Utrymmen av testfunktioner och distributioner

Den här artikeln handlar om de topologiska vektorrymden som används för att definiera och använda Schwartz-distributioner. För mer grundläggande information om distributioner och operationer på dem, se Distribution (matematik) .

I matematisk analys är utrymmena för testfunktioner och fördelningar topologiska vektorrum ( TVS) som används i definitionen och tillämpningen av distributioner . Testfunktioner är vanligtvis oändligt differentierbara komplexa (eller ibland reellt värderade) funktioner på en icke-tom öppen delmängd $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ som har kompakt stöd . Utrymmet för alla testfunktioner, betecknat med $C_{c}^{\infty }(U),$ är försett med en viss topologi, kallad den kanoniska LF-topologin , som gör $C_{c}^{\infty }(U)$ till en komplett Hausdorff lokalt konvex TVS . Det starka dubbla utrymmet för $C_{c}^{\infty }(U)$ kallas distributionsutrymmet på $U$ och betecknas med ${\mathcal {D}}^{\prime }(U):=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right) _{b}^{\prime },$ där " $b$ " nedsänkt anger att det kontinuerliga dubbla utrymmet för $C_{c}^{\infty }(U ),$ betecknad med $\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)^{\prime },$ är utrustad med den starka dubbla topologin .

Det finns andra möjliga val för utrymmet av testfunktioner, som leder till andra olika utrymmen av distributioner. Om $U=\mathbb {R} ^{n}$ ger användningen av Schwartz-funktioner som testfunktioner upphov till ett visst delrum av ${\mathcal {D} }^{\prime }(U)$ vars element kallas tempererade distributioner . Dessa är viktiga eftersom de tillåter Fourier-transformen att utökas från "standardfunktioner" till tempererade distributioner. Uppsättningen av tempererade distributioner bildar ett vektordelrum av distributionsutrymmet ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ och är således ett exempel på ett utrymme av distributioner; det finns många andra distributionsutrymmen.

Det finns även andra huvudklasser av testfunktioner som inte är delmängder av $C_{c}^{\infty }(U),$ såsom utrymmen av analytiska testfunktioner , som producerar mycket olika klasser av distributioner. Teorin för sådana distributioner har en annan karaktär än den tidigare eftersom det inte finns några analytiska funktioner med icke-tomt kompakt stöd. Användning av analytiska testfunktioner leder till Satos teori om hyperfunktioner .

Notation

Följande notation kommer att användas i den här artikeln:

• $n$ är ett fixerat positivt heltal och $U$ är en fast icke-tom öppen delmängd av det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{n}.$
• $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ anger de naturliga talen .
• $k$ kommer att beteckna ett icke-negativt heltal eller $\infty .$
• Om $f$ är en funktion kommer $\operatorname {Dom} (f)$ att beteckna dess domän och stödet för $f,$ betecknat med $\operatorname {supp} (f),$ definieras som stängningen av mängden $\{x\in \operatorname { Dom} (f):f(x)\neq 0\}$ i $\operatörsnamn {Dom} (f).$
• För två funktioner $f,g:U\to \mathbb {C}$ , definierar följande notation en kanonisk parning :
  $$\langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.$$
• Ett multiindex med storlek $n$ är ett element i $\mathbb {N} ^{n}$ (förutsatt att $n$ är fast, om storleken på multiindex är utelämnad så bör storleken antas vara $n$ ). Längden på ett multiindex $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb { N} ^{n}}$ ( definieras som $\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ och betecknas med $|\alpha |.$ Multiindex är särskilt användbara när vi hanterar funktioner för flera variabler, i synnerhet introducerar vi följande notationer för ett givet multiindex $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ :
  $${\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\ alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \ partiell x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}$$
  Vi introducerar också en partiell ordning av alla multiindex med $\beta \geq \alpha$ om och endast om $\beta _{i}\geq \alpha _{i }$ för alla $1\leq i\leq n.$ När $\beta \geq \alpha$ definierar vi deras multiindex binomialkoefficient som:
  $${\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}} {\alpha _{n}}}.$$
• $\mathbb {K}$ kommer att beteckna en viss icke-tom samling av kompakta delmängder av $U$ (beskrivs i detalj nedan).

Definitioner av testfunktioner och distributioner

I det här avsnittet kommer vi formellt att definiera realvärderade distributioner på U . Med mindre modifieringar kan man också definiera fördelningar med komplexa värden, och man kan ersätta $\mathbb {R} ^{n}$ med vilken som helst ( parakompakt ) jämn grenrör .

Notation :

1. Låt $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.$
2. Låt $C^{k}(U)$ beteckna vektorrummet för alla k - gånger kontinuerligt differentierbara reella eller komplexa funktioner på U .
3. För varje kompakt delmängd $K\subseteq U,$ låt $C^{k}(K)$ och $C^{k }(K;U)$ betecknar båda vektorrymden för alla dessa funktioner $f\in C^{k}(U)$ så att $\operatörsnamn {supp} (f)\subseteq K.$
   • Observera att $C^{k}(K)$ beror på både K och U men vi kommer bara att indikera K , där i synnerhet om ${\displaystyle f\in C^{k}(K)} då$ är domänen för $f$ U snarare än K . Vi kommer att använda notationen $C^{k}(K;U)$ endast när notationen $C^{k}(K)$ riskerar att vara tvetydig .
   • 0 Varje $C^{k}(K)$ innehåller konstantkartan , även om $K=\varnothing .$
4. Låt $C_{c}^{k}(U)$ beteckna mängden av alla $f\in C^{k}(U)$ sådana att $f\in C^{k}(K)$ för någon kompakt delmängd K av U .
   • På motsvarande sätt är $C_{c}^{k}(U)$ mängden av alla $f\in C^{k}(U)$ så att $f$ har kompakt stöd .
   • $C_{c}^{k}(U)$ är lika med unionen av alla $C^{k}(K)$ som $K$ sträcker sig över $\mathbb {K} .$
   • Om $f$ är en verkligt värderad funktion på U , då är $f$ ett element av $C_{c}^{k}(U)$ om och endast om $f$ är en $C^{k}$ bump-funktion . Varje verkligt värderad testfunktion på $U$ är alltid också en komplext värderad testfunktion på $U.$

0 Grafen för bumpfunktionen ( $\displaystyle (x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),}$ där $r=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$ och $\Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.$ Denna funktion är en testfunktion på $\mathbb {R} ^{2}$ och är ett element i $c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}$ { Stödet för denna funktion är den slutna enhetsdisken i $\mathbb {R} ^{2}.$ Det är icke-noll på den öppna enhetsdisken och det är lika med överallt utanför den.

Observera att för alla $j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$ och alla kompakta delmängder K och L av U , vi har:

$${\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{ if }} K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{ if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U) &\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{ if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\ text{ if }}j\leq k\\\end{aligned}}$$

Definition : Element av $C_{c}^{\infty }(U)$ kallas testfunktioner på U och $C_{c}^{\infty }(U)$ kallas utrymmet för testfunktionen på U . Vi kommer att använda både ${\mathcal {D}}(U)$ och $C_{c}^{\infty }(U)$ för att beteckna detta mellanslag.

Fördelningar på U definieras som de kontinuerliga linjära funktionalerna på $C_{c}^{\infty }(U)$ när denna vektorrymd är utrustad med en speciell topologi som kallas den kanoniska LF-topologin . Denna topologi är tyvärr inte lätt att definiera men det är ändå möjligt att karakterisera distributioner på ett sätt så att den kanoniska LF-topologin inte nämns.

Proposition : Om T är en linjär funktion på $C_{c}^{\infty }(U)$ så är T en fördelning om och endast om följande ekvivalenta villkor är uppfyllda:

1. För varje kompakt delmängd $K\subseteq U$ finns det konstanter $C>0$ och $N\in \mathbb {N}$ (beroende på $K$ ) så att för alla $f\in C^{\infty }(K),$
   $$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.$$
2. För varje kompakt delmängd $K\subseteq U$ finns det konstanter $C>0$ och $N\in \mathbb {N}$ så att för alla $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ med stöd i $K,$
   $$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N\}.$$
3. För varje kompakt delmängd $K\subseteq U$ och vilken sekvens som helst $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ i $C^{\infty }(K),$ om $\{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_ {i=1}^{\infty }$ konvergerar enhetligt till noll på $K$ för alla multiindex $\alpha$ , sedan $T(f_ {i})\till 0.$

Ovanstående karakteriseringar kan användas för att avgöra huruvida en linjär funktion är en distribution eller inte, men mer avancerad användning av distributioner och testfunktioner (som applikationer till differentialekvationer) är begränsad om inga topologier placeras på ${ \displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ och ${\mathcal {D}}(U).$ För att definiera fördelningsrymden måste vi först definiera den kanoniska LF-topologin, som i sin tur kräver att flera andra lokalt konvexa topologiska vektorrum (TVS) definieras först. Först kommer en ( icke-normerbar ) topologi på $C^{\infty }(U)$ att definieras, sedan varje $C^{\infty }(K )$ kommer att förses med subrymdstopologin inducerad på den av $C^{\infty }(U),$ och slutligen den ( icke-metriserbara ) kanoniska LF-topologin på $C_{c}^{\infty }(U)$ kommer att definieras. Fördelningsutrymmet, som definieras som det kontinuerliga dubbla rummet av $C_{c}^{\infty }(U),$ förses sedan med den (icke-metriserbara) starka dubbla topologin inducerad av $C_{c}^{\infty }(U)$ och den kanoniska LF-topologin (denna topologi är en generalisering av den vanliga operatornorminducerade topologin som är placerad på den kontinuerliga dualen utrymmen av normerade utrymmen ). Detta tillåter slutligen övervägande av mer avancerade föreställningar såsom konvergens av distributioner (både sekvenser och nät), olika (under)rum av distributioner och operationer på distributioner, inklusive utvidgning av differentialekvationer till distributioner.

Val av kompakta set K

Genomgående kommer $\mathbb {K}$ att vara vilken som helst samling av kompakta delmängder av $U$ så att (1) ${\textstyle U=\bigcup _{K\ i \mathbb {K} }K,}$ och (2) för alla kompakta $K\subseteq U$ finns det några $K_{2}\in \mathbb {K}$ så att $K\subseteq K_{2}.$ De vanligaste valen för $\mathbb {K}$ är:

• Uppsättningen av alla kompakta delmängder av $U,$ eller
• En uppsättning $\left\{{\overline {U}}_{1},{\overline {U}}_{2},\ldots \right\}$ där ${\textstyle U=\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i},}$ och för alla i , ${ \displaystyle {\overline {U}}_{i}\subseteq U_{i+1}}$ och $U_{i}$ är en relativt kompakt icke-tom öppen delmängd av $U$ ( här betyder "relativt kompakt" att stängningen av U $\displaystyle U_{i},}$ i antingen U eller $\mathbb {R} ^{n},$ är kompakt).

Vi gör $\mathbb {K}$ till en riktad mängd genom att definiera $K_{1}\leq K_{2}$ om och endast om $K_{1}\subseteq K_{2}.$ Observera att även om definitionerna för de efterföljande definierade topologierna uttryckligen refererar till $\mathbb {K} ,$ i verkligheten beror de inte på valet av $\mathbb {K} ;$ det vill säga om $\mathbb {K} _{1}$ och $\mathbb {K} _{2}$ är två sådana samlingar av kompakta delmängder av $U,$ sedan topologierna definierade på $C^{k}(U)$ och $C_{c}^{ k}(U)$ genom att använda $\mathbb {K} _{1}$ istället för $\mathbb {K}$ är desamma som definieras med $\ mathbb {K} _{2}$ i stället för $\mathbb {K} .$

Topologi på C ^k ( U )

Vi introducerar nu seminormerna som kommer att definiera topologin på $C^{k}(U).$ Olika författare använder ibland olika familjer av seminormer så vi listar de vanligaste familjerna nedan. Den resulterande topologin är dock densamma oavsett vilken familj som används.

Antag att $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$ och $K$ är en godtycklig kompakt delmängd av $U.$ Antag att $i$ är ett heltal så att $0\leq i\leq k$ och $p$ är ett multiindex med längd $|p|\leq k.$ För ${\displaystyle K\neq \varnothing ,} :$ definierar

$${\begin{aligned}{4}{\text{ (1) ) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[ 4pt]{\text{ (2) }}\ &q_{i,K}(f)&&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K} \left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\ \[4pt]{\text{ (3) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}} \left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (4) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{ x_{0}\in K}\left(\summa _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}$$

0 medan för $K=\varnothing ,$ alla funktionerna ovan för att vara den konstanta kartan.

Alla funktionerna ovan är icke-negativa $\mathbb {R}$ -värderade seminormer på $C^{k}(U).$ Som förklaras i den här artikeln , inducerar varje uppsättning seminormer på ett vektorrum en lokalt konvex vektortopologi .

Var och en av följande uppsättningar av seminormer

$${\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ uppfyller }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ kompakt och } }\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ uppfyller }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\; K{\text{ kompakt och }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ uppfyller }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{ p,K}&&:\;K{\text{ kompakt och }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ uppfyller }}\;&&|p|\leq k\}\ end{alignedat}}$$

generera samma lokalt konvexa vektortopologi på $C^{k}(U)$ (så till exempel, topologin som genereras av seminormerna i $A$ är lika med topologin som genereras av de i $C$ ).

Vektorutrymmet $C^{k}(U)$ är försett med den lokalt konvexa topologin inducerad av någon av de fyra familjerna $A,B,C ,D$ av seminormer som beskrivs ovan. Denna topologi är också lika med vektortopologin som induceras av alla seminormerna i $A\cup B\cup C\cup D.$

Med denna topologi blir $C^{k}(U)$ ett lokalt konvext Fréchet-utrymme som inte är normerbart . Varje element i $A\cup B\cup C\cup D$ är en kontinuerlig seminorm på $C^{k}(U).$ Under denna topologi, ett nät $(f_{i})_{i\in I}$ i ${ \displaystyle C^{k}(U)}$ konvergerar till $f\in C^{k}(U)$ om och endast om för varje multiindex $p$ med $|p|<k+1$ och varje kompakt $K,$ nettot av partiella derivator $\left(\partial ^{ p}f_{i}\right)_{i\in I}$ konvergerar enhetligt till $\partial ^{p}f$ på $K.$ För alla $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},$ alla (von Neumann) gränsade delmängd av $C^{k+1}(U)$ är en relativt kompakt delmängd av $C^{k}(U).$ I synnerhet är en delmängd av $C^{\infty }(U)$ begränsad om och endast om den är begränsad i $C^{i}(U)$ för alla $i\in \mathbb {N} .$ Mellanrummet $C^{k}(U)$ är ett Montel-mellanslag om och endast om $k=\infty .$

Topologin på $C^{\infty }(U)$ är den övre gränsen för subrymdstopologierna inducerade på $C^{\infty }(U)$ av TVS:erna $C^{i}(U)$ som i sträcker sig över de icke-negativa heltalen. En delmängd $W$ av $C^{\infty }(U)$ är öppen i denna topologi om och endast om det finns $i\in \mathbb { N}$ så att $W$ är öppen när $C^{\infty }(U)$ är utrustad med subrymdstopologin inducerad på den av $C^{i}(U).$

Metrik som definierar topologin

Om familjen av kompakta mängder $\mathbb {K} =\left\{{\overline {U}}_{1},{\overline {U} }_{2},\ldots \right\}$ uppfyller ${\textstyle U=\bigcup _{j=1}^{\infty }U_{j}}$ och ${\overline {U}}_{i}\subseteq U_{i+1}$$, {\displaystyle i,}$ alla sedan ett komplett översättningsinvariant mått på $C^{\infty }(U)$ kan erhållas genom att ta en lämplig räknebar Fréchet-kombination av någon av ovanstående familjer. Om du till exempel använder seminormerna $(r_{i,K_{i}})_{i=1}^{\infty }$ resulterar i måttet

$$d(f,g):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {r_{i,{\overline { U}}_{i}}(fg)}{1+r_{i,{\overline {U}}_{i}}(fg)}}=\summa _{i=1}^{\infty } {\frac {1}{2^{i}}}{\frac {\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U}}_{i}}\left|\partial ^ {p}(fg)(x)\höger|}{\left[1+\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U}}_{i}}\left|\partial ^{p}(fg)(x)\right|\right]}}.$$

Ofta är det lättare att bara överväga seminormer.

Topologi på C ^k ( K )

Som tidigare, fixa $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.$ Kom ihåg att om $K$ är en kompakt delmängd av $U$ så är $C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).$

Antagande : För vilken som helst kompakt delmängd $K\subseteq U,$ kommer vi hädanefter att anta att $C^{k}(K)$ är utrustad med delrumstopologin som den ärver från Fréchet -utrymmet $C^{k}(U).$

För vilken som helst kompakt delmängd $K\subseteq U,$$C^{k}(K)$ ett slutet delrum av Fréchet-utrymmet $C^{k}(U)$ och är alltså också ett Fréchet-mellanslag . För alla kompakta $K,L\subseteq U$ som uppfyller $K\subseteq L,$ betecknar inklusionskartan med ${\displaystyle \operatorname {I} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L).} Då är den här kartan en linjär inbäddning av TVS (det vill säga$ , det är en linjär karta som också är en topologisk inbäddning ) vars bild (eller "intervall") är stängd i dess kodomän ; sagt annorlunda, topologin på $C^{k}(K)$ är identisk med subrymdstopologin som den ärver från $C^{k}(L),$ och även $C^{k}(K)$ är en sluten delmängd av $C^{k}(L).$ Det inre av $C^{\infty }(K)$ i förhållande till $C^{\infty } (U)$ är tom.

Om $k$ är ändlig så är $C^{k}(K)$ ett Banach-utrymme med en topologi som kan definieras av normen

$$r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{ 0})\right|\right).$$

Och när $k=2,$ så är $\,C^{k}(K)$ till och med ett Hilbert-mellanslag . Mellanrummet $C^{\infty }(K)$ är ett distingerat Schwartz Montel-mellanslag så om $C^{\infty }(K)\neq \{0\}$ då är det inte normerbart och alltså inte ett Banach-mellanslag (även om det som alla andra $C^{k}(K),$ är ett Fréchet-mellanslag ).

Triviala förlängningar och oberoende av C ^k ( K ) topologi från U

Definitionen av $C^{k}(K)$ beror på U så vi låter $C^{k}(K;U)$ beteckna topologiskt utrymme $C^{k}(K),$ som per definition är ett topologiskt delrum av $C^{k}(U).$ Antag att $V$ är en öppen delmängd av $\mathbb {R} ^{n}$ som innehåller $U$ och för alla kompakt delmängd $K\subseteq V,$ låt $C^{k}(K;V)$ är vektordelrummet för $C^{k}(V)$ som består av kartor med stöd som finns i $K.$ Givet $f\in C_{c}^{k}(U),$ dess triviala förlängning till V är per definition funktionen $I(f):=F:V\to \mathbb {C}$ definieras av:

$$F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{annars}}, \end{cases}}$$

så att $F\in C^{k}(V).$ Låt $I:C_{c}^{k}(U)\to C ^{k}(V)$ betecknar kartan som skickar en funktion i $C_{c}^{k}(U)$ till dess triviala förlängning på V . Denna karta är en linjär injektion och för varje kompakt delmängd $K\subseteq U$ (där $K$ också är en kompakt delmängd av $V$ eftersom ${\ displaystyle K\subseteq U\subseteq V}$ ) vi har

$${\begin{alignedat}{4}I\ vänster(C^{k}(K;U)\höger)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ och därmed }}\\I\left(C_{c}^ {k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{c}^{k}(V)\end{alignedat}}$$

Om I är begränsad till $C^{k}(K;U)$ så är följande inducerade linjära karta en homeomorfism (och därmed en TVS-isomorfism ):

$${\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \, &&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}$$

och därför är de två följande kartorna (som liksom den föregående kartan definieras av $f\mapsto I(f)$ ) topologiska inbäddningar :

$$C^{k}(K;U)\to C^{k} (V),\qquad {\text{ och }}\qquad C^{k}(K;U)\till C_{c}^{k}(V),$$

(topologin på $C_{c}^{k}(V)$ är den kanoniska LF-topologin, som definieras senare). Använda injektionen

$$I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)$$

vektorrummet $C_{c}^{k}(U)$ identifieras kanoniskt med sin bild i $C_{c} ^{k}(V)\subseteq C^{k}(V)$ (dock om $U\neq V$ då ${ \displaystyle I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)} är inte$ en topologisk inbäddning när dessa utrymmen är utrustade med sina kanoniska LF-topologier, även om det är kontinuerlig). Eftersom $C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),$ genom denna identifiering, $C^{k}(K;U)$ kan också betraktas som en delmängd av $C^{k}(V).$ Viktigt är att subrymdstopologin $C^{k}(K;U)$ ärver från $C ^{k}(U)$ (när den ses som en delmängd av $C^{k}(U)$ ) är identisk med subrymdstopologin som den ärver från $C^{k}(V)$ (när $C^{k}(K;U)$ istället ses som en delmängd av $C^{k}(V)$ via identifieringen). Således är topologin på $C^{k}(K;U)$ oberoende av den öppna delmängden U av $\mathbb {R} ^{n}$ som innehåller K . Detta motiverar bruket av att skriva $C^{k}(K)$ istället för $C^{k}(K;U).$

Kanonisk LF-topologi

Se även: LF-rymd och topologi för enhetlig konvergens

Kom ihåg att $C_{c}^{k}(U)$ betecknar alla de funktioner i $C^{k}(U)$ som har kompakt stöd i $U,$ där notera att $C_{c}^{k}(U)$ är föreningen av alla $C^{k} (K)$ eftersom K sträcker sig över $\mathbb {K} .$ Dessutom, för varje k , är $C_{c}^{k}(U)$ en tät delmängd av $C^{k}(U).$ Specialfallet när $k=\infty$ ger oss utrymmet för testfunktioner.

$C_{c}^{\infty }(U)$ kallas utrymmet för testfunktioner på $U$ och det kan också betecknas med ${\mathcal {D}}(U).$

Detta avsnitt definierar den kanoniska LF-topologin som en direkt gräns . Det är också möjligt att definiera denna topologi i termer av dess kvarter av ursprunget, vilket beskrivs i efterhand.

Topologi definierad av direkta gränser

För alla två uppsättningar K och L , deklarerar vi att $K\leq L$ om och endast om $K\subseteq L,$ vilket i synnerhet gör samlingen $\ mathbb {K}$ av kompakta delmängder av U till en riktad uppsättning (vi säger att en sådan samling styrs av delmängdsinkludering ). För alla kompakta $K,L\subseteq U$ som uppfyller $K\subseteq L,$ finns inklusionskartor

$$\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)\quad {\text{and}}\quad \operatorname {In } _{K}^{U}:C^{k}(K)\till C_{c}^{k}(U).$$

Kom ihåg från ovan att kartan $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^ {k}(L)$ är en topologisk inbäddning . Samlingen av kartor

$$\left\{\operatörsnamn {I} _{K}^{L}\;:\;K,L\in \mathbb {K} \;{\text{ och }}\;K\subseteq L\right\}$$

bildar ett direkt system i kategorin lokalt konvexa topologiska vektorrum som styrs av $\mathbb {K}$ (under delmängdsinkludering). Detta systems direkta gräns (i kategorin lokalt konvexa TVS) är paret $(C_{c}^{k}(U),\operatörsnamn {In} _ {\bullet }^{U})$ där ${\displaystyle \operatorname {In} _{\bullet }^{U}:=\left(\operatörsnamn {In} } _{K}^{U}\right)_{K\in \mathbb {K} }} är$ de naturliga inneslutningarna och där $C_{c}^{k}(U)$ är nu utrustad med den (unika) starkaste lokalt konvexa topologin som gör alla inklusionskartor $\operatorname {In} _{\bullet }^{U}=( \operatörsnamn {I} _{K}^{U})_{K\in \mathbb {K} }$ kontinuerlig.

Den kanoniska LF-topologin på $C_{c}^{k}(U)$ är den finaste lokalt konvexa topologin på $C_{c}^{k} (U)$ gör alla inklusionskartor $\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K )\till C_{c}^{k}(U)$ kontinuerlig (där K sträcker sig över $\mathbb {K}$ ).

Som är vanligt i matematiklitteraturen antas utrymmet $C_{c}^{k}(U)$ hädanefter vara försett med sin kanoniska LF-topologi (om inte annat uttryckligen anges).

Topologi definierad av ursprungsområden

Om U är en konvex delmängd av $C_{c}^{k}(U),$ så är U en grannskap till ursprunget i den kanoniska LF-topologin om och endast om den uppfyller följande villkor:

För alla $är {\displaystyle K\in \mathbb {K} ,}$$U\cap C^{k}(K)$ en stadsdel av ursprunget i $C^{k}(K).$

 

 

 

 

()

Observera att varje konvex uppsättning som uppfyller detta villkor nödvändigtvis absorberar i $C_{c}^{k}(U).$ Eftersom topologin för ett topologiskt vektorrum är translationsinvariant, bestäms varje TVS-topologi helt av uppsättningen av grannskap för ursprunget. Detta betyder att man faktiskt skulle kunna definiera den kanoniska LF-topologin genom att förklara att en konvex balanserad delmängd U är en grannskap av ursprunget om och endast om den uppfyller villkoret CN .

Topologi definierad via differentialoperatorer

En linjär differentialoperator i U med jämna koefficienter är en summa

$$P:=\summa _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }$$

0 där $c_{\alpha }\in C^{\infty }(U)$ och alla utom ändligt många av $c_{\alpha }$ är identiska . Heltalet $\sup\{|\alpha |:c_{\alpha }\neq 0\}$ kallas ordningen för differentialoperatorn $P.$ Om $P$ är en linjär differentialoperator av ordningen k så inducerar den en kanonisk linjär karta $C^{k}(U)\ till C^{0}(U)$ definierad av $\phi \mapsto P\phi ,$ där vi ska återanvända notation och även beteckna denna karta med $P.$

För alla ${\displaystyle 1\leq k\leq \infty ,} är$ den kanoniska LF-topologin på $C_{c}^{k}(U)$ den svagaste lokalt konvex TVS-topologi som gör alla linjära differentialoperatorer i $U$ av ordningen $\,<k+1$ till kontinuerliga kartor från $C_{c}^ {k}(U)$ till $C_{c}^{0}(U).$

Egenskaper för den kanoniska LF-topologin

Kanonisk LF-topologis oberoende från K

En fördel med att definiera den kanoniska LF-topologin som den direkta gränsen för ett direkt system är att vi omedelbart kan använda den universella egenskapen hos direkta gränser. En annan fördel är att vi kan använda välkända resultat från kategoriteorin för att härleda att den kanoniska LF-topologin faktiskt är oberoende av det särskilda valet av den riktade samlingen $\mathbb {K}$ av kompakta uppsättningar. Och genom att överväga olika samlingar $\mathbb {K}$ (i synnerhet de $\mathbb {K}$ som nämns i början av denna artikel), kan vi härleda olika egenskaper hos denna topologi. I synnerhet kan vi härleda att den kanoniska LF-topologin gör $C_{c}^{k}(U)$ till ett Hausdorff lokalt konvext strikt LF-utrymme ( och även ett strikt LB-utrymme if $k\neq \infty$ ), vilket naturligtvis är anledningen till att denna topologi kallas "den kanoniska LF-topologin" (se denna fotnot för mer detaljer).

Universell egendom

Från den universella egenskapen för direkta gränser vet vi att om $u:C_{c}^{k}(U)\to Y$ är en linjär karta till en lokalt konvex mellanslag Y (inte nödvändigtvis Hausdorff), då är u kontinuerlig om och endast om u är begränsad om och endast om för varje $K\in \mathbb {K} ,$ begränsningen av u till $C^{k}(K)$ är kontinuerlig (eller avgränsad).

Beroendet av den kanoniska LF-topologin på U

Antag att V är en öppen delmängd av $\mathbb {R} ^{n}$ som innehåller $U.$ Låt $I:C_{c}^{k}(U)\to C_{c}^{k}(V )$ betecknar kartan som skickar en funktion i $C_{c}^{k}(U)$ till dess triviala förlängning på V (som definierades ovan). Denna karta är en kontinuerlig linjär karta. Om (och endast om) $U\neq V$ då $I\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)$ är inte en tät delmängd av $C_{c}^{\infty }(V)$ och $I:C_ {c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)$ är inte en topologisk inbäddning . Följaktligen, om $U\neq V$ då transponeringen av $I:C_{c}^{\infty }(U) \to C_{c}^{\infty }(V)$ är varken en-till-en eller på.

Avgränsade delmängder

En delmängd $B\subseteq C_{c}^{k}(U)$ är avgränsad i $C_{c}^{k}(U )$ om och bara om det finns några $K\in \mathbb {K}$ så att $B\subseteq C^{k}(K)$ och $B$ är en begränsad delmängd av $C^{k}(K).$ Dessutom, om $K\subseteq U$ är kompakt och $S\subseteq C^{k}(K) )$ då är $S$ avgränsad i $C^{k}(K)$ om och endast om den är begränsad i $C^{k}(U).$ För valfri $0\leq k\leq \infty ,$ vilken som helst avgränsad delmängd av $C_{ c}^{k+1}(U)$ (resp. ${\displaystyle C^{k+1}(U)} )$ är en relativt kompakt delmängd av ${ \displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ (resp. $C^{k}(U)$ ), där $\infty +1=\infty .$

Ej mätbarhet

För alla kompakta $K\subseteq U,$ det inre av $C^{k}(K)$ i $C_{c} ^{k}(U)$ är tom så att $C_{c}^{k}(U)$ är av den första kategorin i sig. Det följer av Baires teorem att $C_{c}^{k}(U)$ inte är mätbar och därmed inte heller normerbar (se denna fotnot för en förklaring av hur det icke-metriserbara rymden $C_{c}^{k}(U)$ kan vara komplett även om den inte tillåter ett mått). Det faktum att $C_{c}^{\infty }(U)$ är ett nukleärt Montel-utrymme kompenserar för icke-metriserbarheten av $C_{c }^{\infty }(U)$ (se denna fotnot för en mer detaljerad förklaring).

Relationer mellan utrymmen

Använda den universella egenskapen för direkta gränser och det faktum att de naturliga inneslutningarna $\operatornamn {In} _{K}^{L}:C^{k }(K)\to C^{k}(L)$ är alla topologiska inbäddningar , man kan visa att alla kartor ${\displaystyle \operatorname { I} _{K}^{U}:C^{k}(K)\till C_{c}^{k}(U)} är också topologiska$ inbäddningar. Sagt annorlunda, topologin på $C^{k}(K)$ är identisk med subrymdstopologin som den ärver från $C_{c}^{k }(U),$ där minns att $C^{k}(K)$ s topologi definierades till att vara subrymdstopologin inducerad på den av $C^{k}(U).$ I synnerhet både $C_{c}^{k}(U)$ och $}(U)}$${\displaystyle C^{$$C^{k}(K).$ inducerar samma subrymdstopologi på Detta innebär dock inte att den kanoniska LF-topologin på $C_{c}^{k}(U)$ är lika med subrymdstopologi inducerad på $C_{c}^{k}(U)$ av $C^{k}(U)$ ; dessa två topologier på $C_{c}^{k}(U)$ är faktiskt aldrig lika med varandra eftersom den kanoniska LF-topologin aldrig är mätbar medan subrymdstopologin som induceras på den av $C^{k}(U)$ är mätbar (eftersom kom ihåg att $C^{k}(U)$ är mätbar). Den kanoniska LF-topologin på $C_{c}^{k}(U)$ är faktiskt strikt finare än subrymdstopologin som den ärver från $C^{k }(U)$ (sålunda är den naturliga inneslutningen $C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(U)$ kontinuerlig men inte en topologisk inbäddning ).

Den kanoniska LF-topologin är faktiskt så fin att om $C_{c}^{\infty }(U)\to X$ betecknar någon linjär karta som är en "naturlig inneslutning" ( såsom $C_{c}^{\infty }(U)\to C^{k}(U),$ eller $C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U),$ eller andra kartor som diskuteras nedan) så kommer denna karta vanligtvis att vara kontinuerlig, vilket som är som visas nedan, är i slutändan anledningen till att lokalt integrerbara funktioner, radonmått etc. alla inducerar distributioner (via transponeringen av en sådan "naturlig inneslutning"). Sagt annorlunda, anledningen till att det finns så många olika sätt att definiera distributioner från andra utrymmen beror i slutändan på hur mycket fin den kanoniska LF-topologin är. Dessutom, eftersom distributioner bara är kontinuerliga linjära funktionaler på $C_{c}^{\infty }(U),$ betyder den fina naturen hos den kanoniska LF-topologin att mer linjära funktionaler på $C_{c}^{\infty }(U)$ blir kontinuerlig ("mer" betyder jämfört med en grövre topologi som vi kunde ha placerat på $C_{c}^{\infty }(U)$ som till exempel subrymdstopologin inducerad av någon $C^{k}(U),$ som även om det skulle ha gjort $C_{c}^{\infty }(U)$ mätbar, det skulle också ha resulterat i färre linjära funktionaler på $C_{c}^{\infty }(U)$ är kontinuerlig och därför skulle det ha varit färre distributioner; dessutom har denna speciella grövre topologi också nackdelen att inte göra $C_{c}^{\infty }(U)$ till en komplett TVS ).

Övriga fastigheter

• Differentieringskartan ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)} är$ en surjektiv kontinuerlig linjär operator.
• Den bilinjära multiplikationskartan ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\ gånger C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m+n})} ges$ av $(f,g)\mapsto fg$ är inte kontinuerlig; den är dock hypokontinuerlig .

Distributioner

Se även: Kontinuerlig linjär funktionell

Som diskuterats tidigare är kontinuerliga linjära funktionaler på en $C_{c}^{\infty }(U)$ kända som distributioner på U . Sålunda är mängden av alla fördelningar på U det kontinuerliga dubbla rummet av $C_{c}^{\infty }(U),$ som när den är utrustad med den starka dubbla topologin betecknas med ${\mathcal {D}}^{\prime }(U).$

definieras en fördelning på U som en kontinuerlig linjär funktion på $C_{c}^{\infty }(U).$ Sagt annorlunda, en fördelning på U är ett element av det kontinuerliga dubbla rummet av $C_{c}^{\infty }(U)$ när $C_{c}^{\infty }(U)$ är utrustad med sin kanoniska LF-topologi.

Vi har den kanoniska dualitetsparningen mellan en fördelning T på U och en testfunktion $f\in C_{c}^{\infty }(U),$ som betecknas med vinkel parentes av

$${\begin{cases}{\mathcal {D}}^{ \prime }(U)\ gånger C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\ slut{cases}}$$

Man tolkar denna notation som att fördelningen T verkar på testfunktionen $f$ för att ge en skalär, eller symmetriskt som att testfunktionen $f$ verkar på fördelningen T .

Karakteriseringar av distributioner

Förslag. Om T är en linjär funktion på $C_{c}^{\infty }(U)$ så är följande ekvivalenta:

1. T är en fördelning;
2. Definition : T är en kontinuerlig funktion .
3. T är kontinuerlig vid origo.
4. T är jämnt kontinuerlig .
5. T är en begränsad operator .
6. T är sekventiellt kontinuerlig .
   • uttryckligen, för varje sekvens $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ i $C_{ c}^{\infty }(U)$ som konvergerar i $C_{c}^{\infty }(U)$ till några $f\in C_{c}^{\infty }(U),$$\lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);$
7. T är sekventiellt kontinuerlig vid origo; med andra ord, T mappar nollsekvenser till nollsekvenser.
   • uttryckligen, för varje sekvens $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ i $C_{ c}^{\infty }(U)$ som konvergerar i $C_{c}^{\infty }(U)$ till ursprunget (en sådan sekvens kallas en nollsekvens ), $\lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0.$
   • en nollsekvens är per definition en sekvens som konvergerar till ursprunget.
8. T mappar nollsekvenser till avgränsade delmängder.
   • uttryckligen, för varje sekvens $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ i $C_{ c}^{\infty }(U)$ som konvergerar i $C_{c}^{\infty }(U)$ till ursprunget, sekvensen $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ är avgränsad.
9. T mappar Mackey konvergerande nollsekvenser till avgränsade delmängder;
   • uttryckligen, för varje Mackey konvergent nollsekvens $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ i ${ \displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ sekvensen $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_ {i=1}^{\infty }$ är avgränsad.
   • 0 en sekvens $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ sägs vara Mackey-konvergent till 0 om det finns en divergerande sekvens $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty } \to \infty$ av positivt reellt tal så att sekvensen $\left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ är avgränsad; varje sekvens som är Mackey konvergent till konvergerar nödvändigtvis till ursprunget (i vanlig mening).
10. Kärnan i T är ett slutet delrum av $C_{c}^{\infty }(U).$
11. Grafen för T är stängd.
12. Det finns en kontinuerlig seminorm $g$ på $C_{c}^{\infty }(U)$ så att $|T|\leq g.$
13. Det finns en konstant $C>0,$ en samling kontinuerliga seminormer, ${\mathcal {P}},$ som definierar den kanoniska LF-topologin för ${ \displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$ och en finit delmängd $\left\{g_{1},\ldots ,g_{m} \right\}\subseteq {\mathcal {P}}$ så att $|T|\leq C(g_{1}+\cdots g_{m});$
14. För varje kompakt delmängd $K\subseteq U$ finns det konstanter $C>0$ och $N\in \mathbb {N}$ så att för alla $f\in C^{\infty }(K),$
    $$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{p}f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.$$
15. För varje kompakt delmängd $K\subseteq U$ finns det konstanter $C_{K}>0$ och $N_{K}\in \mathbb {N}$ så att för alla $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ med stöd i $K,$
    $$|T(f)|\leq C_{K}\sup\{\left|\partial ^{\alpha }f(x)\right|:x\in K,|\alpha |\leq N_{ K}\}.$$
16. För varje kompakt delmängd $K\subseteq U$ och vilken sekvens som helst $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ i $C^{\infty }(K),$ om $\{\partial ^{p}f_{i}\}_{ i=1}^{\infty }$ konvergerar enhetligt till noll för alla multiindex $p,$ sedan $T(f_{i})\till 0.$
17. Något av de tre påståendena omedelbart ovanför (det vill säga påståendena 14, 15 och 16) men med det ytterligare kravet att den kompakta uppsättningen $K$ tillhör $\mathbb {K} .$

Topologi om distributionsutrymmet

Se även: Starkt dubbelrum , Polär topologi , Dubbel topologi och Dubbelt system

Definition och notation : Utrymmet av fördelningar på U , betecknat med ${\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ är det kontinuerliga dubbla rummet av $C_{c}^{\infty }(U)$ utrustad med topologin för enhetlig konvergens på avgränsade delmängder av $C_{c}^{\infty }(U).$ Mer kortfattat är fördelningsutrymmet på U D ${\mathcal {D}}^{\prime }(U):=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }.$

Topologin för enhetlig konvergens på avgränsade delmängder kallas också den starka dubbla topologin . Denna topologi är vald eftersom det är med denna topologi som ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ blir ett nukleärt montelrum och det är med denna topologi som kärnsatsen av Schwartz innehar. Oavsett vilken dubbeltopologi som placeras på ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U),} konvergerar$ en sekvens av distributioner i denna topologi om och endast om den konvergerar punktvis ( även om detta inte behöver vara sant för ett nät ). Oavsett vilken topologi som väljs ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ att vara ett icke- metriserbart , lokalt konvext topologiskt vektorrum . Mellanrummet ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ är separerbart och har den starka Pytkeev-egenskapen men det är varken ett k-mellanslag eller ett sekventiellt mellanslag , vilket särskilt antyder att den inte är mätbar och även att dess topologi inte kan definieras med enbart sekvenser.

Topologiska egenskaper

Topologiska vektorrumskategorier

Den kanoniska LF-topologin gör $C_{c}^{k}(U)$ till ett fullständigt distingerat strikt LF-utrymme (och ett strikt LB-utrymme om och endast om ${\ displaystyle k\neq \infty }$ ), vilket innebär att $C_{c}^{k}(U)$ är en mager delmängd av sig själv. Dessutom är $C_{c}^{k}(U),$ såväl som dess starka dubbla utrymme , ett komplett Hausdorff lokalt konvext tunnat bornologiskt Mackey-utrymme . Den starka dualen av $C_{c}^{k}(U)$ är ett Fréchet-mellanslag om och endast om $k\neq \infty$ så i synnerhet, stark dual av $C_{c}^{\infty }(U),$ som är mellanslag ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ av distributioner på U , är inte mätbar (observera att svag-* topologin på ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ inte heller är mätbar och dessutom saknar den nästan alla de fina egenskaper som den starka dubbla topologin ger ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)} )$ .

De tre mellanslagen $C_{c}^{\infty }(U),$$C^{\infty }(U),$ och Schwartz rymden ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),$ såväl som de starka dualerna av vart och ett av dessa tre utrymmen, är kompletta borologiska utrymmen från Montel med kärnkraft , vilket antyder att alla sex av dessa lokalt konvexa utrymmen också är parakompakta reflexiva Mackey- utrymmen . Mellanslagen $C^{\infty }(U)$ och ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ är båda framstående Fréchet-utrymmen . Dessutom, både $C_{c}^{\infty }(U)$ och ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n })$ är Schwartz TVS .

Konvergenta sekvenser

Konvergenta sekvenser och deras otillräcklighet för att beskriva topologier

De starka dubbla utrymmena för $C^{\infty }(U)$ och ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ är sekventiella utrymmen men inte Fréchet-Urysohn utrymmen . Dessutom, varken utrymmet för testfunktionerna $C_{c}^{\infty }(U)$ eller dess starka dubbla ${\mathcal {D}}^ {\prime }(U)$ är ett sekventiellt rum (inte ens ett Ascoli-rum), vilket i synnerhet innebär att deras topologier inte kan definieras helt i termer av konvergenta sekvenser.

En sekvens $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ i $C_{c}^ {k}(U)$ konvergerar i $C_{c}^{k}(U)$ om och bara om det finns några $K\in \mathbb {K }$ så att $C^{k}(K)$ innehåller denna sekvens och denna sekvens konvergerar i $C^{k}(K)$ ; på motsvarande sätt konvergerar det om och endast om följande två villkor gäller:

1. Det finns en kompakt uppsättning $K\subseteq U$ som innehåller stöden för alla $f_{i}.$
2. För varje multiindex ${\displaystyle \alpha ,} tenderar$ sekvensen av partiella derivator ∂ $\displaystyle \partial ^{\alpha }f_{i}}$ enhetligt till $\partial ^{\alpha }f.$

Varken mellanslag $C_{c}^{\infty }(U)$ eller dess starka dubbla ${\mathcal {D}}^{\prime }( U)$ är ett sekventiellt utrymme , och följaktligen kan deras topologier inte definieras helt i termer av konvergenta sekvenser. Av denna anledning räcker inte ovanstående karakterisering av när en sekvens konvergerar för att definiera den kanoniska LF-topologin på $C_{c}^{\infty }(U).$ Detsamma kan sägas om den starka dubbla topologin på ${\mathcal {D}}^{\prime }(U).$

Vilka sekvenser kännetecknar

Icke desto mindre karaktäriserar sekvenser många viktiga egenskaper, som vi nu diskuterar. Det är känt att i det dubbla utrymmet i alla Montel-rymd, konvergerar en sekvens i den starka dubbla topologin om och endast om den konvergerar i den svaga* topologin , vilket i synnerhet är anledningen till att en sekvens av distributioner konvergerar (i den starka dubbel topologi) om och bara om den konvergerar punktvis (detta leder till att många författare använder punktvis konvergens för att faktiskt definiera konvergensen av en sekvens av distributioner; detta är bra för sekvenser men det sträcker sig inte till konvergensen av distributionsnät eftersom ett nät kan konvergera punktvis men misslyckas med att konvergera i den starka dubbla topologin).

Sekvenser karakteriserar kontinuiteten hos linjära kartor värderade i lokalt konvext utrymme. Antag att X är ett lokalt konvext bornologiskt utrymme (som någon av de sex TVS som nämnts tidigare). Då är en linjär avbildning $F:X\to Y$ i ett lokalt konvext utrymme Y kontinuerlig om och endast om den mappar nollsekvenser i X till avgränsade delmängder av Y . Mer allmänt är en sådan linjär karta $F:X\to Y$ kontinuerlig om och endast om den mappar Mackey-konvergenta nollsekvenser till avgränsade delmängder av $Y.$ Så i synnerhet, om en linjär avbildning $F:X\to Y$ till ett lokalt konvext utrymme är sekventiellt kontinuerlig vid origo så är den kontinuerlig. Detta sträcker sig dock inte nödvändigtvis till icke-linjära kartor och/eller kartor värderade i topologiska utrymmen som inte är lokalt konvexa TVS:er.

För varje $k\in \{0,1,\ldots ,\infty \},C_{c}^{\infty }(U )$ är sekventiellt tät i $C_{c}^{k}(U).$ Dessutom $\{D_{\phi }:\phi \in C_{c} ^{\infty }(U)\}$ är en sekventiellt tät delmängd av ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ (med sin starka dubbla topologi) och även en sekventiellt tät delmängd av det starka dubbla rummet av $C^{\infty }(U).$

Sekvenser av distributioner

Huvudartikel: Begränsning av distributioner

En sekvens av fördelningar $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ konvergerar med avseende på svag-* topologin på ${\ displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ till en distribution T om och endast om

$$\langle T_{i},f\rangle \to \langle T,f\rangle$$

för varje testfunktion $f\in {\mathcal {D}}(U).$ Till exempel, om $f_{m}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ är funktionen

$$f_{m}(x)={\begin{cases}m&{\text{ if }}x\in [0,{\ frac {1}{m}}]\\0&{\text{ annars }}\end{case}}$$

och $T_{m}$ är fördelningen som motsvarar $f_{m},$ då

$$\langle T_{m},f\rangle =m\int _{0}^{ \frac {1}{m}}f(x)\,dx\to f(0)=\langle \delta ,f\rangle$$

som $m\to \infty ,$ så $T_{m}\to \delta$ i ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ).$ För stora $m,$ kan alltså funktionen ${\displaystyle f_{m}} vara$ betraktas som en approximation av Dirac-deltafördelningen.

Övriga fastigheter

• Det starka dubbla utrymmet för ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ är TVS isomorft till $C_{c}^{\infty }(U)$ via den kanoniska TVS-isomorfismen $C_{c}^{\infty }(U)\to ({\mathcal {D }}^{\prime }(U))'_{b}$ definieras genom att skicka $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ till värde vid $f$ (det vill säga till den linjära funktionalen på ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ definierad genom att skicka ${ \displaystyle d\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ till $d(f)$ );
• På vilken som helst avgränsad delmängd av ${\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ sammanfaller de svaga och starka subrymdstopologierna; detsamma gäller för $C_{c}^{\infty }(U)$ ;
• Varje svagt konvergent sekvens i ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ är starkt konvergent (även om detta inte omfattar nät ).

Lokalisering av distributioner

Förberedelser: Transponering av en linjär operator

Huvudartikel: Transponera en linjär karta

Operationer på distributioner och utrymmen av distributioner definieras ofta med hjälp av transponering av en linjär operator. Detta beror på att transponeringen möjliggör en enhetlig presentation av de många definitionerna i teorin om distributioner och även för att dess egenskaper är välkända inom funktionell analys . Till exempel är den välkända hermitiska anslutningen till en linjär operator mellan Hilbert-utrymmen bara operatörens transponering (men med Riesz-representationssatsen som används för att identifiera varje Hilbert-rum med dess kontinuerliga dubbla utrymme ). I allmänhet är transponeringen av en kontinuerlig linjär karta $A:X\to Y$ den linjära kartan

$${}^{t}A:Y'\to X'\qquad {\text{ definierad av }} \qquad {}^{t}A(y'):=y'\circ A,$$

eller motsvarande, det är den unika kartan som uppfyller $\langle y',A(x)\rangle =\left\langle {} ^{t}A(y'),x\right\rangle$ för alla $x\in X$ och alla $y'\in Y'$ (primtalssymbolen i $y'$ inte en derivata av något slag; det indikerar bara att $y'$ är ett element i det kontinuerliga dubbelrummet $Y'$ ). Eftersom $A$ är kontinuerlig, är transponeringen ${}^{t}A:Y'\to X'$ också kontinuerlig när båda dualerna är utrustade med sina respektive starka dubbla topologier ; den är också kontinuerlig när båda dualerna är utrustade med sina respektive svaga* topologier (se artiklarna polär topologi och dubbelsystem för mer detaljer).

I samband med distributioner kan karakteriseringen av transponeringen förfinas något. Låt ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)} vara$ en kontinuerlig linjär karta. Per definition är transponeringen av $A$ den unika linjära operatorn $A^{t}:{\mathcal {D}}'( U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ som uppfyller:

$$\langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ för alla }}\phi \in {\mathcal { D}}(U){\text{ och alla }}T\in {\mathcal {D}}'(U).$$

Eftersom ${\mathcal {D}}(U)$ är tät i ${\mathcal {D}}'(U)$ (här, ${ \displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ refererar faktiskt till uppsättningen av distributioner $\left\{D_{\psi }:\psi \in {\ mathcal {D}}(U)\right\}$ ) det räcker att den definierande likheten gäller för alla fördelningar av formen $T=D_{\psi }$ där $\psi \in {\mathcal {D}}(U).$ Detta betyder uttryckligen att en kontinuerlig linjär karta $B:{\mathcal { D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ är lika med ${}^{t}A$ om och endast om villkoret nedan gäller:

$$\langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\ langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ för alla }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)$$

där den högra sidan är lika med $\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.$

Tillägg och begränsningar till en öppen delmängd

Låt $V\subseteq U$ vara öppna delmängder av $\mathbb {R} ^{n}.$ Varje funktion $f\in {\mathcal {D}}(V)$ kan utökas med noll från sin domän ${\ displaystyle V}$ till en funktion på $U$ genom att sätta den lika med $0$ på komplementet $U\setminus V.$ Den här tillägget är en smidig funktion som stöds och kallas den triviala förlängningen av $f$ till $U$ och den kommer att betecknas med $E_{VU}(f).$ Denna uppgift $f\mapsto E_{VU}(f)$ definierar den triviala tilläggsoperatorn ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),} som är$ en kontinuerlig injektiv linjär karta. Den används för att kanoniskt identifiera ${\mathcal {D}}(V)$ som ett vektordelrum av ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)} ($ även om det inte som ett topologiskt delrum ). Dess omvandling ( förklaras här )

$$\rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D} }'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),$$

kallas begränsningen till $V$ av distributioner i $U$ och som namnet antyder, bilden $\rho _{VU}(T)$ av en distribution $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ under denna karta är en fördelning på $V$ som kallas begränsningen av $T$ till $V.$ Det definierande villkoret för begränsningen $\rho _{VU}(T)$ är:

$$\langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ för alla }}\phi \in {\mathcal {D} }(V).$$

Om $V\neq U$ så (kontinuerligt injektiv linjär) triviala förlängningskarta $E_{VU}:{\mathcal {D}} (V)\to {\mathcal {D}}(U)$ är inte en topologisk inbäddning (med andra ord, om denna linjära injektion användes för att identifiera ${\mathcal {D}}(V )$ som en delmängd av ${\mathcal {D}}(U)$ så skulle ${\mathcal {D}}(V)$ s topologi strikt finare än subrymdstopologin som ${\mathcal {D}}(U)$ inducerar på den; viktigare är att det inte skulle vara ett topologiskt subrum eftersom det kräver jämlikhet mellan topologier) och dess räckvidd är inte heller tät i dess koddomän ${\mathcal {D}}(U).$ Följaktligen, om $V\neq U$ är restriktionsmappningen varken injektiv eller surjektiv. En fördelning $S\in {\mathcal {D}}'(V)$ sägs kunna utökas till U om den hör till området för transponeringen av $E_{VU}$ och den kallas förlängbar om den är förlängbar till $\mathbb {R} ^{n}.$

Om inte ${\displaystyle U=V,} är$ begränsningen till $V$ varken injektiv eller surjektiv .

Utdelningsutrymmen

För alla $0<k<\infty$ och alla $1<p<\infty ,$ är alla följande kanoniska injektioner kontinuerliga och har en bild/omfång som är en tät delmängd av deras koddomän:

$${\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k} (U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p+1}(U)&\ till &L_{c}^{p}(U)&\till &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&&&&&&&&&\\C^{\infty }(U)&\ till &C^{k}(U)&\till &C^{0}(U)&&&&&&&&&&&\end{matris}}$$

där topologierna på LB-utrymmena $L_{c}^{p}(U)$ är de kanoniska LF-topologierna som definieras nedan (så i synnerhet är de inte de vanliga normtopologierna) . Räckvidden för var och en av kartorna ovan (och för valfri sammansättning av kartorna ovan) är tätt i koddomänen. Faktum är att $C_{c}^{\infty }(U)$ är jämnt tätt sekventiellt i varje $C_{c}^{k}(U).$ För varje $1\leq p\leq \infty ,$ den kanoniska inkluderingen $C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U)$ in i det normerade utrymmet $L^{p}(U)$ ( här har ${\displaystyle L^{p}(U)} sin$ vanliga normtopologi ) en kontinuerlig linjär injektion och intervallet för denna injektion är tätt i sin koddomän om och endast om $p\neq \infty$ .

Antag att $X$ är ett av LF-mellanslagen $C_{c}^{k}(U)$ (för ${\ displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}}$ ) eller LB-mellanslag $L_{c}^{p}(U)$ (för $1\leq p\leq \infty$ ) eller normerade mellanslag $L^{p}(U)$ (för $1\leq p<\ infty$ ). Eftersom den kanoniska injektionen $\operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X$ är en kontinuerlig injektion vars bild är tät i koddomänen, denna kartas transponering ${\displaystyle {}^{t}\operatörsnamn {In} _{X }:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}} är en kontinuerlig$ injektion . Denna injektiva transponeringskarta tillåter alltså att det kontinuerliga dubbla utrymmet $X'$ av $X$ identifieras med ett visst vektorunderrum i utrymmet ${\mathcal {D} }'(U)$ av alla distributioner (specifikt identifieras den med bilden av denna transponeringskarta). Denna kontinuerliga transponeringskarta är inte nödvändigtvis en TVS-inbäddning så topologin som denna karta överför från sin domän till bilden $\operatorname {Im} \left({}^{t}\operatörsnamn {In} _{X}\right)$ är finare än subrymdstopologin som detta utrymme ärver från ${\mathcal {D}}^{\prime }(U).$ Ett linjärt delrum av ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ som bär en lokalt konvex topologi som är finare än subrymdstopologin inducerad av ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left( C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }$ kallas ett utrymme av distributioner . Nästan alla fördelningsutrymmen som nämns i den här artikeln uppstår på detta sätt (t.ex. tempererad distribution, restriktioner, ordningsfördelningar $\leq$ något heltal, fördelningar inducerade av ett positivt radonmått, distributioner inducerade av en ${ \displaystyle L^{p}}$ -funktion, etc.) och varje representationssats om det dubbla rummet av X kan, genom transponeringen ${\displaystyle {}^{ t}\operatörsnamn {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U),} överföras direkt till element i$ rymden $\operatörsnamn {Im} \left({}^{t}\operatörsnamn {I} _{X}\right).$

Kompakt stödda L ^p -mellanslag

Givet $1\leq p\leq \infty ,$ vektorutrymmet ${\displaystyle L_{c}^{p}(U)$ } ${ \displaystyle L^{p}}$ funktioner för på $U$ och dess topologi definieras som direkta gränser för mellanrummen $L_{c}^{p}(K)$ i en sätt analogt med hur de kanoniska LF-topologierna på $C_{c}^{k}(U)$ definierades. För varje kompakt $K\subseteq U,$ låt $L^{p}(K)$ beteckna mängden av alla element i $L ^{p}(U)$ (som återkallar är ekvivalensklass av Lebesgue mätbara $L^{p}$ funktioner på $U$ ) som har en representativ $f$ vars stöd (som återkallelse är stängningen av $\{u\in U:f(x)\neq 0\}$ i $U$ ) är en delmängd av ${ \displaystyle K}$ (en sådan $f$ är nästan överallt definierad i $K$ ). Mängden $L^{p}(K)$ är ett slutet vektordelrum $L^{p}(U)$ och är alltså ett Banach-rum och när $p=2,$ till och med ett Hilbert-mellanslag . Låt $L_{c}^{p}(U)$ vara föreningen av alla $L^{p}(K)$ som ${\ displaystyle K\subseteq U}$ sträcker sig över alla kompakta delmängder av $U.$ Mängden $L_{c}^{p}(U)$ är ett vektordelrum av $L^{p}(U)$ vars element är (ekvivalensklasserna för) kompakt stödda $L^{p}$ funktioner definierade på $U$ (eller nästan överallt på $U$ ). Ge $L_{c}^{p}(U)$ den slutliga topologin (direkt gränstopologi) inducerad av inklusionskartorna ${\ displaystyle L^{p}(K)\till L_{c}^{p}(U)}$ som $K\subseteq U$ sträcker sig över alla kompakta delmängder av $U.$ Denna topologi kallas den kanoniska LF-topologin och den är lika med den slutliga topologin som induceras av en räknebar uppsättning inklusionskartor $L^{p }(K_{n})\to L_{c}^{p}(U)$ ( $n=1,2,\ldots$ ) där $K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq \cdots$ är alla kompakta mängder med union lika med $U.$ Denna topologi gör $L_{c}^{p}(U)$ till ett LB-utrymme (och därmed också ett LF-utrymme ) med en topologi som är strikt finare än den norm (delrum) topologi som $L^{p}(U)$ inducerar på den.

Radonåtgärder

Inklusionskartan $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\till C_{c}^{0}(U )$ är en kontinuerlig injektion vars bild är tät i sin kodomän, så transponera t $\displaystyle { }^{t}\operatörsnamn {In} :\left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }} är också$ en kontinuerlig injektion.

Observera att det kontinuerliga dubbla utrymmet $\left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }$ kan identifieras som utrymme av radonmått , där det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan de kontinuerliga linjära funktionalerna $T\in \left(C_{c}^{0}(U )\right)_{b}^{\prime }$ och integral med avseende på ett radonmått; det är,

• om ${\displaystyle T\in \left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }} så$ finns det ett radon mät $\mu$ på U så att för alla $f\in C_{c}^{0}(U) ,T(f)=\textstil \int _{U}f\,d\mu ,$ och
• om $\mu$ är ett radonmått på U så är den linjära funktionella på $C_{c}^{0}(U)$ definierad av ${\displaystyle C_{c}^{0}(U)\ni f\mapsto \textstyle \int _{U}f\,d\mu } är kontinuerlig$ .

Genom injektionen ${}^{t}\operatörsnamn {In} :\left(C_{c}^{0}(U )\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ varje radonmått blir en fördelning på U . Om $f$ är en lokalt integrerbar funktion på U så är fördelningen $\phi \mapsto \textstyle \int _{U}f(x) \phi (x)\,dx$ är ett radonmått; så Radonmått bildar ett stort och viktigt distributionsutrymme.

Följande är satsen för strukturen av fördelningar av radonmått , som visar att varje radonmått kan skrivas som summan av derivator av lokala $L^{\infty }$ funktioner i U :

Sats. — Antag att $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ är ett radonmått, där $U\subseteq \mathbb {R} ^ {n},$ låt $V\subseteq U$ vara en grannskap av stödet för $T,$ och låt ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}.} Det finns$ en familj $f=(f_ {p})_{p\in I}$ av lokalt $L^{\infty }$ funktioner på U så att $\operatorname {supp} f_{p}\ subseteq V$ för varje $p\in I,$ och

$$T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.$$

Dessutom är $T$ också lika med en ändlig summa av derivator av kontinuerliga funktioner på $U,$ där varje derivata har ordningen $\leq 2n.$

Positiva radonåtgärder

En linjär funktion T på ett utrymme av funktioner kallas positiv om en funktion $f$ som tillhör domänen för T är icke-negativ (vilket betyder att $f$ är verkligt värderad och ${ \displaystyle f\geq 0}$ ) sedan $T(f)\geq 0.$ Man kan visa att varje positiv linjär funktion på $C_{c}^ {0}(U)$ är nödvändigtvis kontinuerlig (det vill säga nödvändigtvis ett radonmått). Lebesgue-mått är ett exempel på ett positivt radonmått.

Lokalt integrerbara funktioner som distributioner

En särskilt viktig klass av radonmått är de som är inducerade lokalt integrerbara funktioner. Funktionen $f:U\to \mathbb {R}$ kallas lokalt integrerbar om den är Lebesgue-integrerbar över varje kompakt delmängd K av U . Detta är en stor klass av funktioner som inkluderar alla kontinuerliga funktioner och alla Lp space $L^{p}$ funktioner. Topologin på ${\mathcal {D}}(U)$ är definierad på ett sådant sätt att varje lokalt integrerbar funktion $f$ ger en kontinuerlig linjär funktion på ${\ displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ – det vill säga ett element av ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ – här betecknat med ${ \displaystyle T_{f}}$ , vars värde på testfunktionen $\phi$ ges av Lebesgue-integralen:

$$\langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.$$

Konventionellt missbrukar man notation genom att identifiera $T_{f}$ med $f,$ förutsatt att ingen förvirring kan uppstå, och därmed sammankopplingen mellan $T_{f}$ och ${ \displaystyle \phi }$ skrivs ofta

$$\langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .$$

Om $f$ och g är två lokalt integrerbara funktioner, då är de associerade fördelningarna $T_{f}$ och T _g lika med samma element i ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ om och bara om $f$ och g är lika nästan överallt (se t.ex. Hörmander (1983 , sats 1.2.5)). På liknande sätt definierar varje radonmått $\mu$ på U ett element av ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ vars värde på testet funktion $\phi$ är $\textstyle \int \phi \,d\mu .$ Som ovan är det vanligt att missbruka notation och skriva parningen mellan ett radonmått $\mu$ och en testfunktion $\phi$ som $\langle \mu ,\phi \rangle .$ Omvänt, som visas i en sats av Schwartz (liknande Riesz-representationssatsen ), är varje fördelning som är icke-negativ på icke-negativa funktioner av denna form för vissa (positivt) Radonmått.

Test fungerar som distributioner

Testfunktionerna är själva lokalt integrerbara och definierar därför distributioner. Utrymmet för testfunktionerna $C_{c}^{\infty }(U)$ är sekventiellt tätt i ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ med avseende på den starka topologin på ${\mathcal {D}}^{\prime }(U).$ Detta betyder att för alla $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ det finns en sekvens av testfunktioner, $(\phi _{i})_{i=1}^{\infty },$ som konvergerar till $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ (i dess starka dubbla topologi) när det betraktas som en sekvens av distributioner. Eller motsvarande,

$$\langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ för alla }}\psi \in {\mathcal {D}}(U) .$$

Dessutom är $C_{c}^{\infty }(U)$ också tätt sekventiellt i det starka dubbla rummet av $C^{\infty }(U).$

Fördelningar med kompakt stöd

Inklusionskartan $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)$ är en kontinuerlig injektion vars bild är tät i sin kodomän, så transponera t $\displaystyle {}^ {t}\operatörsnamn {I} :\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U) =\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }}$ är också en kontinuerlig injektion. Bilden av transponeringen, betecknad med ${\mathcal {E}}^{\prime }(U),$ bildar alltså ett utrymme av distributioner när den är utrustad med den starka dubbla topologin av ${\displaystyle \left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }} ($ överförd till den via transponeringskartan ${}^{t}\operatörsnamn {In} :\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{ \prime }\to {\mathcal {E}}^{\prime }(U),$ så topologin för ${\mathcal {E}}^{\prime }(U)$ är finare än subrymdstopologin som denna mängd ärver från ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(U)} )$ .

Elementen i ${\mathcal {E}}^{\prime }(U)=\left(C^{\infty }(U)\ höger)_{b}^{\prime }$ kan identifieras som utrymmet för distributioner med kompakt stöd. Explicit, om T är en fördelning på U så är följande likvärdiga,

• $T\in {\mathcal {E}}^{\prime }(U)$ ;
• stödet för T är kompakt;
• begränsningen av $T$ till $C_{c}^{\infty }(U),$ när det utrymmet är utrustat med subrymdstopologin som ärvts från $C^{\infty }(U)$ (en grövre topologi än den kanoniska LF-topologin), är kontinuerlig;
• det finns en kompakt delmängd K av U så att för varje testfunktion $\phi$ vars stöd är helt utanför K , har vi $T(\phi )=0.$

Kompaktt stödda distributioner definierar kontinuerliga linjära funktionaliteter på utrymmet $C^{\infty }(U)$ ; kom ihåg att topologin på $C^{\infty }(U)$ är definierad så att en sekvens av testfunktioner $\phi _{k}$ konvergerar till 0 om och endast om alla derivator av $\phi _{k}$ konvergerar enhetligt till 0 på varje kompakt delmängd av U . Omvänt kan det visas att varje kontinuerlig linjär funktion på detta utrymme definierar en fördelning av kompakt stöd. Sålunda kan kompaktstödda distributioner identifieras med de distributioner som kan utökas från $C_{c}^{\infty }(U)$ till $C^{\infty }(U).$

Fördelningar av ändlig ordning

Låt $k\in \mathbb {N} .$ Inklusionskartan $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }( U)\to C_{c}^{k}(U)$ är en kontinuerlig injektion vars bild är tät i sin kodomän, så transponeringen ${\displaystyle {}^{t}\operatörsnamn {In} :\left(C_{c}^{k}(U)\right)_{b}^{\ prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }} är$ också en kontinuerlig injektion. Följaktligen är bilden av ${}^{t}\operatörsnamn {In} ,$ betecknad med ${\mathcal {D}}'^{k}(U ),$ bildar ett utrymme av distributioner när den är utrustad med den starka dubbla topologin av $\left(C_{c}^{k}(U)\right)_{ b}^{\prime }$ (överförd till den via transponeringskartan ${}^{t}\operatörsnamn {In} :\left(C^{\infty}(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}'^{k}(U),$ så ${\mathcal {D}}'^{m}(U)$ s topologi är finare än subrymdstopologin som denna uppsättning ärver från ${\mathcal {D}}^ {\prime }(U)$ ). Elementen i ${\mathcal {D}}'^{k}(U)$ är fördelningarna av ordningen $\,\leq k.$ Fördelningarna av ordning $\,\leq 0,$ som också kallas för distributioner av ordning $0,$ är exakt de fördelningar som är radonmått (beskrivs ovan).

För ${\displaystyle 0\neq k\in \mathbb {N} ,} är$ en fördelning av order $k$ en fördelning av order $\,\leq k$ dvs. inte en ordningsfördelning $\,\leq k-1$

En fördelning sägs vara av ändlig ordning om det finns något heltal k så att det är en fördelning av ordningen $\,\leq k,$ och uppsättningen av fördelningar av ändlig ordning betecknas med ${\mathcal {D}}'^{F}(U).$ Observera att om $k\leq 1$ så är ${\ displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)} så att D ′ F ( U )$ { $D }}'^{F}(U)}$ är ett vektordelrum av ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ och dessutom, om och endast om ${\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}^{\prime }(U).$

Struktur för distributioner av ändlig ordning

Varje distribution med kompakt stöd i U är en fördelning av ändlig ordning. Faktum är att varje distribution i U lokalt är en fördelning av ändlig ordning, i följande mening: Om V är en öppen och relativt kompakt delmängd av U och om $\rho _{VU}$ är restriktionsmappningen från U till V , då finns bilden av ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ under ${\displaystyle \rho _{VU}} i$${\mathcal {D}}'^{F}(V).$

Följande är satsen för strukturen av fördelningar av ändlig ordning, som visar att varje fördelning av ändlig ordning kan skrivas som en summa av derivator av radonmått :

Sats — Antag att $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ har ändlig ordning och $I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.$ Givet varje öppen delmängd V av U som innehåller stöd för T , finns det en familj av radonmått i U , $(\mu _{p})_{p\in I},$ så att för mycket $p\in I,\operatörsnamn {supp} (\mu _{p})\subseteq V$ och

$$T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.$$

Exempel. (Utdelningar av oändlig ordning) Låt $U:=(0,\infty )$ och för varje testfunktion $f,$ låt

$$Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).$$

Då är S en fördelning av oändlig ordning på U . Dessutom S inte utökas till en distribution på $\mathbb {R}$ ; det vill säga det finns ingen fördelning T på $\mathbb {R}$ så att begränsningen av T till U är lika med T .

Tempererade distributioner och Fouriertransform

För tempererade distributioner på halvenkla grupper, se Tempererad representation .

Nedan definieras de tempererade fördelningarna , som bildar ett delrum av ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),} rymden$ av distributioner på $\mathbb {R} ^{n}.$ Detta är ett korrekt delrum: medan varje tempererad fördelning är en fördelning och ett element av ${\mathcal {D}}^{ \prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ det omvända är inte sant. Tempererade distributioner är användbara om man studerar Fouriertransformen eftersom alla tempererade distributioner ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}).$ en Fouriertransform, vilket inte är sant för en godtycklig fördelning i

Schwartz utrymme

Schwartz- utrymmet , ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),$ är utrymmet för alla mjuka funktioner som snabbt minskar i oändligheten tillsammans med alla partiella derivat. Således $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ i Schwartz-utrymmet förutsatt att en derivata av $\phi ,$ multipliceras med någon kraft av $|x|,$ konvergerar till 0 som $|x|\to \infty .$ Dessa funktioner bildar en komplett TVS med en lämpligt definierad familj av seminormer . Mer exakt, för alla multiindex definierar $\alpha$ och ${\displaystyle \beta } :$

$$p_{\alpha ,\beta }(\phi )~=~\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.$$

Då är $\phi$ i Schwartz-utrymmet om alla värden uppfyller:

$$p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .$$

Familjen av seminormer $p_{\alpha ,\beta }$ definierar en lokalt konvex topologi på Schwartz-rymden. För $n=1,$ är seminormerna i själva verket normer på Schwartz-utrymmet. Man kan också använda följande familj av seminormer för att definiera topologin:

$$|f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1 +|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .$$

Annars kan man definiera en norm på ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ via

$$\|\phi \|_{k}~=~\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta}\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.$$

Schwartz-utrymmet är ett Fréchet-utrymme (dvs. ett komplett mätbart lokalt konvext utrymme). Eftersom Fouriertransformen ändrar $\partial ^{\alpha }$ till multiplikation med $x^{\alpha }$ och vice versa, innebär denna symmetri att Fouriertransformen av en Schwartz-funktion också är en Schwartz-funktion.

En sekvens $\{f_{i}\}$ i ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ konvergerar till 0 i ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ om och endast om funktionerna $(1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)$ konvergerar till 0 likformigt i hela $\mathbb {R} ^ {n},$ vilket innebär att en sådan sekvens måste konvergera till noll i $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$

${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ är tät i ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ Delmängden av alla analytiska Schwartz-funktioner är tät i ${\mathcal {S}}(\ mathbb {R} ^{n})$ också.

Schwartz-utrymmet är nukleärt och tensorprodukten av två kartor inducerar en kanonisk surjektiv TVS-isomorfismer

$${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes } }\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),$$

där ${\widehat {\otimes }}$ representerar fullbordandet av den injektiva tensorprodukten (som i detta fall är identisk med fullbordandet av den projektiva tensorprodukten ).

Tempererade distributioner

Inklusionskartan $\operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\till {\mathcal {S }}(\mathbb {R} ^{n})$ är en kontinuerlig injektion vars bild är tät i sin kodomän, så transponeringen t $\ displaystyle {}^{t}\operatörsnamn {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\ prime }(\mathbb {R} ^{n})}$ är också en kontinuerlig injektion. Bilden av transponeringskartan, betecknad med ${\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ bildar alltså ett mellanrum av distributioner när den är utrustad med den starka dubbla topologin av $({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}$ ( överförs till den via transponeringskartan ${\displaystyle {}^{t}\operatörsnamn {In} :({\mathcal {S}} (\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),} så topologin$ för ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})} är finare$ än subrymdstopologin som denna mängd ärver från ${\ displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})})$ .

Mellanrummet ${\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ kallas rymden för tempererade distributioner . Det är den kontinuerliga dualen av Schwartz-rummet. På motsvarande sätt är en fördelning T en tempererad fördelning om och endast om

$$\left({\text{ för alla } }\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\ Lång högerpil \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.$$

Derivatan av en tempererad fördelning är återigen en tempererad fördelning. Tempererade distributioner generaliserar de begränsade (eller långsamt växande) lokalt integrerbara funktionerna; alla distributioner med kompakt stöd och alla kvadratintegrerbara funktioner är härdade distributioner. Mer generellt, alla funktioner som är produkter av polynom med element av Lp-rymd $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ för $p\ geq 1$ är tempererade distributioner.

De tempererade fördelningarna kan också karakteriseras som långsamt växande , vilket innebär att varje derivata av T växer högst lika snabbt som något polynom . Denna karakterisering är dubbel till det snabbt fallande beteendet hos derivatorna av en funktion i Schwartz-rummet, där varje derivata av $\phi$ avklingar snabbare än varje inverspotens av $|x|.$ Ett exempel på en snabbt fallande funktion är $|x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })$ för alla positiva $n,\lambda ,\beta .$

Fouriertransform

För att studera Fouriertransformen är det bäst att överväga komplext värderade testfunktioner och komplexa linjära fördelningar. Den vanliga kontinuerliga Fouriertransformen $F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}} (\mathbb {R} ^{n})$ är en TVS- automorfism av Schwartz-rymden, och Fouriertransformen definieras som dess transponering ${ \displaystyle {}^{t}F:{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),}$ som (missbruk av notation) återigen kommer att betecknas med F . Så Fouriertransformen av den tempererade fördelningen T definieras av $(FT)(\psi )=T(F\psi)$ varje Schwartz-funktion $\psi .$$FT$ är alltså återigen en tempererad fördelning. Fouriertransformen är en TVS-isomorfism från utrymmet för tempererade distributioner till sig själv. Denna operation är kompatibel med differentiering i den meningen att

$$F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT$$

och även med faltning: om T är en tempererad fördelning och $\psi$ är en långsamt ökande jämn funktion på $\mathbb {R} ^{n},$$\psi T$ är återigen en tempererad fördelning och

$$F(\psi T)=F\psi *FT$$

är faltningen av $FT$ och $F\psi$ . I synnerhet är Fouriertransformen av konstantfunktionen lika med 1 fördelningen ${\displaystyle \delta } .$

Att uttrycka tempererade distributioner som summor av derivat

Om $T\in {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ är en tempererad fördelning, så finns det en konstant $C>0,$ och positiva heltal M och N så att för alla Schwartz-funktioner $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^ {n})$

$$\langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{ n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta}\phi (x)\right|=C\summa \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M }p_{\alpha ,\beta }(\phi ).$$

Denna uppskattning tillsammans med några tekniker från funktionsanalys kan användas för att visa att det finns en kontinuerligt långsamt ökande funktion F och en multiindex $\alpha$ så att

$$T=\partial ^{\alpha }F.$$

Begränsning av distributioner till kompakta uppsättningar

Om ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),} så$ för varje kompakt uppsättning $K\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ det finns en kontinuerlig funktion F som stöds kompakt i $\mathbb {R} ^{n}$ (möjligen på en större mängd än K sig) och ett multiindex $\alpha$ så att $T=\partial ^{\alpha }F$ på $C_{c}^{\infty }(K).$

Tensor produkt av distributioner

Låt $U\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ och $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vara öppna mängder. Antag att alla vektorrum är över fältet $\mathbb {F} ,$ där $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C} .$ För $f\in {\mathcal {D}}(U\ gånger V)$ definiera för varje $u\ i U$ och varje $v\in V$ följande funktioner:

$${\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\ till \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ och }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u ,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{aligned}}$$

Givet $S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ och $T\in {\mathcal {D }}^{\prime }(V),$ definierar följande funktioner:

$${\begin{alignedat}{9} langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ och }}\quad &&\langle T,f_{\bullet}\rangle : \,&&U&&\till \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\ \end{alignedat}}$$

där $\langle T,f_{\bullet }\rangle \i {\mathcal {D}}(U)$ och ${\displaystyle \langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).} Dessa definitioner$ associerar varje $S\in {\mathcal { D}}'(U)$ och $T\in {\mathcal {D}}'(V)$ med den (respektive) kontinuerliga linjära kartan:

$${\begin{alignedat}{9 }\,&{\mathcal {D}}(U\ gånger V)&&\till \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ och }}\quad &&\,&&{ \mathcal {D}}(U\ gånger V)&&\till \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&f&&\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&&f&&\ mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}$$

Dessutom, om antingen $S$ (resp. $T$ ) har kompakt stöd, inducerar den också en kontinuerlig linjär karta av $C^ {\infty }(U\ gånger V)\to C^{\infty }(V)$ (resp. $C^{\infty }(U\ gånger V)\till C^{\infty }(U)$ ).

Fubinis sats för distributioner — Låt $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ och $T\in {\mathcal {D}}'(V).$ Om $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$ så

$$\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .$$

Tensorprodukten av $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ och $}'(V),}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D$ } betecknad med $S\otimes T$ eller $T\otimes S,$ är fördelningen i $U\times V$ definierad förbi:

$$(S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .$$

Schwartz kärnteorem

Tensorprodukten definierar en bilinjär karta

$${\begin{alignedat}{4}\,&{\mathcal {D}} ^{\prime }(U)\ gånger {\mathcal {D}}^{\prime }(V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}^{\prime }(U\time V)\ \&~~~~~~~~(S,T)&&\mapsto \,&&S\otimes T\\\end{alignedat}}$$

spännvidden för denna kartas räckvidd är ett tätt delrum av dess kodomän. Vidare ${\displaystyle \operatörsnamn {supp} (S\otimes T)=\operatorname {supp} (S)\times \operatorname {supp} (T).} Dessutom ( S , T$ ) $) ,T)\mapsto S\otimes T}$ inducerar kontinuerliga bilinjära kartor:

$${\begin{alignedat} {8}&{\mathcal {E}}^{\prime }(U)&&\times {\mathcal {E}}^{\prime }(V)&&\to {\mathcal {E}}^{\ prime }(U\times V)\\&{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m})&&\times {\mathcal {S}}^{\prime }( \mathbb {R} ^{n})&&\to {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m+n})\\\end{alignedat}}$$

där ${\mathcal {E}}'$ anger utrymmet för distributioner med kompakt stöd och ${\mathcal {S}}$ är Schwartz-utrymmet med snabbt minskande funktioner.

Schwartz kärnteorem - Var och en av de kanoniska kartorna nedan (definierade på det naturliga sättet) är TVS-isomorfismer :

$${\begin{alignedat}{8}&{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m+n})~ &&~\cong ~&&~{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m})\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}^{ \prime }(\mathbb {R} ^{n})~&&~\cong ~&&~L_{b}({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m});&&\;{ \mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}))\\&{\mathcal {E}}^{\prime }(U\times V)~&&~\cong ~ &&~{\mathcal {E}}^{\prime }(U)\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {E}}^{\prime }(V)~&&~\cong ~&& ~L_{b}(C^{\infty }(U);&&\;{\mathcal {E}}^{\prime }(V))\\&{\mathcal {D}}^{\prime } (U\times V)~&&~\cong ~&&~{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {D}}^{\ prime }(V)~&&~\cong ~&&~L_{b}({\mathcal {D}}(U);&&\;{\mathcal {D}}^{\prime }(V))\\ \end{alignedat}}$$

Här representerar ${\widehat {\otimes }}$ fullbordandet av den injektiva tensorprodukten ( $L_{b}(X;Y)$ i detta fall är identisk med fullbordandet av den projektiva tensorprodukten , eftersom dessa utrymmen är nukleära ) och har topologin för enhetlig konvergens på avgränsade delmängder .

Detta resultat gäller inte för Hilbert-mellanslag som $L^{2}$ och dess dubbla mellanslag. Varför gäller ett sådant resultat för utrymmet för distributioner och testfunktioner men inte för andra "trevliga" utrymmen som Hilbert-utrymmet $L^{2}$ ? Denna fråga fick Alexander Grothendieck att upptäcka nukleära utrymmen , kärnkraftskartor och den injektiva tensorprodukten . Han visade slutligen att det är just för att ${\mathcal {D}}(U)$ är ett kärnrum som Schwartz kärnsats håller. Liksom Hilbert-rymden kan nukleära utrymmen ses som generaliseringar av finita dimensionella euklidiska rymd.

Använda holomorfa funktioner som testfunktioner

Framgången med teorin ledde till undersökning av idén om hyperfunktion , där utrymmen av holomorfa funktioner används som testfunktioner. En förfinad teori har utvecklats, i synnerhet Mikio Satos algebraiska analys , med användning av sheaf-teori och flera komplexa variabler . Detta utökar utbudet av symboliska metoder som kan göras till rigorös matematik, till exempel Feynman-integraler .

Se även

• Colombeau algebra – kommutativ associativ differentialalgebra av generaliserade funktioner i vilka jämna funktioner (men inte godtyckliga kontinuerliga) bäddas in som en subalgebra och distributioner bäddas in som ett underrum Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Aktuell (matematik) – Fördelningar på rum av differentialformer
• Distribution (talteori) – funktion på finita mängder som är analog med en integral Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Fördelning på en linjär algebraisk grupp – Linjär funktion som uppfyller ett stödvillkor
• Gelfand trippel – Konstruktion som länkar studien av "bundna" och kontinuerliga egenvärden i funktionsanalys Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Generaliserad funktion – Objekt som utökar begreppet funktioner
• Homogen fördelning
• Hyperfunktion – Typ av generaliserad funktion
• Laplacian av indikatorn – Gräns ​​för sekvens av smidiga funktioner
• Gräns ​​för en distribution
• Linjär form – Linjär karta från ett vektorrum till dess skalärfält
• Malgrange–Ehrenpreis teorem
• Pseudodifferentiell operator – Typ av differentialoperator Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Riesz representation theorem – Sats om dualen av ett Hilbertrum
• Vaga topologi
• Svag lösning

Bibliografi

• Barros-Neto, José (1973). En introduktion till distributionsteorin . New York, NY: Dekker.
• Benedetto, JJ (1997), Harmonic Analysis and Applications , CRC Press .
• Folland, GB (1989). Övertonsanalys i fasrymden . Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Friedlander, FG; Joshi, MS (1998). Introduktion till distributionsteorin . Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press. .
• Gårding, L. (1997), Some Points of Analysis and their History , American Mathematical Society .
• Gel'fand, IM ; Shilov, GE (1966–1968), Generalized functions , vol. 1–5, Academic Press .
• Grubb, G. (2009), Distributions and Operators , Springer .
•    Hörmander, L. (1983), Analysen av linjära partiella differentialoperatorer I , Grundl. Matematik. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN 3-540-12104-8 , MR 0717035 .
•   Horváth, John (1966). Topologiska vektorrum och distributioner . Addison-Wesley-serien i matematik. Vol. 1. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857 .
•    Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei V. (1957). Element i funktionsteorin och funktionsanalys . Dover böcker om matematik. New York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2 . OCLC 912495626 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
• Petersen, Bent E. (1983). Introduktion till Fourier Transform och Pseudo-Differential Operators . Boston, MA: Pitman Publishing. .
•    Rudin, Walter (1991). Funktionsanalys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
• Schwartz, Laurent (1954), "Sur l'impossibilité de la multiplifications des distributions", CR Acad. Sci. Paris , 239 : 847–848 .
• Schwartz, Laurent (1951), Théorie des distributions , vol. 1–2, Hermann .
• Sobolev, SL (1936), "Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales" , Mat . Sbornik , 1 :39–72 .
•   Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
•   Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4 .
•    Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
• Woodward, PM (1953). Sannolikhets- och informationsteori med applikationer till radar . Oxford, Storbritannien: Pergamon Press.

Vidare läsning

•   MJ Lighthill (1959). Introduktion till Fourieranalys och generaliserade funktioner . Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (kräver mycket lite kunskap om analys; definierar distributioner som gränser för sekvenser av funktioner under integraler)
•   VS Vladimirov (2002). Metoder för teorin om generaliserade funktioner . Taylor och Francis. ISBN 0-415-27356-0
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Generaliserad funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Generaliserade funktioner, utrymme för" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Generaliserad funktion, derivata av a" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
• Vladimirov, VS (2001) [1994], "Generaliserade funktioner, produkt av" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
• Oberguggenberger, Michael (2001) [1994], "Generaliserade funktionsalgebras" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .