Bump funktion

Grafen för bumpfunktionen ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r)} ,$ där $r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}$ och $\Psi (r)=e^{-1/(1-r^{2})}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.$

I matematik är en bumpfunktion (även kallad testfunktion ) en funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ på ett euklidiskt utrymme $\mathbb {R} ^{n}$ som är både smidig (i betydelsen av att ha kontinuerliga derivator av alla ordningar) och kompakt stöds . Uppsättningen av alla bump-funktioner med domänen $\mathbb {R} ^{n}$ bildar ett vektorrum , betecknat $\mathrm {C} _{0}^{\ infty }(\mathbb {R} ^{n})$ eller ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).} Det dubbla utrymmet för$ detta utrymme försett med en lämplig topologi är utrymmet för distributioner .

Exempel

1d bump-funktionen Ψ( x ).

Funktionen $\Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ges av

$$\Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\ frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{annars}}\end{case}}$$

är ett exempel på en bump-funktion i en dimension. Det framgår av konstruktionen att denna funktion har kompakt stöd, eftersom en funktion av den verkliga linjen har kompakt stöd om och endast om den har begränsat slutet stöd. Beviset på jämnhet följer samma linje som för den relaterade funktionen som diskuteras i artikeln om icke-analytisk jämn funktion . Denna funktion kan tolkas som den Gaussiska funktionen $\exp \left(-y^{2}\right)$ skalad för att passa in i enhetsskivan: substitutionen $y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}$ motsvarar att skicka $x=\pm 1$ till $y=\infty .$

Ett enkelt exempel på en (kvadratisk) bump-funktion i $n$ variabler erhålls genom att ta produkten av $n$ kopior av ovanstående bump-funktion i en variabel, så

$$\Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n} ).$$

Förekomsten av bump-funktioner

En illustration av uppsättningarna i konstruktionen.

Det är möjligt att konstruera bump-funktioner "efter specifikationer". Formellt uttryckt, om ${\displaystyle K} är$$, {\displaystyle K,}$ godtycklig kompakt mängd i $n$ dimensioner och $U$ är en öppen mängd som innehåller finns det en bump-funktion ${ \displaystyle \phi }$ vilket är $1$ på $K$ och $0$ utanför $U.$ Eftersom $U$ kan ses som en mycket liten stadsdel av $K,$ att man kan konstruera en funktion som är $1$ på $K$ och faller snabbt till $0$ utanför $K,$ samtidigt som den är jämn.

Bygget går till enligt följande. Man betraktar ett kompakt område $V$ av $K$ som finns i $U,$ så $K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.$ Den karakteristiska funktionen $\chi _{V}$ av $V$ kommer att vara lika med $1$ på $V$ och $0$ utanför $V,$ så i synnerhet blir det $1$ på $K$ och $0$ utanför $U.$ Denna funktion är dock inte smidig. Nyckelidén är att jämna ut $\chi _{V}$ lite genom att ta faltningen av $\chi _{V}$ med en mollifier . Den senare är bara en bump-funktion med ett mycket litet stöd och vars integral är $1.$ En sådan mollifier kan till exempel erhållas genom att ta bump-funktionen $\Phi$ från föregående avsnitt och utföra lämpliga skalningar.

En alternativ konstruktion som inte involverar faltning är nu detaljerad. Börja med vilken jämn funktion som helst $c:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ som försvinner på de negativa realerna och är positiva på de positiva realsna (det vill säga $c=0$ på $(-\infty ,0)$ och $c>0$ på $(0,\infty ),$ där kontinuitet från vänster nödvändiggör $c(0)=0$ ); ett exempel på en sådan funktion är $c(x):=e^{-1/x}$ för $x>0$ och $c(x):=0$ annars. Fixa en öppen delmängd $U$ av $\mathbb {R} ^{n}$ och beteckna den vanliga euklidiska normen med $\|\cdot \|$ (så $\mathbb {R} ^{n}$ är utrustad med den vanliga euklidiska metriken ). Följande konstruktion definierar en jämn funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ som är positiv på $U$ och försvinner utanför $U.$ Så i synnerhet, om $U$ är relativt kompakt kommer denna funktion $f$ att vara en bump-funktion.

Om $U=\mathbb {R} ^{n}$ så låt $f=1$ medan om $U=\varnothing$ låt ${ \displaystyle f=0}$ ; så anta att $U$ inte är någon av dessa. Låt $\left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$ vara ett öppet lock till $U$ av öppna bollar där öppen boll $U_{k}$ har radie $r_{k}>0$ och centrerar $a_{k}\in U.$ Sedan kartan $f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ definierad av $f_{k}(x)=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_ {k}\right\|^{2}\right)$ är en smidig funktion som är positiv på $U_{k}$ och försvinner från $U_{k}.$$k\in \mathbb {N} ,$ varje låt

$$M_{k}=\sup \left\{\left|{\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~ :~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ och }}p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} {\text{ satisfy }}0\leq p_{i}\leq k{\text{ och }}p=\summa _{i}p_{i}\right\},$$

där detta supremum inte är lika med $+\infty$ (så $M_{k}$ är ett icke-negativt reellt tal) eftersom $\left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U_{k}\right)\cup {\overline {U_{k}}}=\mathbb {R} ^{n},$ de partiella derivatorna försvinner alla (lika $0$ ) vid valfri $x$ utanför $U_{k},$ medan den är på den kompakta uppsättningen ${\overline {U_{k}}},$ värdena för var och en av de (ändligt många) partiella derivatorna är (likformigt) begränsade ovanför av något icke-negativt reellt tal. Serien

$$f:=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{2^{k}M_{ k}}}$$

konvergerar enhetligt på $\mathbb {R} ^{n}$ till en jämn funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ som är positivt på $U$ och försvinner från $U.$ Dessutom, för alla icke-negativa heltal $p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} ,$

$${\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n }}x_{n}}}f=\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\partial ^{p_ {1}+\cdots +p_{n}}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}$$

där denna serie också konvergerar enhetligt på $\mathbb {R} ^{n}$ (eftersom när $k\geq p_{1}+\cdots +p_{ n}$ då är ${\displaystyle k}:$ ^te termens absoluta värde $\leq {\frac {M_{k}}{2^{k}M_{k }}}={\frac {1}{2^{k}}}$ ).

Som en följd, givet två disjunkta slutna delmängder $A,B$ av $\mathbb {R} ^{n}$ och jämna icke-negativa funktioner ${\displaystyle f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )} så att för alla$ x $\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$$f_{A}(x)=0$ om och endast om $x\in A,$ och liknande, $f_{B}(x)=0$ om och endast om $x\in B,$ då funktionen $f:={\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1 ]$ är jämn och för alla $x\in \mathbb {R} ^{n},$$f(x)=0$ om och endast om $x\in A,$$f(x)=1$ om och endast om $x\in B,$ och $0<f(x)<1$ om och endast om $x\not \in A\cup B.$ Speciellt $f(x)\neq 0$ om och endast om $x\in \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A,$ så om dessutom $U:=\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A$ är relativt kompakt i $\mathbb {R} ^{n}$ (där $A\cap B=\varnothing$ innebär $B\subseteq U$ ) sedan $f$ kommer att vara en mjuk stötfunktion med stöd i ${\overline {U}}.$

Egenskaper och användningsområden

Även om bump-funktioner är smidiga, kan de inte vara analytiska om de inte försvinner på samma sätt . Detta är en enkel konsekvens av identitetsteoremet . Bump-funktioner används ofta som mjukgörare , som mjuka cutoff-funktioner och för att bilda jämna partitioner av enhet . De är den vanligaste klassen av testfunktioner som används i analys. Utrymmet för bumpfunktioner är stängt under många operationer. Till exempel är summan, produkten eller faltningen av två bump-funktioner återigen en bump-funktion, och varje differentialoperator med jämna koefficienter, när den tillämpas på en bump-funktion, kommer att producera en annan bump-funktion.

Om gränserna för Bump-funktionsdomänen är $\partial x,$ för att uppfylla kravet på "jämnhet" måste den bevara kontinuiteten för alla dess derivator, vilket leder till följande krav vid gränserna för dess domän:

$$\lim _{x\to \partial x^{\pm }}{\frac {d^ {n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,{\text{ för alla }}n\geq 0,\,n\in \mathbb {Z}$$

Fouriertransformen av en bumpfunktion är en (verklig) analytisk funktion, och den kan utökas till hela det komplexa planet: den kan därför inte stödjas kompakt om den inte är noll, eftersom den enda hela analytiska bumpfunktionen är nollfunktionen ( se Paley–Wieners sats och Liouvilles sats ) . Eftersom bump-funktionen är oändligt differentierbar måste dess Fourier-transform avklinga snabbare än någon ändlig potens på $1/k$ för en stor vinkelfrekvens $|k|$ . Fouriertransformen av den speciella bumpfunktionen

$$\Psi (x)=e^{-1/(1-x^{2})}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}$$

från ovan kan analyseras med en sadelpunktsmetod , och sönderfaller asymptotiskt som

$$|k|^{-3/4}e^{-{\sqrt {|k|}}}$$

för stora $|k|$ .

Se även

• Cutoff-funktion – mer snävt Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Laplacian av indikatorn – Gräns ​​för sekvens av smidiga funktioner
• Icke-analytisk jämn funktion – Matematiska funktioner som är jämna men inte analytiska
• Schwartz space – Funktionsutrymme för alla funktioner vars derivator snabbt minskar

Citat

•    Nestruev, Jet (10 september 2020). Släta grenrör och observerbara . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 220. Cham, Schweiz: Springer Nature . ISBN 978-3-030-45649-8 . OCLC 1195920718 .