Nästan öppen karta

Inom funktionsanalys och relaterade områden av matematik är en nästan öppen karta mellan topologiska utrymmen en karta som uppfyller ett villkor som liknar, men svagare än, villkoret att vara en öppen karta . Som beskrivs nedan, för vissa breda kategorier av topologiska vektorrum , är alla surjektiva linjära operatorer nödvändigtvis nästan öppna.

Definitioner

Givet en surjektiv karta $f:X\to Y,$ kallas en punkt ${\displaystyle x\in X} en$ öppenhetspunkt för $f$ och ${ \displaystyle f}$ sägs vara öppen vid $x$ (eller en öppen karta vid $x$ ) om för varje öppet område $U$ av $x,$$f(U)$ är en grannskap av $f(x)$ i $Y$ (observera att grannskapet $f(U)$ krävs inte för att vara ett öppet område).

En surjektiv karta kallas en öppen karta om den är öppen vid varje punkt i sin domän, medan den kallas en nästan öppen karta var och en av dess fibrer har någon punkt av öppenhet. Explicit sägs en surjektiv karta $f:X\to Y$ vara nästan öppen om det för varje $y\in Y,$ finns några $x\in f^{-1}(y)$ så att $f$ är öppen vid $x.$ Varje nästan öppen surjection är nödvändigtvis en pseudoöppen karta (introducerad av Alexander Arhangelskii 1963), vilket per definition betyder att för varje $y\in Y$ och varje stadsdel ${\ displaystyle U}$ av $f^{-1}(y)$ (det vill säga $f^{-1}(y) \subseteq \operatorname {Int} _{X}U$ ), $f(U)$ är nödvändigtvis en grannskap av $y.$

Nästan öppen linjär karta

En linjär karta $T:X\to Y$ mellan två topologiska vektorrum (TVS) kallas en nästan öppen linjär karta eller en nästan öppen linjär karta om för någon grannskap $U$ av $0$ i $X,$ stängningen av $T(U)$ i $Y$ är en stadsdel av ursprunget. Viktigt är att vissa författare använder en annan definition av "nästan öppen karta" där de istället kräver att den linjära kartan $T$ uppfyller: för varje grannskap $U$ av $0$ i ${ \displaystyle X,}$ stängningen av $T(U)$ i $T(X)$ (snarare än i $Y$ ) är en stadsdel av ursprunget ; denna artikel kommer inte att använda denna definition.

Om en linjär karta $T:X\to Y$ nästan är öppen så är $T(X)$ ett vektordelrum av $Y$ som innehåller en grannskap av ursprunget i $Y,$ kartan $T:X\to Y$ är nödvändigtvis surjektiv . Av denna anledning kräver många författare surjektivitet som en del av definitionen av "nästan öppen".

Om $T:X\to Y$ är en bijektiv linjär operator, så är $T$ nästan öppen om och endast om $T^{-1}$ är nästan kontinuerligt.

Förhållande till öppna kartor

Varje surjektiv öppen karta är en nästan öppen karta men i allmänhet är det omvända inte nödvändigtvis sant. Om en surjektion $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ är en nästan öppen karta så blir det en öppen karta om den uppfyller följande villkor (ett villkor som inte på något sätt beror på $Y$ s topologi ${\displaystyle \sigma } )$ :

när $m,n\in X$ tillhör samma fiber av $f$ (det vill säga $f(m)=f (n)$ ) för varje grannskap $U\in \tau$ av $m,$ finns det någon grannskap $V\in \tau$ av ${\ displaystyle n}$$F(V)\subseteq F(U).$ att

Om kartan är kontinuerlig är ovanstående villkor också nödvändigt för att kartan ska vara öppen. Det vill säga, om $f:X\to Y$ är en kontinuerlig surjection så är det en öppen karta om och bara om den är nästan öppen och den uppfyller ovanstående villkor.

Öppna kartläggningssatser

Sats : Om $T:X\to Y$ är en surjektiv linjär operator från ett lokalt konvext utrymme $X$ till ett hålrum $Y$ då $T$ är nästan öppen .

Sats : Om $T:X\to Y$ är en surjektiv linjär operator från en TVS $X$ till ett Baire-utrymme $Y$ så är $T$ nästan öppet .

De två satserna ovan kräver inte den surjektiva linjära kartan för att uppfylla några topologiska villkor.

Sats : Om $X$ är en komplett pseudometriserbar TVS , är $Y$ en Hausdorff TVS, och $T:X\to Y$ är en sluten och nästan öppen linjär bild , då är $T$ en öppen karta.

Sats : Antag att $T:X\to Y$ är en kontinuerlig linjär operator från en komplett pseudometriserbar TVS $X$ till en Hausdorff TVS $Y.$ Om bilden av $T$ inte är mager i $Y$ så är $T:X\to Y$ en surjektiv öppen karta och $Y$ är ett komplett mätbart utrymme.

Se även

• Nästan öppen uppsättning – Skillnaden mellan en öppen uppsättning och en mager uppsättning Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Barreled space – Typ av topologiskt vektorrum
• Begränsad invers sats
• Stängd graf – Graf över en karta stängd i produktutrymmet Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Sluten grafsats – Teorem som relaterar kontinuitet till grafer
• Öppen uppsättning – Grundläggande delmängd av ett topologiskt utrymme
• Öppna och stängda kartor – En funktion som skickar öppna (resp. stängda) delmängder till öppna (resp. stängda) delmängder
• Öppen avbildningssats (funktionell analys) – Villkor för att en linjär operator ska vara öppen (även känd som Banach–Schauders sats)
• Quasi-open map – Funktion som mappar icke-tomma öppna uppsättningar till uppsättningar som har icke-tom inre i sin koddomän
• Surjektion av Fréchet-utrymmen – Karakterisering av surjektivitet
• Webbed space – Utrymme där öppen kartläggning och slutna grafsatser gäller

Bibliografi

•    Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topologiska vektorrum: Kapitel 1–5 . Éléments de mathématique . Översatt av Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
•    Husain, Taqdir; Khaleelulla, SM (1978). Barrelledness i topologiska och ordnade vektorutrymmen . Föreläsningsanteckningar i matematik . Vol. 692. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0 . OCLC 4493665 .
•    Jarchow, Hans (1981). Lokalt konvexa utrymmen . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342 .
•    Khaleelulla, SM (1982). Motexempel i topologiska vektorutrymmen . Föreläsningsanteckningar i matematik . Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
•     Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologiska vektorrum I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Översatt av Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . MR 0248498 . OCLC 840293704 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologiska vektorutrymmen . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wilansky, Albert (2013). Moderna metoder i topologiska vektorutrymmen . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .