om $E$ är en ekvikontinuerlig delmängd av $L(Y;Z)$ så är begränsningen $C{\big \vert }_{L(X;Y)\ gånger E}:L(X ;Y)\ gånger E\ till L(X;Z)$ är kontinuerlig för alla tre topologierna.
Om $Y$ är ett hålrum så för varje sekvens ${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} som$ konvergerar till $u$ i $L(X;Y)$ och varje sekvens $\left(v_{i}\right)_{i =1}^{\infty }$ konvergerande till $v$ i $L(Y;Z),$ sekvensen ${ \displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} konvergerar$ till $v\circ u$ i $L(Y;Z).$

Se även

Tensorprodukt – Matematisk operation på vektorrum
Sesquilinear form – Generalisering av en bilinjär form
Bilinjär filtrering – Metod för att interpolera funktioner på ett 2D-rutnät
Multilinjär karta – Vektorvärderad funktion av flera vektorer, linjär i varje argument

Bibliografi

Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .

externa länkar

"Bilinear mapping" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]