Homogen fördelning

Ej att förväxla med enhetlig fördelning (disambiguation) .

I matematik är en homogen fördelning en fördelning S på det euklidiska rummet R ⁿ eller R ⁿ \ {0 } som är homogen i den meningen att, grovt sett,

$S(tx)=t^{m}S(x)\,$

för alla t > 0.

Mer exakt, låt $\mu _{t}:x\mapsto x/t$ vara den skalära divisionsoperatorn på R ⁿ . En fördelning S på R ⁿ eller R ⁿ \ {0 } är homogen av grad m förutsatt att

$S[t^{-n}\varphi \circ \mu _{t}]=t^{m}S[\varphi ]$

för alla positiva reella t och alla testfunktioner φ. Den ytterligare faktorn t ^{− n} behövs för att reproducera den vanliga föreställningen om homogenitet för lokalt integrerbara funktioner, och kommer från den jakobianska förändringen av variabler . Talet m kan vara reellt eller komplext.

^Det kan vara ett icke-trivialt problem att utöka en given homogen fördelning från Rn \ {0} till en fördelning på Rn , även om detta är nödvändigt för att många av Fourier-analysteknikerna ^, i synnerhet Fourier-transformen , ska kunna användas att bära. En sådan förlängning finns i de flesta fall, även om den kanske inte är unik.

Egenskaper

Om S är en homogen fördelning på R ⁿ \ {0} av grad α, då den svaga första partiella derivatan av S

${\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}$

har grad α−1. Dessutom gäller en version av Eulers homogena funktionssats : en fördelning S är homogen av grad α om och endast om

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}=\alpha S.$

En dimension

En fullständig klassificering av homogena fördelningar i en dimension är möjlig. De homogena fördelningarna på R \{0} ges av olika potensfunktioner . Utöver potensfunktionerna inkluderar homogena fördelningar på R Dirac delta-funktionen och dess derivator.

Dirac delta-funktionen är homogen med graden −1. Intuitivt,

$\int _{\mathbb {R} }\ delta (tx)\varphi (x)\,dx=\int _{\mathbb {R}}\delta (y)\varphi (y/t)\,{\frac {dy}{t}}=t^ {-1}\varphi (0)$

genom att göra en förändring av variablerna y = tx i "integralen". Dessutom är den k: te svaga derivatan av deltafunktionen δ ^{( k )} homogen med graden − k −1. Dessa distributioner har alla stöd som endast består av ursprunget: när de lokaliseras över R \ {0 } är dessa distributioner alla identiskt noll.

x
^α ₊

I en dimension, funktionen

$x_{+}^{\alpha }={\begin{cases}x^{\alpha }&{\text{if }}x>0\\0& {\text{annars}}\end{case}}$

är lokalt integrerbar på R \ {0 }, och definierar således en distribution. Fördelningen är homogen av grad α. På samma sätt $x_{-}^{\alpha }=(-x)_{+}^{\alpha }$ och ${\displaystyle |x|^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+x_{-}^{\alpha }} är homogena fördelningar av grad α$ .

Var och en av dessa distributioner är dock endast lokalt integrerbar på alla R förutsatt Re(α) > −1. Men även om funktionen $x_{+}^{\alpha }$ som naivt definieras av formeln ovan inte är lokalt integrerbar för Re α ≤ −1, är mappningen

$\alpha \mapsto x_{+}^{\alpha }$

är en holomorf funktion från det högra halvplanet till det topologiska vektorrummet för tempererade distributioner. Den tillåter en unik meromorf förlängning med enkla poler vid varje negativt heltal α = −1, −2, ... . Den resulterande förlängningen är homogen av grad α, förutsatt att α inte är ett negativt heltal, eftersom å ena sidan förhållandet

$x_{+}^{\alpha }[\varphi \circ \mu _{t}]=t^{\alpha +1}x_{+}^{\alpha }[\varphi ]$

håller och är holomorf i α > 0. Å andra sidan sträcker sig båda sidor meromorft i α, och förblir sålunda lika i hela definitionsområdet.

I hela definitionsdomänen uppfyller x
^α ₊ även följande egenskaper:

• ${\frac {d}{dx}}x_{+}^{\alpha }=\alpha x_{+}^{\alpha -1}$
• $xx_{+}^{\alpha }=x_{+}^{\alpha +1}$

Andra tillägg

Det finns flera distinkta sätt att utvidga definitionen av potensfunktioner till homogena fördelningar på R vid de negativa heltalen.

χ
^α ₊

Polerna i x
^α ₊ vid de negativa heltal kan tas bort genom renormalisering. Sätta

$\chi _{+}^{\alpha }={\frac {x_{+}^{\alpha }}{\Gamma (1+\alpha )}}.$

Detta är en hel funktion av α. Vid de negativa heltal,

$\chi _{+}^{-k}=\delta ^{(k-1)}.$

Fördelningarna $\chi _{+}^{a}$ har egenskaperna

• ${\frac {d}{dx}}\chi _{+}^{\alpha }=\chi _{+}^{\alpha -1}$
• $x\chi _{+}^{\alpha }=\alpha \chi _{+}^{\alpha +1}.$

${\underline {x}}^{k}$

Ett andra tillvägagångssätt är att definiera fördelningen ${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}} ,$ för k = 1, 2, ...,

${\underline {x}}^{-k}={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}{\frac {d^{k}} {dx^{k}}}\log |x|.$

Dessa behåller klart kraftfunktionernas ursprungliga egenskaper:

• ${\frac {d}{dx}}{\underline {x}}^{-k}=-k{\underline {x} }^{-k-1}$
• $x{\underline {x}}^{-k}={\underline {x}}^{-k+1}, \quad {\text{if }}k>1.$

Dessa distributioner kännetecknas också av deras verkan på testfunktioner

${\underline {x}}^{-k}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)-\sum _{j= 0}^{k-1}x^{j}\phi ^{(j)}(0)/j!}{x^{k}}}\,dx,$

och så generalisera Cauchy principiella värdefördelning av 1/ x som uppstår i Hilbert-transformen .

( x ± i0) ^a

En annan homogen fördelning ges av fördelningsgränsen

$(x+i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x+i\epsilon )^{\alpha }.$

Det vill säga agera på testfunktioner

$(x+i0)^{\alpha }[\varphi ]=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} }(x+i\epsilon )^{\alpha } \varphi (x)\,dx.$

Grenen av logaritmen är vald att vara enkelvärdig i det övre halvplanet och överensstämma med den naturliga loggen längs den positiva reella axeln. Som gräns för hela funktioner ( x + i0) ^α [φ] en hel funktion av α. Liknande,

$(x-i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(xi\epsilon )^{\alpha }$

är också en väldefinierad fördelning för alla α

När Re α > 0,

$(x\pm i0)^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+e^{\pm i\pi \alpha }x_{-}^{\alpha },$

som sedan gäller genom analytisk fortsättning närhelst α inte är ett negativt heltal. Genom beständigheten av funktionella relationer,

${\frac {d}{dx}}(x\pm i0)^{\alpha }=\alpha (x\pm i0)^{\alpha -1}.$

Vid de negativa heltalen gäller identiteten (på nivån för distributioner på R \ {0})

$(x\pm i0)^{-k}=x_{+}^{-k}+(-1)^{k}x_{-}^{-k}\pm \pi i(- 1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},$

och singulariteterna avbryter för att ge en väldefinierad fördelning på R . Genomsnittet av de två fördelningarna överensstämmer med ${\underline {x}}^{-k}$ :

${\frac {(x+i0)^{-k}+(x-i0)^{-k}}{2}}={\understryka {x}}^{-k}.$

Skillnaden mellan de två fördelningarna är en multipel av deltafunktionen:

$(x+i0)^{-k}-(x-i0)^{-k}=2\pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1) )}}{(k-1)!}},$

som är känt som Plemelj- hopprelationen.

Klassificering

Följande klassificeringsteorem gäller ( Gel'fand & Shilov 1966 , §3.11). Låt S vara en fördelning homogen med grad α på R \ {0 }. Då är $S=ax_{+}^{\alpha }+bx_{-}^{\alpha }$ för vissa konstanter a , b . Varje fördelning S på R homogen med grad α ≠ −1, −2, ... är också av denna form. Som ett resultat sträcker sig varje homogen fördelning av grad α ≠ −1, −2, ... på R \ {0 } till R .

Slutligen är homogena fördelningar av grad − k , ett negativt heltal, på R alla av formen:

$a{\underline {x}}^{-k}+b\delta ^{(k-1)}.$

Högre dimensioner

Homogena fördelningar på det euklidiska rummet R ⁿ \ {0 } med ursprunget borttaget är alltid av formen

$S(x)=f(x/|x|)|x|^{\lambda }\,$

 

 

 

 

()

där ƒ är en fördelning på enhetssfären S ^{n −1} . Talet λ, som är graden av den homogena fördelningen S , kan vara reellt eller komplext.

^Varje homogen fördelning av formen ( 1 ) på ^förutsatt Rn \{0} sträcker sig unikt till en homogen fördelning på Rn Re λ > − n . Faktum är att ett analytiskt fortsättningsargument som liknar det endimensionella fallet utökar detta för alla λ ≠ − n , − n −1, ... .

• Gel'fand, IM; Shilov, GE (1966), Generalized functions , vol. 1, Academic Press .
•   Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volym 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6 .
• Taylor, Michael (1996), Partiella differentialekvationer, vol. 1 , Springer-Verlag .