Hjälpnormerat utrymme

I funktionsanalys användes två metoder för att konstruera normerade utrymmen från skivor systematiskt av Alexander Grothendieck för att definiera nukleära operatörer och nukleära utrymmen . En metod används om disken $D$ är avgränsad: i detta fall är det extra normerade utrymmet $\operatorname {span} D$ med norm

$$p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r.$$

Den andra metoden används om skivan $displaystyle D}$$X/p_{D}^{-1}(0).$ absorberar : i detta fall är det extra normerade utrymmet kvotutrymmet / Om skivan är både avgränsad och absorberande så är de två normerade hjälprymden kanoniskt isomorfa (som topologiska vektorrum och som normerade utrymmen ).

Inducerad av en avgränsad skiva – Banach-skivor

I den här artikeln kommer $X$ att vara ett verkligt eller komplext vektorutrymme (inte nödvändigtvis en TVS ännu) och $D$ kommer att vara en disk i $X.$

Seminormerat utrymme inducerat av en disk

Låt $X$ vara ett verkligt eller komplext vektorrum. För varje delmängd $D$ av $X,$ Minkowski -funktionen för $D$ definierad av:

• Om $D=\varnothing$ så definiera $p_{\varnothing }(x):\{0\}\to [0,\ infty )$ för att vara den triviala kartan $p_{\varnothing }=0$ och det antas att $\operatörsnamn {span} \varnothing =\{0\}.$
• Om $D\neq \varnothing$ och om $D$ är absorberande i ${\displaystyle \operatorname {span} D},$ beteckna då Minkowski-funktionen för $D$ i $\operatorname {span} D$ av
  $$p_{D}:\operatörsnamn {span} D\to [0,\infty )$$
  där för alla $x\i \operatorname {span} D,$ definieras detta av
  $$p_{D}(x):=\inf _{}\{r:x\in rD,r>0\}.$$

Låt $X$ vara ett verkligt eller komplext vektorrum. För varje delmängd $D$ av $X$ så att Minkowski-funktionen $p_{D}$ är en seminorm på $\operatorname {span} D,$ låt $X_{D}$ beteckna

$$X_{D}:=\left(\operatörsnamn {span} D,p_{D}\right)$$

som kallas det seminormade utrymmet inducerat av $D,$ där om $p_{D}$ är en norm så kallas det det normerade utrymmet inducerat av $D.$

Antagande ( topologi ): $X_{D}=\operatörsnamn {span} D$ är utrustad med seminormtopologin inducerad av $p_{D},$ som kommer att betecknas av $\tau _{D}$ eller $\tau _{p_{D}}$

helt härrör från mängden $D,$ den algebraiska strukturen för $X,$ och den vanliga topologin på $\mathbb {R}$ (eftersom ${\ displaystyle p_{D}}$ definieras med endast uppsättningen $D$ och skalär multiplikation). Detta motiverar studiet av Banach-skivor och är en del av anledningen till att de spelar en viktig roll i teorin om nukleära operatörer och nukleära utrymmen .

Inklusionskartan $\operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X$ kallas den kanoniska kartan .

Antag att $D$ är en disk. $infty }nD}$ sedan \ så att $D$ absorberar i $\operatorname {span} D,$ det linjära spannet för $D.$ Uppsättningen $\{rD:r>0\}$ av alla positiva skalära multipler av $D$ bildar en bas för grannskap vid ursprunget för en lokalt konvex topologisk vektorrumstopologi $_{D}}$$\operatorname {span} D.$ på . Minkowski -funktionen för disken $D$ i $\operatorname {span} D$ garanterar att $p_{D}$ är väldefinierad och bildar en seminorm på $\operatorname {span} D.$ Den lokalt konvexa topologin som induceras av denna seminorm är topologin $\tau _{D}$ som definierades tidigare.

Banach disk definition

En avgränsad disk $D$ i ett topologiskt vektorrum $X$ så att $\left(X_{D},p_{D}\right)$ är en Banach $X.$ utrymme kallas en Banach-skiva , infrakomplett eller en bounded completant i

Om det visas att $\left(\operatörsnamn {span} D,p_{D}\right)$ är ett Banach-mellanslag så kommer $D$ att vara en Banach-skiva i alla TVS som innehåller $D$ som en begränsad delmängd.

Detta beror på att Minkowski-funktionen $p_{D}$ är definierad i rent algebraiska termer. Följaktligen är frågan om huruvida $\left(X_{D},p_{D}\right)$ bildar ett Banach-utrymme eller inte, endast beroende av disken $D$ och Minkowski funktionella $p_{D},$ och inte på någon speciell TVS-topologi som $X$ kan bära. Således är kravet att en Banach-skiva i en TVS $X$ är en begränsad delmängd av $X$ den enda egenskapen som binder en Banach-disks topologi till topologin för dess innehållande TVS $X.$

Egenskaper för diskinducerade seminorerade mellanslag

Avgränsade skivor

Följande resultat förklarar varför Banach-diskar måste vara avgränsade.

Teorem — Om $D$ är en skiva i ett topologiskt vektorrum (TVS) $X,$ så är $D$ avgränsad i $X$ om och endast om inkluderingen map $\operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X$ är kontinuerlig.

Bevis

Om disken $D$ är avgränsad i TVS ${\displaystyle X} så$ finns det för alla grannskap $U$ av ursprunget i $, {\displaystyle X,}$$r>0$ så att $rD\subseteq U\cap X_{D}.$ Det följer att i detta fall topologin för $\left(X_{D},p_{D}\right)$ är finare än subrymdstopologin som $X_{D}$ ärver från $X,$ vilket antyder att inklusionskartan $\operatorname {In} _{ D}:X_{D}\till X$ är kontinuerlig. Omvänt, om $X$ har en TVS-topologi så att $\operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X$ är kontinuerlig, då för varje grannskap $U$ av ursprunget i $X$ finns det några $r>0$ så att $rD\subseteq U\cap X_{D },$ som visar att $D$ är avgränsad i $X.$

Hausdorffness

Mellanrummet $\left(X_{D},p_{D}\right)$ är Hausdorff om och endast om $p_{D}$ är en norm, vilket händer om och endast om $D$ inte innehåller något icke-trivialt vektorunderrum. I synnerhet om det finns en Hausdorff TVS-topologi på $X$ så att $D$ är avgränsad i $X$ så är $p_{D}$ en norm. Ett exempel där $X_{D}$ inte är Hausdorff erhålls genom att låta $X=\mathbb {R} ^{2}$ och låta $D$ vara $x$ -axel.

Konvergens av nät

Antag att $D$ är en disk i $X$ så att $X_{D}$ är Hausdorff och låt $x_{\ bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ vara ett nät i $X_{D}.$ Sedan $x_{\bullet }\to 0$ i $X_{D}$ om och bara om det finns ett nät ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i\in I}} av$ reella tal så att $r_{\bullet }\till 0$ och $x_{i}\in r_{i}D$ för alla $i$ ; dessutom kommer det i detta fall att antas utan förlust av allmänhet att $r_{i}\geq 0$ för alla $i.$

Förhållandet mellan diskinducerade utrymmen

Om $C\subseteq D\subseteq X$ så $\operatorname {span} C\subseteq \operatorname {span} D$ och ${ \displaystyle p_{D}\leq p_{C}}$ på $\operatorname {span} C,$ så definiera följande kontinuerliga linjära karta:

Om $C$ och $D$ är diskar i $X$ med ${\displaystyle C\subseteq D},$ anropa inkluderingskartan ${ \displaystyle \operatorname {I} _{C}^{D}:X_{C}\till X_{D}} den$ kanoniska inkluderingen av $X_{C}$ i $X_{D}.$

I synnerhet är subrymdstopologin som spänner över $} C}$ från $\left(X_{D},p_{D}\right)$ svagare än $\left(X_{C},p_{C}\right)$ s seminormtopologi.

Skivan som den slutna enhetens kula

Disken $D$ är en sluten delmängd av $\left(X_{D},p_{D}\right)$ om och endast om $D$ är den slutna enhetsbollen för seminormen $p_{D}$ ; dvs $D=\left\{x\in \operatörsnamn {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}.$

Om $D$ är en disk i ett vektorutrymme $X$ och om det finns en TVS-topologi $\tau$ på $\operatorname {span} D$ så att $D$ är en sluten och avgränsad delmängd av $\left(\operatorname {span} D,\tau \right),$ sedan är $D$ sluten enhet boll av $\left(X_{D},p_{D}\right)$ (det vill säga ${\displaystyle D=\left\{x\in \operatörsnamn {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}} ) ($ se fotnot för bevis).

Tillräckliga förutsättningar för en Banach-skiva

Följande teorem kan användas för att fastställa att $\left(X_{D},p_{D}\right)$ är ett Banach-mellanslag. När detta är etablerat $D$ att vara en Banach-skiva i alla TVS där $D$ är avgränsad.

Sats — Låt $D$ vara en skiva i ett vektorrum $X.$ Om det finns en Hausdorff TVS-topologi $\tau$ på $\operatorname {span} D$ så att $D$ är en avgränsad sekventiellt komplett delmängd av $(\operatörsnamn {span} D,\tau ),$ sedan $\left(X_{D},p_{D}\right)$ är ett Banach-utrymme.

Bevis

Antag utan förlust av allmänhet att $X=\operatörsnamn {span} D$ och låt $p:=p_{D}$ vara Minkowski-funktionen för $D.$ Eftersom $D$ är en begränsad delmängd av en Hausdorff TVS, innehåller $D$ inte något icke-trivialt vektorunderrum, vilket innebär att $p$ är en norm . Låt $\tau _{D}$ beteckna normtopologin på $X$ inducerad av $p$ där eftersom $D$ är en begränsad delmängd av $(X,\tau ),$$\tau _{D}$ är finare än $\tau .$

Eftersom $D$ är konvex och balanserad, för alla $0<m<n$

$$2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D=2^{-(m+1)}\left(1-2^{mn}\ höger)D\subseteq 2^{-(m+2)}D.$$

Låt ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} vara$ en Cauchy-sekvens i $\left(X_{D},p\right).$ Genom att ersätta $x_{\bullet }$ med en underföljd kan vi utan förlust av allmänhet anta ^† att för all $jag,$

$$x_{i+1}-x_{i}\in {\frac {1}{2^{i+2}}}D.$$

Detta innebär att för alla $0<m<n,$

$$x_{n}-x_{m}=\left(x_{n}-x_{n-1}\right)+\left(x_{m+1}-x_{m}\ höger)\in 2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D\subseteq 2^{-(m+2)}D$$

så att i synnerhet, genom att ta $m=1$ det följer att $x_{\bullet }$ ingår i $x_{1}+2^{-3}D.$ Eftersom $\tau _{D}$ är finare än $\tau ,$$x_{\ punkt }$ är en Cauchy-sekvens i $(X,\tau ).$ För alla $är {\displaystyle m>0,}$$-(m+2)}D}$ en Hausdorff sekventiellt komplett delmängd av $(X,\tau ).$ I synnerhet gäller detta för $x_{1}+2^{-3}D$ så det finns några $x\in x_{1}+2^{-3}D$ så att $x_{\bullet }\to x$ in $(X,\tau ).$

Eftersom $x_{n}-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D$ för alla ${\ displaystyle 0<m<n,}$ genom att fixera $m$ och ta gränsen (i $(X,\tau )$ ) som $n\to \ infty ,$ det följer att $x-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D$ för varje ${\ displaystyle m>0.}$ Detta innebär att $p\left(x-x_{m}\right)\to 0$ som $m\to \infty ,$ som säger exakt att $x_{\bullet }\to x$ i $\left(X_{D},p\right).$ Detta visar att $\left(X_{D},p\right)$ är komplett.

^† Detta antagande är tillåtet eftersom $x_{\bullet }$ är en Cauchy-sekvens i ett metriskt utrymme (så gränserna för alla undersekvenser är lika) och en sekvens i ett metriskt utrymme konvergerar om och endast om varje undersekvens har en delföljd som konvergerar.

Observera att även om $D$ inte är en avgränsad och sekventiellt komplett delmängd av någon Hausdorff TVS, kan man ändå dra slutsatsen att $\left(X_{D},p_ {D}\right)$ är ett Banach-mellanslag genom att applicera denna sats på någon disk $K$ som uppfyller

$$\left\{x\in \operatörsnamn {span} D: p_{D}(x)<1\right\}\subseteq K\subseteq \left\{x\in \operatörsnamn {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}$$

eftersom $p_{D}=p_{K}.$

Följande är konsekvenserna av ovanstående sats:

• En sekventiellt komplett avgränsad disk i en Hausdorff TVS är en Banach-skiva.
• Varje skiva i en Hausdorff TVS som är komplett och avgränsad (t.ex. kompakt) är en Banach-skiva.
• Den slutna enhetskulan i ett Fréchet-utrymme är sekventiellt komplett och därmed en Banach-skiva.

Antag att $D$ är en avgränsad disk i en TVS $X.$

• Om $L:X\to Y$ är en kontinuerlig linjär karta och $B\subseteq X$ är en Banach-skiva, då $L(B)$ är en Banach-skiva och ${\displaystyle L{\big \vert }_{X_{B}}:X_{B}\to L\left(X_{B}\right)} inducerar en$ isometrisk $Y_{L(B)}\cong X_{B}/\left(X_{B}\cap \operatörsnamn {ker} L\right).$ -

Egenskaper för Banach-skivor

Låt $X$ vara en TVS och låt $D$ vara en avgränsad disk i $X.$

Om $D$ är en avgränsad Banach-skiva i ett Hausdorff lokalt konvext utrymme $X$ och om $T$ är ett fat i $X$ så absorberar $T$$D$ (det vill säga det finns ett tal $r>0$ så att $D\subseteq rT.$

Om $U$ är en konvex balanserad sluten stadsdel av ursprunget i ${\displaystyle X} så$ sträcker sig samlingen av alla grannskap $rU,$ där $r>0$ de positiva reella talen, inducerar en topologisk vektorrumstopologi på $X.$ När $X$ har denna topologi, betecknas den med $X_{U}.$ Eftersom denna topologi inte nödvändigtvis är Hausdorff eller komplett, kommer kompletteringen av Hausdorff-utrymmet $X/p_{U}^{-1}(0)$ betecknas med ${\overline {X_{U}}}$ så att ${\overline {X_{U}}}$ är ett komplett Hausdorff-mellanslag och $p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r$ är en norm på detta utrymme vilket gör ${ \displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ till ett Banach-utrymme. Polaren för $U,$$U^{\circ },$ är en svagt kompakt avgränsad ekvikontinuerlig skiva i $X^{\prime }$ och är sålunda infrakomplett.

Om $X$ är en mätbar lokalt konvex TVS så finns det för varje avgränsad delmängd $B$ av ${\displaystyle X,} en avgränsad$ disk $D$ i $X$ så att $B\subseteq X_{D},$ och både $X$ och $X_{D}$ inducerar samma subrymdstopologi på $B.$

Inducerad av en radiell skiva – kvot

Antag att $X$ är ett topologiskt vektorrum och $V$ är en konvex balanserad och radiell mängd. Då $\left\{{\tfrac {1}{n}}V:n=1,2,\ldots \right\}$ en grannskapsbas vid ursprunget för någon lokalt konvex topologi $\tau _{V}$ på $X.$ Denna TVS-topologi $\tau _{V}$ ges av Minkowski-funktionen som bildas av $V,$$p_{V }:X\to \mathbb {R} ,$ som är en seminorm på $X$ definierad av $p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r.$ Topologin $\tau _{V}$ är Hausdorff om och endast om $p_{V}$ är en norm, eller motsvarande, om och endast om ${\displaystyle X/p_{V}^{-1}(0)=\{ 0\}} eller motsvarande$ , för vilket det räcker att $V$ begränsas i $X.$ Topologin $\tau _{V}$ behöver inte vara Hausdorff utan $X/p_{V}^{-1}(0)$ är Hausdorff. En norm på $X/p_{V}^{-1}(0)$ ges av ${\displaystyle \left\|x+X/p_{V}^{-1}(0)\right\|:=p_{V}(x),} där detta värde faktiskt är oberoende av$ representanten av ekvivalensklassen $x+X/p_{V}^{-1}(0)$ vald. Det normerade utrymmet $\left(X/p_{V}^{-1}(0),\|\cdot \|\right)$ anges med $X_{V}$ och dess komplettering betecknas med ${\overline {X_{V}}}.$

Om dessutom $V$ är avgränsad i $X$ så är seminormen $p_{V}:X\to \mathbb {R}$ en norm så i synnerhet , $p_{V}^{-1}(0)=\{0\}.$ I det här fallet tar vi $X_{V}$ som vektorrymden $X$ istället för $X/\{0\}$ så att notationen $X_{V}$ är entydig (om $X_{V}$ betecknar utrymmet som induceras av en radiell skiva eller det utrymme som induceras av en avgränsad skiva).

Kvotenstopologin $\tau _{Q}$ på $X/p_{V}^{-1}(0)$ ( ärvt från $X$ s ursprungliga topologi) är finare (i allmänhet strikt finare) än normtopologin.

Kanoniska kartor

Den kanoniska kartan är kvotkartan $q_{V}:X\to X_{V}=X/p_{V}^{-1 }(0),$ som är kontinuerlig när $X_{V}$ har antingen normtopologin eller kvottopologin.

Om $U$ och $V$ är radiella skivor så att $U\subseteq V$ då ${\displaystyle p_{U }^{-1}(0)\subseteq p_{V}^{-1}(0)} så det finns$ en kontinuerlig linjär surjektiv kanonisk karta $q_{V,U}:X/p_{U}^{-1}(0)\till X/p_{V}^{-1}(0)=X_ {V}$ definieras genom att skicka $x+p_{U}^{-1}(0)\in X_{U} =X/p_{U}^{-1}(0)$ till ekvivalensklassen $x+p_{V}^{-1}(0),$ där en kan verifiera att definitionen inte beror på representanten för ekvivalensklassen $x+p_{U}^{-1}(0)$ som är vald. Denna kanoniska karta har norm $\,\leq 1$ och den har en unik kontinuerlig linjär kanonisk förlängning till ${\overline {X_{U}}}$ som betecknas med ${\overline {g_{V,U}}}:{\overline {X_{U}}}\to {\overline {X_{V}}}.$

Antag att dessutom $B\neq \varnothing$ och $C$ är avgränsade diskar i $X$ med $B\subseteq C$ så att $X_{B}\subseteq X_{C}$ och inkluderingen $\operatörsnamn {In} _{B}^{C}:X_{B}\ till X_{C}$ är en kontinuerlig linjär karta. Låt $\operatorname {In} _{B}:X_{B}\to X,$$\operatorname {I} _{C }:X_{C}\till X,$ och $\operatörsnamn {I} _{B}^{C}:X_{B}\till X_{C}$ vara de kanoniska kartorna. Sedan $\operatörsnamn {I} _{C}=\operatörsnamn {I} _{B}^{C}\circ \operatörsnamn {I} _ {C}:X_{B}\till X_{C}$ och $q_{V}=q_{V,U}\circ q_{U}.$

Inducerad av en avgränsad radiell skiva

Antag att $S$ är en avgränsad radiell skiva. Eftersom $S$ är en avgränsad disk, om $D:=S$ så kan vi skapa det extra normerade utrymmet $X_{D}=\operatörsnamn { span} D$ med norm $p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r$ ; eftersom $S$ är radiell, $X_{S}=X.$ Eftersom $S$ är en radiell skiva, om $V:=S$ kan vi skapa det extra seminormade utrymmet $X/p_{V}^{-1}(0)$ med seminormen $p_{V}(x): =\inf _{x\in rV,r>0}r$ ; eftersom $S$ är begränsad är denna seminorm en norm och $p_{V}^{-1}(0)=\{0\}$ så $X/p_{V}^{-1}(0)=X/\{0\}=X.$ I det här fallet resulterar alltså de två normerade hjälputrymmena som skapas av dessa två olika metoder i samma normerade Plats.

Dualitet

Antag att $H$ är en svagt sluten ekvikontinuerlig skiva i ${\displaystyle X^{\prime }} ($ detta antyder att $H$ är svagt kompakt) och låt

$$U:=H^{\circ }=\{x\in X:|h(x)|\leq 1{\text{ för alla }}h\in H\ }$$

vara polar av $H.$ Eftersom $U^{\circ }=H^{\circ \circ }=H$ av den bipolära satsen , följer det att en kontinuerlig linjär funktionell ${ \displaystyle f}$ tillhör $X_{H}^{\prime }=\operatörsnamn {span} H$ om och endast om $f$ hör till det kontinuerliga dubbla rummet för $\left(X,p_{U}\right),$ där $p_{U}$ är Minkowski-funktionen för $U$ definierad av $p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r.$

Relaterade begrepp

En skiva i en TVS kallas infraborätande om den absorberar alla Banach-skivor.

En linjär karta mellan två TVS kallas infrabounded om den mappar Banach-diskar till bounded disks.

Snabb konvergens

En sekvens ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} i en TVS$ X $\ displaystyle X}$ sägs vara snabbt konvergent till en punkt $x\in X$ om det finns en Banach-skiva $D$ så att både $x$ och sekvensen är (till slut ) som ingår i $\operatorname {span} D$ och $x_{\bullet }\to x$ i $\left(X_{D},p_{D}\right).$

Varje snabb konvergent sekvens är Mackey-konvergent .

Se även

• Bornologiskt rum – Utrymme där avgränsade operatorer är kontinuerliga
• Injektiv tensorprodukt
• Lokalt konvext topologiskt vektorrum – Ett vektorrum med en topologi definierad av konvexa öppna uppsättningar
• Kärnkraftsoperatör
• Kärnrum – En generalisering av ändliga dimensionella euklidiska rum som skiljer sig från Hilbert-rum
• Initial topologi – Den grövre topologin gör vissa funktioner kontinuerliga
• Projektiv tensorprodukt – Den projektiva tensorprodukten av två topologiska vektorrum Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Schwartz topologiska vektorrum – topologiska vektorrum vars stadsdelar av ursprunget har en egenskap som liknar definitionen av helt avgränsade delmängder Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Tensorprodukt från Hilbert-utrymmen – Tensorproduktutrymme försett med en speciell inre produkt
• Topologisk tensorprodukt – Tensorproduktkonstruktioner för topologiska vektorrum
• Ultrabornologiskt utrymme

Bibliografi

•   Burzyk, Józef; Gilsdorf, Thomas E. (1995). "Några kommentarer om Mackey-konvergens" (PDF) . International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences . Hindawi Limited. 18 (4): 659–664. doi : 10.1155/s0161171295000846 . ISSN 0161-1712 .
•    Diestel, Joe (2008). The Metric Theory of Tensor Products: Grothendieck's Resumé Revisited . Vol. 16. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 9781470424831 . OCLC 185095773 .
•    Dubinsky, Ed (1979). Strukturen av nukleära Fréchet-utrymmen . Föreläsningsanteckningar i matematik . Vol. 720. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09504-0 . OCLC 5126156 .
•     Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Topologiska tensorprodukter och nukleära utrymmen]. Memoirs of the American Mathematical Society Series (på franska). Providence: American Mathematical Society. 16 . ISBN 978-0-8218-1216-7 . MR 0075539 . OCLC 1315788 .
•     Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologier och funktionsanalys: Introduktionskurs om teorin om dualitetstopologi-bornologi och dess användning i funktionsanalys . North-Holland Mathematics Studies. Vol. 26. Amsterdam New York New York: Norra Holland. ISBN 978-0-08-087137-0 . MR 0500064 . OCLC 316549583 .
•    Hogbe-Nlend, Henri; Moscatelli, VB (1981). Nukleära och konukleära utrymmen: Introduktionskurs om kärn- och konukleära utrymmen i ljuset av dualiteten "topologi-bornologi" . North-Holland Mathematics Studies. Vol. 52. Amsterdam New York New York: Norra Holland. ISBN 978-0-08-087163-9 . OCLC 316564345 .
•    Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelledness i topologiska och ordnade vektorutrymmen . Föreläsningsanteckningar i matematik . Vol. 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0 . OCLC 4493665 .
•    Khaleelulla, SM (1982). Motexempel i topologiska vektorutrymmen . Föreläsningsanteckningar i matematik . Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Pietsch, Albrecht (1979). Nukleära lokalt konvexa utrymmen . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 66 (andra upplagan). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9 . OCLC 539541 .
•    Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologiska vektorutrymmen . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
•    Ryan, Raymond A. (2002). Introduktion till Tensor-produkter från Banach Spaces . Springer Monographs in Mathematics. London New York: Springer . ISBN 978-1-85233-437-6 . OCLC 48092184 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wong, Yau-Chuen (1979). Schwartz Spaces, Nuclear Spaces och Tensor-produkter . Föreläsningsanteckningar i matematik . Vol. 726. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2 . OCLC 5126158 .

externa länkar

• Nukleärt utrymme vid ncatlab