Topologisk homomorfism

I funktionell analys är en topologisk homomorfism eller helt enkelt homomorfism (om ingen förvirring kommer att uppstå) analogen till homomorfismer för kategorin topologiska vektorrum (TVS). Detta koncept är av stor betydelse i funktionsanalys och den berömda öppna kartläggningssatsen ger ett tillräckligt villkor för att en kontinuerlig linjär karta mellan Fréchet-rymden ska vara en topologisk homomorfism.

Definitioner

En topologisk homomorfism eller helt enkelt homomorfism (om ingen förvirring kommer att uppstå) är en kontinuerlig linjär karta $u:X\to Y$ mellan topologiska vektorrum (TVS) så att den inducerade kartan $u:X\to \operatorname {Im} u$ är en öppen mappning när $\operatorname {Im} u:=u(X),$ som är bilden av $u,$ ges subrymdstopologin inducerad av $Y.$ Detta koncept är av stor betydelse i funktionsanalys och den berömda öppna kartläggningssatsen ger ett tillräckligt villkor för att en kontinuerlig linjär karta mellan Fréchet-rymden ska vara en topologisk homomorfism.

En TVS-inbäddning eller en topologisk monomorfism är en injektiv topologisk homomorfism. På motsvarande sätt är en TVS-inbäddning en linjär karta som också är en topologisk inbäddning .

Karakteriseringar

Antag att $u:X\to Y$ är en linjär karta mellan TVS:er och notera att $u$ kan dekomponeras i sammansättningen av följande kanoniska linjära kartor:

$X~{\overset {\pi }{\rightarrow }}~X/\operatörsnamn {ker} u~{\overset {u_{0 }}{\rightarrow }}~\operatörsnamn {Im} u~{\overset {\operatörsnamn {In} }{\rightarrow }}~Y$

där $\pi :X\to X/\operatorname {ker} u$ är den kanoniska kvotmappen och $\operatorname {In} : \operatorname {Im} u\to Y$ är inkluderingskartan .

Följande är likvärdiga:

1. $u$ är en topologisk homomorfism
2. för varje grannskapsbas ${\mathcal {U}}$ av ursprunget i $X,$$u\left({\mathcal {U}}\right)$ är en grannskapsbas av ursprunget i $Y$
3. den inducerade kartan $u_{0}:X/\operatorname {ker} u\to \operatorname {Im} u$ är en isomorfism av TVS:er

Om intervallet för ${\displaystyle u} dessutom$ är ett ändligt dimensionellt Hausdorff-utrymme är följande ekvivalenta:

1. $u$ är en topologisk homomorfism
2. $u$ är kontinuerlig
3. $u$ är kontinuerlig vid origo
4. $u^{-1}(0)$ är stängd i $X$

Tillräckliga förutsättningar

Teorem — Låt $u:X\to Y$ vara en surjektiv kontinuerlig linjär karta från ett LF-rum $X$ till ett TVS $Y.$ Om $Y$ också är ett LF-mellanslag eller om $Y$ är ett Fréchet-mellanslag så är $u:X\to Y$ en topologisk homomorfism.

Teorem — Antag att $f:X\to Y$ är en kontinuerlig linjär operator mellan två Hausdorff TVS. Om $M$ är ett tätt vektordelrum av $X$ och om begränsningen $f{\big \vert }_{M}:M\to Y$ till $M$ är en topologisk homomorfism då $f:X\to Y$ är också en topologisk homomorfism.

Så om $C$ och $D$ är Hausdorff-kompletteringar av $X$ och $Y,$ respektive, och om $f:X\ till Y$ är en topologisk homomorfism, då är $f$ s unika kontinuerliga linjära förlängning $F:C\to D$ en topologisk homomorfism. (Det är dock möjligt för $f:X\to Y$ att vara surjektiv men för $F:C\to D$ att inte vara injektiv.)

Öppna kartläggningssatsen

Den öppna kartläggningssatsen , även känd som Banachs homomorfismteorem, ger ett tillräckligt villkor för att en kontinuerlig linjär operator mellan kompletta mätbara TVS:er ska vara en topologisk homomorfism.

Teorem — Låt $u:X\to Y$ vara en kontinuerlig linjär karta mellan två kompletta mätbara TVS. Om $\operatorname {Im} u,$ som är intervallet för $u,$ är en tät delmängd av $Y$ så är antingen $\operatorname {Im} u$ är magert (det vill säga av den första kategorin ) i $Y$ eller så är $u:X\to Y$ en surjektiv topologisk homomorfism. I synnerhet $u:X\to Y$ en topologisk homomorfism om och endast om $\operatorname {Im} u$ är en sluten delmängd av $Y.$

Följd — Låt $\sigma$ och $\tau$ vara TVS-topologier på ett vektorrum $X$ så att varje topologi gör $X$ till en komplett mätbar TVS . Om antingen $\sigma \subseteq \tau$ eller $\tau \subseteq \sigma$ så är $\sigma =\tau .$

Följd — Om $X$ är en komplett mätbar TVS , är $M$ och $N$ två slutna vektorunderrymden av $X,$ och om $X$ är den algebraiska direkta summan av $M$ och $N$ (dvs den direkta summan i kategorin vektorrum), då är $X$ den direkta summan av $M$ och $N$ i kategorin topologiska vektorrum.

Exempel

Varje kontinuerlig linjär funktion på en TVS är en topologisk homomorfism.

Låt $X$ vara en $1$ -dimensionell TVS över fältet $\mathbb {K}$ och låt $x\in X$ vara icke-noll. Låt $L:\mathbb {K} \to X$ definieras av $L(s):=sx.$ Om $\mathbb {K}$ har sin vanliga euklidiska topologi och om $X$ är Hausdorff så $L:\ mathbb {K} \to X$ är en TVS-isomorfism.

Se även

• Homomorfism – Strukturbevarande karta mellan två algebraiska strukturer av samma typ
• Öppen mappning – En funktion som skickar öppna (resp. stängda) delmängder till öppna (resp. stängda) delmängder Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Surjektion av Fréchet-utrymmen – Karakterisering av surjektivitet
• Topologiskt vektorrum – Vektorrum med en föreställning om närhet

Bibliografi

•    Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topologiska vektorrum: Kapitel 1–5 . Éléments de mathématique . Översatt av Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
•    Jarchow, Hans (1981). Lokalt konvexa utrymmen . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342 .
•     Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologiska vektorrum I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Översatt av Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . MR 0248498 . OCLC 840293704 .
•    Köthe, Gottfried (1979). Topologiska vektorrum II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 237. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9 . OCLC 180577972 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologiska vektorutrymmen . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Schechter, Eric (1996). Handbok för analys och dess grunder . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .
•    Swartz, Charles (1992). En introduktion till funktionsanalys . New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4 . OCLC 24909067 .
•    Swartz, Charles (1992). En introduktion till funktionsanalys . New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4 . OCLC 24909067 .
•    Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Valdivia, Manuel (1982). Nachbin, Leopoldo (red.). Ämnen i lokalt konvexa utrymmen . Vol. 67. Amsterdam New York, NY: Elsevier Science Pub. Co. ISBN 978-0-08-087178-3 . OCLC 316568534 .
•    Voigt, Jürgen (2020). En kurs om topologiska vektorrum . Kompakta läroböcker i matematik. Cham: Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-030-32945-7 . OCLC 1145563701 .
•    Wilansky, Albert (2013). Moderna metoder i topologiska vektorutrymmen . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .