Malgrange–Ehrenpreis teorem

Inom matematiken säger Malgrange–Ehrenpreis-satsen att varje linjär differentialoperator som inte är noll med konstanta koefficienter har en grön funktion . Det bevisades först oberoende av Leon Ehrenpreis ( 1954 , 1955 ) och Bernard Malgrange ( 1955–1956 ).

Det betyder att differentialekvationen

$P\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{\ell }}}\right)u(\mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} ),$

där P är ett polynom i flera variabler och δ är Dirac deltafunktionen , har en fördelningslösning u . Det kan användas för att visa det

$P\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots , {\frac {\partial }{\partial x_{\ell }}}\right)u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )$

har en lösning för alla kompaktstödda distributioner f . Lösningen är generellt sett inte unik.

Analogen för differentialoperatorer vars koefficienter är polynom (snarare än konstanter) är falsk: se Lewys exempel .

Bevis

De ursprungliga bevisen för Malgrange och Ehrenpreis var icke-konstruktiva eftersom de använde Hahn-Banach-satsen . Sedan dess har flera konstruktiva bevis hittats.

Det finns ett mycket kort bevis med Fourier-transformen och Bernstein-Sato-polynomet enligt följande. Genom att ta Fourier-transformer är Malgrange–Ehrenpreis-satsen ekvivalent med det faktum att varje polynom som inte är noll har en fördelningsinvers. Genom att ersätta P med produkten med dess komplexa konjugat kan man också anta att P är icke-negativ. För icke-negativa polynom P följer förekomsten av en fördelningsinvers av förekomsten av Bernstein-Sato-polynomet, vilket innebär att P ^s analytiskt kan fortsättas som en meromorf fördelningsvärderad funktion av den komplexa variabeln s ; den konstanta termen för Laurentexpansionen av P ^s vid s = −1 är då en fördelningsinvers av P .

Andra bevis, som ofta ger bättre gränser för tillväxten av en lösning, ges i ( Hörmander 1983a , Theorem 7.3.10), ( Reed & Simon 1975 , Theorem IX.23, s. 48) och ( Rosay 1991 ). ( Hörmander 1983b , kapitel 10) ger en detaljerad diskussion om de fundamentala lösningarnas regularitetsegenskaper.

Ett kort konstruktivt bevis presenterades i ( Wagner 2009 , Proposition 1, s. 458):

$E ={\frac {1}{\overline {P_{m}(2\eta )}}}\sum _{j=0}^{m}a_{j}e^{\lambda _{j}\eta x}{\mathcal {F}}_{\xi }^{-1}\left({\frac {\overline {P(i\xi +\lambda _{j}\eta )}}{P(i \xi +\lambda _{j}\eta )}}\right)$

₀ är en fundamental lösning av P (∂), dvs P (∂) E = δ, om P _m är huvuddelen av P , η ∈ R ⁿ med P _m ( η ) ≠ 0, de reella talen λ , .. ., λ _m är parvis olika, och

$a_{j}=\prod _{k=0,k\neq j}^{m}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{-1}.$

•    Ehrenpreis, Leon (1954), "Lösning av vissa divisionsproblem. I. Division med ett polynom av härledning.", Amer. J. Math. , 76 (4): 883–903, doi : 10.2307/2372662 , JSTOR 2372662 , MR 0068123
•    Ehrenpreis, Leon (1955), "Lösning av vissa divisionsproblem. II. Division by a punktual distribution", Amer. J. Math. , 77 (2): 286–292, doi : 10.2307/2372532 , JSTOR 2372532 , MR 0070048
•    Hörmander, L. (1983a), Analysen av linjära partiella differentialoperatorer I , Grundl. Matematik. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN 978-3-540-12104-6 , MR 0717035
•    Hörmander, L. (1983b), Analysen av linjära partiella differentialoperatorer II , Grundl. Matematik. Wissenschaft., vol. 257, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN 978-3-540-12139-8 , MR 0705278
• Malgrange, Bernard (1955–1956), "Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution" , Annales de l'Institut Fourier , 6 : 271–355, doi : 10.5802 , 6902 / aif .  
•    Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Metoder för modern matematisk fysik. II. Fourieranalys, self-adjointness , New York-London: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, s. xv+361, ISBN 978-0-12-585002-5 , MR 0493420
•    Rosay, Jean-Pierre (1991), "Ett mycket elementärt bevis på Malgrange-Ehrenpreis-teorem", Amer. Matematik. Monthly , 98 (6): 518–523, doi : 10.2307/2324871 , JSTOR 2324871 , MR 1109574
• Rosay, Jean-Pierre (2001) [1994], "Malgrange–Ehrenpreis teorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Wagner, Peter (2009), "A new constructive proof of the Malgrange-Ehrenpreis theorem", Amer. Matematik. Monthly , 116 (5): 457–462, CiteSeerX 10.1.1.488.6651 , doi : 10.4169/193009709X470362 , MR 2510844