Symmetriskt set

I matematik sägs en icke-tom delmängd S i en grupp G vara symmetrisk om den innehåller inverserna av alla dess element.

Definition

I setnotation kallas en delmängd $S$ av en grupp $G$ symmetrisk om närhelst ${\displaystyle s\in S} så$ tillhör inversen av ${\displaystyle s} också$$S.$ Så om $G$ skrivs multiplikativt så är $S$ symmetrisk om och endast om $S=S^{-1}$ där ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.} Om$ G $\displaystyle G}$ skrivs additivt så är $S$ symmetrisk om och endast om $S=-S$ där $-S:=\{-s:s\in S\}.$

Om $S$ är en delmängd av ett vektorrum så sägs $S$ vara en symmetrisk mängd om den är symmetrisk med avseende på vektorrummets additiva gruppstruktur ; det vill säga om $S=-S,$ vilket händer om och endast om $-S\subseteq S.$ Det symmetriska skrovet för en delmängd $S$ är den minsta symmetriska uppsättningen som innehåller $S,$ och den är lika med $S\cup -S.$ Den största symmetriska mängden som finns i $S$ är $S\cap -S.$

Tillräckliga förutsättningar

Godtyckliga föreningar och skärningspunkter mellan symmetriska mängder är symmetriska.

Varje vektordelrum i ett vektorrum är en symmetrisk uppsättning.

Exempel

I $\mathbb {R} ,$ är exempel på symmetriska mängder intervall av typen $(-k,k)$ med $k>0,$ och mängderna $mathbb {Z} }$$(-1,1).$ och

Om $S$ är någon delmängd av en grupp, då $S\cup S^{-1}$ och $S\cap S^{-1 }$ är symmetriska uppsättningar.

Varje balanserad delmängd av ett verkligt eller komplext vektorrum är symmetriskt.

Se även

• Absolut konvex uppsättning – konvex och balanserad uppsättning Sidor som visar wikidatabeskrivningar som reserv
• Absorberande set – Set som kan "blåses upp" för att nå vilken punkt som helst
• Balanserad uppsättning – Konstruera i funktionsanalys
• Begränsad mängd (topologiskt vektorrum) – Generalisering av begränsning
• Konvex mängd – I geometri, mängd vars skärning med varje linje är ett enda linjesegment
• Minkowski funktionell
• Stjärndomän – Egenskap för punktuppsättningar i euklidiska rum

• R. Cristescu, Topological vector spaces, Noordhoff International Publishing, 1977.
•    Rudin, Walter (1991). Funktionsanalys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .

Den här artikeln innehåller material från symmetrisk uppsättning på PlanetMath , som är licensierad under licensen Creative Commons Attribution/Dela Lika .