Hyperfunktion

Den här artikeln handlar om hyperfunktioner i ett matematiskt sammanhang. För biologiska hypo- eller hyperfunktioner, se endokrin sjukdom .

I matematik är hyperfunktioner generaliseringar av funktioner, som ett "hopp" från en holomorf funktion till en annan vid en gräns, och kan ses informellt som fördelningar av oändlig ordning. Hyperfunktioner introducerades av Mikio Sato 1958 på japanska ( 1959 , 1960 på engelska), som bygger på tidigare arbeten av Laurent Schwartz , Grothendieck och andra.

Formulering

En hyperfunktion på den reella linjen kan uppfattas som "skillnaden" mellan en holomorf funktion definierad på det övre halvplanet och en annan på det nedre halvplanet. Det vill säga, en hyperfunktion specificeras av ett par ( f , g ), där f är en holomorf funktion på det övre halvplanet och g är en holomorf funktion på det nedre halvplanet.

Informellt är hyperfunktionen vad skillnaden $fg$ skulle vara på själva linjen. Denna skillnad påverkas inte av att lägga till samma holomorfa funktion till både f och g , så om h är en holomorf funktion på hela det komplexa planet, definieras hyperfunktionerna ( f , g ) och ( f + h , g + h ) till vara likvärdig.

Definition i en dimension

Motivationen kan konkret implementeras med hjälp av idéer från kärvekohomologin . Låt ${\mathcal {O}}$ vara bunten av holomorfa funktioner på $\mathbb {C} .$ Definiera hyperfunktionerna på den verkliga linjen som den första lokala kohomologigruppen :

${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )=H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}}).$

Konkret, låt $\mathbb {C} ^{+}$ och $\mathbb {C} ^{-}$ vara det övre halvplanet respektive det nedre halvplanet . Då $\mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {C} ^{-}=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ så

$H_{\mathbb {R} }^{1}(\mathbb {C} ,{\mathcal {O}})=\left[H^{0}(\mathbb {C} ^{+}, {\mathcal {O}})\oplus H^{0}(\mathbb {C} ^{-},{\mathcal {O}})\right]/H^{0}(\mathbb {C} , {\mathcal {O}}).$

Eftersom den nollte kohomologigruppen för varje kärve helt enkelt är de globala sektionerna av den kärven, ser vi att en hyperfunktion är ett par holomorfa funktioner var och en på det övre och nedre komplexa halvplanet modulo hela holomorfa funktioner.

Mer generellt kan man definiera ${\mathcal {B}}(U)$ för alla öppna mängder $U\subseteq \mathbb {R}$ som kvoten $H^{0}({\tilde {U}}\setminus U,{\mathcal {O}})/H^{0}({\tilde {U}},{\mathcal {O}})$ där ${\tilde {U}}\subseteq \mathbb {C}$ är vilken öppen mängd som helst med ${\ displaystyle {\tilde {U}}\cap \mathbb {R} =U}$ . Man kan visa att denna definition inte beror på valet av ${\tilde {U}}$ vilket ger ytterligare en anledning att tänka på hyperfunktioner som "gränsvärden" för holomorfa funktioner.

Exempel

• Om f är någon holomorf funktion på hela det komplexa planet, så är begränsningen av f till den reella axeln en hyperfunktion, representerad av antingen ( f , 0) eller (0, − f ).
• Stegfunktionen Heaviside kan representeras som
  $$H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z),-{\frac {1}{2\pi i}}\log(z )\höger).$$
  där $\log(z)$ är huvudvärdet för den komplexa logaritmen för z .
• Dirac delta "funktion" representeras av
  $$\left({\tfrac {1}{2\pi iz}},{\tfrac {1}{2\pi iz}}\right).$$
  Detta är verkligen en omformulering av Cauchys integrerade formel . För att verifiera det kan man beräkna integrationen av f strax under den reella linjen, och subtrahera integrationen av g strax ovanför den reella linjen - både från vänster till höger. Observera att hyperfunktionen kan vara icke-trivial, även om komponenterna är en analytisk fortsättning på samma funktion. Detta kan också enkelt kontrolleras genom att differentiera Heaviside-funktionen.
• Om g är en kontinuerlig funktion (eller mer allmänt en fördelning ) på den reella linjen med stöd i ett begränsat intervall I , så motsvarar g hyperfunktionen ( f , − f ), där f är en holomorf funktion på komplementet till I definieras av
  $$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{x\in I}g(x){\frac {1}{zx}}\,dx.$$
  Denna funktion f hoppar i värde med g ( x ) när den korsar den reella axeln i punkten x . Formeln för f följer från föregående exempel genom att skriva g som faltningen av sig själv med Dirac delta-funktionen.
• Med hjälp av en partition av enhet kan man skriva vilken kontinuerlig funktion (distribution) som helst som en lokalt ändlig summa av funktioner (distributioner) med kompakt stöd. Detta kan utnyttjas för att utöka ovanstående inbäddning till en inbäddning $\textstyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )\to {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).$
• Om f är någon funktion som är holomorf överallt förutom en väsentlig singularitet vid 0 (till exempel e ^{1/ z} ), så är $(f,-f)$ en hyperfunktion med stöd 0 som är inte en distribution. Om f har en pol av ändlig ordning vid 0 så är $(f,-f)$ en fördelning, så när f har en väsentlig singularitet då $(f ,-f)$ ser ut som en "fördelning av oändlig ordning" vid 0. (Observera att distributioner alltid har ändlig ordning när som helst.)

Operationer på hyperfunktioner

Låt $U\subseteq \mathbb {R}$ vara vilken öppen delmängd som helst.

• Per definition är ${\mathcal {B}}(U)$ ett vektorrum så att addition och multiplikation med komplexa tal är väldefinierade. Explicit:
  $$a(f_{+},f_{-} )+b(g_{+},g_{-}):=(af_{+}+bg_{+},af_{-}+bg_{-})$$
• De uppenbara begränsningskartorna förvandlar ${\mathcal {B}}$ till en kärve (som faktiskt är slapp ).
• Multiplikation med verkliga analytiska funktioner $h\in {\mathcal {O}}(U)$ och differentiering är väldefinierade:
  $${\begin {aligned}h(f_{+},f_{-})&:=(hf_{+},hf_{-})\\[6pt]{\frac {d}{dz}}(f_{+}, f_{-})&:=\left({\frac {df_{+}}{dz}},{\frac {df_{-}}{dz}}\right)\end{aligned}}$$
  Med dessa definitioner blir ${\mathcal {B}}(U)$ en D-modul och den inbäddade ${\mathcal {D}}'\hookrightarrow {\mathcal { B}}$ är en morfism av D-moduler.
• En punkt $a\in U$ kallas en holomorf punkt för $f\in {\mathcal {B}}(U)$ om $f$ begränsar till en verklig analytisk funktion i någon liten stadsdel av $a.$ Om $a\leqslant b$ är två holomorfa punkter, är integrationen väldefinierad:
  $$\int _{a}^{b}f:=-\int _{\ gamma _{+}}f_{+}(z)\,dz+\int _{\gamma _{-}}f_{-}(z)\,dz$$
  där $\gamma _{\pm }:[0,1]\to \mathbb {C} ^{\pm }$ är godtyckliga kurvor med ${\displaystyle \gamma _{\pm }(0)=a,\gamma _{\pm }(1)=b.} Integralerna är$ oberoende av valet av dessa kurvor eftersom det övre och nedre halvplanet helt enkelt är sammankopplade .
• Låt ${\mathcal {B}}_{c}(U)$ vara utrymmet för hyperfunktioner med kompakt stöd. Via den bilinjära formen
  $${\begin{cases}{\mathcal {B}}_{c}(U)\ gånger {\ mathcal {O}}(U)\to \mathbb {C} \\(f,\varphi )\mapsto \int f\cdot \varphi \end{cases}}$$
  man associerar till varje hyperfunktion med kompakt stöd en kontinuerlig linjär funktion på ${\mathcal {O}}(U).$ Detta inducerar en identifiering av det dubbla rummet, ${\mathcal {O}}'(U),$ med ${\mathcal {B}}_{c}(U).$ Ett specialfall som är värt att överväga är fallet med kontinuerliga funktioner eller distributioner med kompakt stöd: Om man betraktar $C_{c }^{0}(U)$ (eller ${\mathcal {E}}'(U)$ ) som en delmängd av ${\mathcal {B}} (U)$ via ovanstående inbäddning, då beräknar detta exakt den traditionella Lebesgue-integralen. Dessutom: Om $u\in {\mathcal {E}}'(U)$ är en distribution med kompakt stöd, $\varphi \in {\ mathcal {O}}(U)$ är en verklig analytisk funktion, och $\operatorname {supp} (u)\subset (a,b)$ sedan
  $$\int _{a}^{b}u\cdot \varphi =\langle u,\varphi \rangle .$$
  Detta begrepp om integration ger alltså en exakt mening åt formella uttryck som
  $$\int _{a}^{b}\delta (x)\,dx$$
  som är odefinierade i vanlig mening. Dessutom: Eftersom de verkliga analytiska funktionerna är täta i ${\mathcal {E}}(U),{\mathcal {E}}'(U)$ ett delrum av ${\mathcal {O}}'(U)$ . Detta är en alternativ beskrivning av samma inbäddning ${\mathcal {E}}'\hookrightarrow {\mathcal {B}}$ .
• Om $\Phi :U\to V$ är en verklig analytisk karta mellan öppna uppsättningar av $\mathbb {R}$ , då är komposition med $\Phi$ en brunn -definierad operator från ${\mathcal {B}}(V)$ till ${\mathcal {B}}(U)$ :
  $$f\circ \Phi :=(f_{+}\circ \Phi ,f_{-}\circ \Phi )$$

Se även

• Algebraisk analys
• Generaliserad funktion
• Distribution (matematik)
• Mikrolokal analys
• Pseudo-differentiell operator
• Sheaf kohomologi

•   Imai, Isao (2012) [1992], Applied Hyperfunction Theory , Mathematics and its Applications (bok 8), Springer, ISBN 978-94-010-5125-5 .
•   Kaneko, Akira (1988), Introduktion till teorin om hyperfunktioner , matematik och dess tillämpningar (bok 3), Springer, ISBN 978-90-277-2837-1
•   Kashiwara, Masaki ; Kawai, Takahiro; Kimura, Tatsuo (2017) [1986], Foundations of Algebraic Analysis , Princeton Legacy Library (bok 5158), vol. PMS-37, översatt av Kato, Goro (Reprint ed.), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-62832-5
•   Komatsu, Hikosaburo, red. (1973), Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations, Proceedings of a Conference at Katata, 1971, Lecture Notes in Mathematics 287, Springer, ISBN 978-3-540-06218-9 .
  • Komatsu, Hikosaburo, Relativ kohomologi av skivor av lösningar av differentialekvationer , s. 192–261 .
  • Sato, Mikio; Kawai, Takahiro; Kashiwara, Masaki, Mikrofunktioner och pseudo-differentialekvationer , s. 265–529 . – Det heter SKK.
•    Martineau, André (1960–1961), Les hyperfonctions de M. Sato , Séminaire Bourbaki, Tome 6 (1960-1961), Exposé nr. 214, MR 1611794 , Zbl 0122.34902 .
•   Morimoto, Mitsuo (1993), En introduktion till Satos hyperfunktioner , översättningar av matematiska monografier (bok 129), American Mathematical Society, ISBN 978-0-82184571-4 .
•   Pham, FL, red. (1975), Hyperfunctions and Theoretical Physics, Rencontre de Nice, 21-30 Mai 1973 , Lecture Notes in Mathematics 449, Springer, ISBN 978-3-540-37454-1 .
  • Cerezo, A.; Piriou, A.; Chazarain, J., Introduction aux hyperfonctions , s. 1–53 .
•   Sato, Mikio (1958), "Cyōkansū no riron (Theory of Hyperfunctions)" , Sūgaku (på japanska), Mathematical Society of Japan, 10 (1): 1–27, doi : 10.11429/sugaku1947.10.1 , ISSN 47003X
•   Sato, Mikio (1959), "Theory of Hyperfunctions, I", Journal of the Science of Science, University of Tokyo. Sekt. 1, Matematik, Astronomi, Fysik, Kemi , 8 (1): 139–193, hdl : 2261/6027 , MR 0114124 .
•   Sato, Mikio (1960), "Theory of Hyperfunctions, II", Journal of the Science of Science, University of Tokyo. Sekt. 1, Matematik, Astronomi, Fysik, Kemi , 8 (2): 387–437, hdl : 2261/6031 , MR 0132392 .
•   Schapira, Pierre (1970), Theories des Hyperfonctions , Lecture Notes in Mathematics 126, Springer, ISBN 978-3-540-04915-9 .
•   Schlichtkrull, Henrik (2013) [1984], Hyperfunctions and Harmonic Analysis on Symmetric Spaces , Progress in Mathematics (Softcover reprint of the original 1st ed.), Springer, ISBN 978-1-4612-9775-8

externa länkar

• Jacobs, Bryan. "Hyperfunktion" . MathWorld .
• Kaneko, A. (2001) [1994], "Hyperfunction" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press