Aktuell (matematik)

Inom matematiken , mer speciellt i funktionsanalys , differentialtopologi och geometrisk måttteori , är en k -ström i Georges de Rhams mening en funktionell på utrymmet av kompakt stödda differentiella k -former , på ett jämnt grenrör M. Strömmar beter sig formellt som Schwartz-fördelningar på ett utrymme av differentialformer, men i en geometrisk miljö kan de representera integration över en undergren, generalisera Dirac delta-funktionen , eller mer allmänt till och med riktningsderivator av deltafunktioner ( multipoler ) utspridda längs undergrupper av M .

Definition

Låt $\Omega _{c}^{m}(M)$ beteckna utrymmet för släta m - former med kompakt stöd på ett jämnt grenrör $M.$ En ström är en linjär funktion på $\Omega _{c}^{m}(M)$ som är kontinuerlig i betydelsen distributioner . Alltså en linjär funktionell

$$T:\Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R}$$

är en m -dimensionell ström om den är kontinuerlig i följande mening: Om en sekvens $\omega _{k}$ av jämna former, alla stödda i samma kompakta mängd, är sådan att alla derivator av alla deras koefficienter tenderar likformigt till 0 när $k$ tenderar till oändlighet, då tenderar $T(\omega _{k})$ till 0.

Utrymmet ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ för m -dimensionella strömmar på $M$ är ett verkligt vektorrum med operationer definierade av

$$(T+S)(\omega ):=T(\omega )+S(\omega ),\qquad (\lambda T)(\omega ):=\lambda T(\omega ).$$

Mycket av teorin om fördelningar överförs till strömmar med minimala justeringar. Till exempel kan man definiera stödet för en aktuell $T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)$ som komplementet till den största öppna mängden $U\subset M$ så att

$$T(\omega )=0$$

närhelst $\omega \in \Omega _{c}^{m}(U)$

Det linjära delrummet av ${\mathcal {D}}_{m}(M)$ som består av strömmar med stöd (i betydelsen ovan) som är en kompakt delmängd av $M$ betecknas ${\mathcal {E}}_{m}(M).$

Homologisk teori

Integration över en kompakt likriktbar orienterad delgren M ( med gräns ) med dimensionen m definierar en m -ström, betecknad med $[[M]]$ :

$$[[M]](\omega )=\int _{M}\omega .$$

Om gränsen ∂ M för M är likriktbar, så definierar den också en ström genom integration, och i kraft av Stokes sats har man:

$$[[\partial M]](\omega )=\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega =[[M]](d\omega ).$$

Detta relaterar den yttre derivatan d med gränsoperatorn ∂ på homologin för M .

Med tanke på denna formel kan vi definiera en gränsoperator på godtyckliga strömmar

$$\partial :{\mathcal {D}}_{m+1}\to {\mathcal {D}}_{m}$$

via dualitet med den yttre derivatan av

$$(\partial T)(\omega ):=T(d\omega )$$

för alla kompakt stödda m -former $\omega .$

Vissa underklasser av strömmar som är stängda under $\partial$ kan användas istället för alla strömmar för att skapa en homologiteori, som kan uppfylla Eilenberg–Steenrods axiom i vissa fall. Ett klassiskt exempel är underklassen av integralströmmar på Lipschitz grannskap.

Topologi och normer

Strömmarnas utrymme är naturligt försett med svag-*-topologin , som vidare helt enkelt kommer att kallas svag konvergens . En sekvens $T_{k}$ av strömmar, konvergerar till ett aktuellt $T$ om

$$T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .$$

Det är möjligt att definiera flera normer på delrum av alla strömmars rymd. En sådan norm är massnormen . Om $\omega$ är en m -form, definiera dess kommas med

$$\|\omega \|:=\sup\{\left|\langle \omega ,\xi \rangle \right|:\xi {\mbox{ är en enhet, enkel, }}m{\mbox{ -vektor}}\}.$$

Så om $\omega$ är en enkel m -form, så är dess massnorm den vanliga L ^∞ -normen för dess koefficient. Massan av en aktuell $T$ definieras då som

$$\mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega ):\sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\}.$$

Massan av en ström representerar den viktade arean av den generaliserade ytan. En ström sådan att M ( T ) < ∞ kan representeras genom integration av ett vanligt Borelmått med en version av Riesz-representationssatsen . Detta är utgångspunkten för homologisk integration .

En mellannorm är Whitneys platta norm , definierad av

$$\mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A):A\in {\mathcal {E}}_ {m+1}\}.$$

Två strömmar är nära i massnormen om de sammanfaller bort från en liten del. Å andra sidan ligger de nära i den platta normen om de sammanfaller upp till en liten deformation.

Exempel

Minnas det

$$\Omega _{c}^{0}(\mathbb {R} ^{n})\equiv C_{c}^{\infty }( \mathbb {R} ^{n})$$

så att följande definierar en 0-ström:

$$T(f)=f(0).$$

I synnerhet är varje regelbunden takt $\mu$ en 0-ström:

$$T(f)=\int f(x)\,d\mu (x).$$

Låt ( x , y , z ) vara koordinaterna i $\mathbb {R} ^{3}.$ Sedan definierar följande en 2-ström (en av många):

$$T(a\,dx\wedge dy+b\,dy\wedge dz+c\,dx\wedge dz):=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }b(x,y,0)\,dx\,dy.$$

Se även

• Georges de Rham
• Herbert Federer
• Differentialgeometri
• Varifold

Anteckningar

•     de Rham, Georges (1984). Differentiera grenrör. Former, strömmar, harmoniska former . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 266. Översatt av Smith, FR Med en introduktion av SS Chern . (Översättning av 1955 års franska originalutgåva). Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-61752-2 . ISBN 3-540-13463-8 . MR 0760450 . Zbl 0534.58003 .
•     Federer, Herbert (1969). Geometrisk måttteori . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 153. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-62010-2 . ISBN 978-3-540-60656-7 . MR 0257325 . Zbl 0176.00801 .
•     Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978). Principer för algebraisk geometri . Ren och tillämpad matematik. New York: John Wiley & Sons . doi : 10.1002/9781118032527 . ISBN 0-471-32792-1 . MR 0507725 . Zbl 0408.14001 .
•     Simon, Leon (1983). Föreläsningar om geometrisk måttteori . Handlingar från Centrum för matematisk analys. Vol. 3. Canberra: Center for Mathematical Analysis vid Australian National University . ISBN 0-86784-429-9 . MR 0756417 . Zbl 0546.49019 .
•     Whitney, Hassler (1957). Geometrisk integrationsteori . Princeton Mathematical Series. Vol. 21. Princeton, NJ och London: Princeton University Press och Oxford University Press . doi : 10.1515/9781400877577 . ISBN 9780691652900 . MR 0087148 . Zbl 0083.28204 . .
•     Lin, Fanghua; Yang, Xiaoping (2003), Geometric Measure Theory: An Introduction , Advanced Mathematics (Beijing/Boston), vol. 1, Beijing/Boston: Science Press/International Press, s. x+237, ISBN 978-1-57146-125-4 , MR 2030862 , Zbl 1074.49011

Den här artikeln innehåller material från Current on PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .