Laplacian av indikatorn

Inom matematiken är Laplacian för indikatorn för domänen D en generalisering av derivatan av Dirac-deltatfunktionen till högre dimensioner, och är endast noll på ytan av D . Det kan ses som ytdelta prime funktion . Det är analogt med den andra derivatan av Heaviside-stegfunktionen i en dimension. Den kan erhållas genom att låta Laplace-operatören arbeta med indikatorfunktionen för någon domän D .

Indikatorns Laplacian kan tänkas ha oändligt positiva och negativa värden när den utvärderas mycket nära gränsen för domänen D . Ur en matematisk synvinkel är det inte strikt en funktion utan en generaliserad funktion eller mått . På samma sätt som derivatan av Dirac-deltatfunktionen i en dimension, är indikatorns Laplacian endast meningsfull som ett matematiskt objekt när den visas under ett integraltecken; dvs det är en distribution fungera. Precis som i formuleringen av distributionsteorin betraktas den i praktiken som en gräns för en sekvens av smidiga funktioner; man kan på ett meningsfullt sätt ta Laplacian av en bump-funktion , som är jämn per definition, och låta bump-funktionen närma sig indikatorn i gränsen.

Historia

En approximation av den negativa indikatorfunktionen för en ellips i planet (vänster), derivatan i riktningen vinkelrät mot gränsen (mitten) och dess Laplacian (höger). I limiten går grafen längst till höger till indikatorns (negativa) Laplacian. Rent intuitivt sett liknar grafen längst till höger ett elliptiskt slott med en borgmur på insidan och en vallgrav framför sig; i gränsen blir muren och vallgraven oändligt hög och djup (och smal).

Paul Dirac introducerade Dirac $δ$ -funktionen , som den har blivit känd, så tidigt som 1930. Den endimensionella Dirac $δ$ -funktionen är endast noll vid en enda punkt. På samma sätt är den flerdimensionella generaliseringen, som den vanligtvis görs, icke-noll endast vid en enda punkt. I kartesiska koordinater är den d -dimensionella Dirac $δ$ -funktionen en produkt av d endimensionella $δ$ -funktioner; en för varje kartesisk koordinat (se t.ex. generaliseringar av Dirac delta-funktionen ) .

En annan generalisering är dock möjlig. Punkten noll, i en dimension, kan betraktas som gränsen för den positiva halvlinjen. Funktionen 1 _{x >0} är lika med 1 på den positiva halvlinjen och noll i övrigt, och är också känd som Heaviside-stegfunktionen . Formellt kan Dirac $δ$ -funktionen och dess derivata (dvs. den endimensionella ytdelta primfunktionen ) ses som första och andra derivatan av Heaviside stegfunktionen, dvs ∂ _x 1 _{x >0} och $\partial _{x}^{2}\mathbf {1} _{x>0}$ .

Analogen till stegfunktionen i högre dimensioner är indikatorfunktionen , som kan skrivas som 1 _{x ∈ D} , där D är någon domän. Indikatorfunktionen är också känd som den karakteristiska funktionen. I analogi med det endimensionella fallet har följande högredimensionella generaliseringar av Dirac $δ$ -funktionen och dess derivata föreslagits:

{\begin{aligned}\delta (x)&\to -n_{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D},\\\delta '(x )&\till \nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}.\end{aligned}}

Här är n den yttre normalvektorn . Här generaliseras Dirac $δ -funktionen till en$ ytdeltafunktion på gränsen för någon domän D i d ≥ 1 dimensioner. Denna definition ger det vanliga endimensionella fallet, när domänen anses vara den positiva halvlinjen. Den är noll förutom på gränsen för domänen D (där den är oändlig), och den integreras med den totala ytan som omger D , som visas nedan .

Den endimensionella Dirac $δ'$ -funktionen är generaliserad till en multidimensionell ytdelta-primfunktion på gränsen för någon domän D i d ≥ 1 dimensioner. I en dimension och genom att ta D lika med den positiva halvlinjen, kan den vanliga endimensionella $δ'-$ funktionen återställas.

Både normalderivatan av indikatorn och indikatorns laplacian stöds av ytor snarare än punkter . Generaliseringen är användbar inom t ex kvantmekanik, eftersom ytinteraktioner kan leda till randvillkor i d > 1, medan punktinteraktioner inte kan. Naturligtvis sammanfaller punkt- och ytinteraktioner för d =1. Både yt- och punktinteraktioner har en lång historia inom kvantmekaniken, och det finns en betydande litteratur om så kallade ytdeltapotentialer eller deltasfärinteraktioner. Ytdeltafunktioner använder den endimensionella Dirac $δ$ -funktionen, men som en funktion av den radiella koordinaten r , t.ex. δ( r − R ) där R är sfärens radie.

Även om de till synes dåligt definierade kan derivator av indikatorfunktionen formellt definieras med hjälp av teorin om fördelningar eller generaliserade funktioner : man kan få ett väldefinierat recept genom att postulera att indikatorns laplacian, till exempel, definieras av två integrationer av delar när det visas under ett integrerat tecken. Alternativt kan indikatorn (och dess derivator) approximeras med hjälp av en bump-funktion (och dess derivator). Gränsen, där den (släta) bumpfunktionen närmar sig indikatorfunktionen, måste då sättas utanför integralen.

Dirac yta delta prime funktion

Detta avsnitt kommer att bevisa att indikatorns Laplacian är en ytdelta prime funktion . Ytdeltafunktionen kommer att behandlas nedan .

Först, för en funktion f i intervallet ( a , b ), kom ihåg grundsatsen för kalkyl

\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\,dx={\underset {x\nära b}{\lim }}f(x)-{\underset {x\searrow a}{\lim }}f( x),

förutsatt att f är lokalt integrerbar. Nu för a < b följer det, genom att gå heuristiskt tillväga, att

{\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial ^{2}\mathbf {1} _{a<x<b}}{\partial x^{2}}}\,f(x)\;dx&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {1} _{a<x<b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial ^{2}f (x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle {\Big (}{\underset {x\nearrow b}{\lim }}-{\underset {x\ sök a}{\lim }}{\Big )}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}.\end{aligned}}

Här är 1 _{a < x < b} indikatorfunktionen för domänen a < x < b . Indikatorn är lika med ett när villkoret i dess underskrift är uppfyllt, och noll annars. I denna beräkning visar två integrationer av delar (i kombination med grundsatsen för kalkyl som visas ovan) att den första likheten gäller; gränstermerna är noll när a och b är ändliga, eller när f försvinner i det oändliga. Den sista likheten visar en summa av utåtriktade normalderivator, där summan ligger över gränspunkterna a och b , och där tecknen följer från riktningen utåt (dvs positivt för b och negativt för a ). Även om derivator av indikatorn inte finns formellt, ger det "korrekta" resultatet att följa de vanliga reglerna för partiell integration. När man betraktar en ändlig d -dimensionell domän D förväntas summan över utåtriktade normala derivator bli en integral , vilket kan bekräftas enligt följande:

{\begin{aligned}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x )\;dx&=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx ,\\&=\int _{D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\oint _{\partial D}\,{\underset {x \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{x}f(x)\;d\beta .\end{aligned}}

där gränsen är för x som närmar sig ytan β från insidan av domän D , n _β är enhetsvektorn normal till ytan β, och ∇ _x är nu den flerdimensionella gradientoperatorn. Liksom tidigare följer den första likheten av två integrationer av delar (i högre dimensioner fortsätter detta med Greens andra identitet ) där gränstermerna försvinner så länge som domänen D är finit eller om f försvinner i oändligheten; t.ex. både 1 _{x ∈ D} och ∇ _x 1 _{x ∈ D} är noll när de utvärderas vid 'gränsen' för ^Rd när domänen D är finit. Den tredje likheten följer av divergenssatsen och visar återigen en summa (eller, i detta fall, en integral) av utåtnormala derivator över alla gränslägen. Divergenssatsen är giltig för bitvis jämna domäner D , och därför måste D vara bitvis jämn.

Sålunda existerar ytdelta-primfunktionen (alias Dirac $δ'$ -funktion) på en bitvis slät yta och är ekvivalent med Laplacian för indikatorfunktionen för domänen D som omfattas av den bitvis jämna ytan. Naturligtvis försvinner skillnaden mellan en punkt och en yta i en dimension.

I elektrostatik kan en ytdipol (eller dubbelskiktspotential ) modelleras genom den begränsande fördelningen av indikatorns Laplacian.

Beräkningen ovan härrör från forskning om vägintegraler inom kvantfysik.

Dirac ytdelta funktion

Detta avsnitt kommer att bevisa att (inåt) normalderivatan av indikatorn är en ytdeltafunktion .

För en finit domän D eller när f försvinner i oändligheten, följer det av divergenssatsen som

\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\left (\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\right)\;dx=0.

Av produktregeln följer det

\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx+ \int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx=-2\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.

Efter analysen av avsnittet ovan är de två termerna på vänster sida lika, och därmed

\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\; d\beta =-\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x )\;dx.

Gradienten för indikatorn försvinner överallt, utom nära gränsen för D , där den pekar i normal riktning. Därför är endast komponenten av ∇ _x f ( x ) i normalriktningen relevant. Antag att, nära gränsen, ∇ _x f ( x ) är lika med n _x g ( x ), där g är någon annan funktion. Sedan följer det

\oint _{\partial D}\,g(\beta )\;d\beta =-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}\mathbf { 1} _{x\in D}\,\cdot \,n_{x}\,g(x)\;dx.

Den utåtriktade normalen n _x definierades ursprungligen endast för x i ytan, men den kan definieras att existera för alla x ; till exempel genom att ta den yttre normalen för gränspunkten närmast x .

Ovanstående analys visar att − n _x ⋅ ∇ _x 1 _{x ∈ D} kan betraktas som ytgeneraliseringen av den endimensionella Dirac deltafunktionen . Genom att sätta funktionen g lika med ett, följer det att den inåtriktade normalderivatan av indikatorn integreras med ytarean av D .

I elektrostatik kan ytladdningstätheter (eller enstaka gränsskikt ) modelleras med hjälp av ytdeltafunktionen enligt ovan. Den vanliga Dirac deltafunktionen kan användas i vissa fall, t.ex. när ytan är sfärisk. I allmänhet kan ytdeltafunktionen som diskuteras här användas för att representera ytladdningstätheten på en yta av vilken form som helst.

Beräkningen ovan härrör från forskning om vägintegraler inom kvantfysik.

Approximationer genom bump-funktioner

Detta avsnitt visar hur derivator av indikatorn kan behandlas numeriskt under ett heltal.

I princip kan indikatorn inte differentieras numeriskt, eftersom dess derivata är antingen noll eller oändlig. Men för praktiska ändamål kan indikatorn approximeras av en bumpfunktion , indikerad med I _ε ( x ) och närmar sig indikatorn för ε → 0. Flera alternativ är möjliga, men det är bekvämt att låta bumpfunktionen vara icke-negativ och närma dig indikatorn underifrån , dvs

{\begin{aligned}0\leq I_{\varepsilon }(x)&\leq \mathbf {1} _{{x}\in D}\quad \forall \varepsilon >0\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\;I_{\varepsilon }(x)& =\mathbf {1} _{x\in D}\end{aligned}}

Detta säkerställer att familjen av bumpfunktioner är identiskt noll utanför D . Detta är bekvämt, eftersom det är möjligt att funktionen f endast definieras i det inre av D . För f definierad i D får vi alltså följande:

{\begin{aligned}-{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,f(x)\,n_{x }\cdot \nabla _{x}I_{\varepsilon }(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}f(\ alpha )\;d\beta ,\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\,\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2 }I_{\varepsilon }(x)\,f(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta } \cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta ,\end{aligned}}

där den inre koordinaten α närmar sig gränskoordinaten β från det inre av D , och där det inte finns något krav på att f ska existera utanför D .

När f definieras på båda sidor om gränsen och dessutom är differentierbar över gränsen för D , då är det mindre avgörande hur bumpfunktionen närmar sig indikatorn.

Diskontinuerliga testfunktioner

Om testfunktionen f möjligen är diskontinuerlig över gränsen, kan distributionsteori för diskontinuerliga funktioner användas för att förstå ytfördelningar, se t.ex. avsnitt V i . I praktiken, för ytdelta-funktionen, innebär detta vanligtvis ett medelvärde av värdet av f på båda sidor om gränsen för D innan den integreras över gränsen. Likaså, för ytdelta-primfunktionen betyder det vanligtvis att medelvärdesmätning av den utåtnormala derivatan av f på båda sidor om gränsen för domän D innan den integreras över gränsen.

Ansökningar

Kvantmekanik

Inom kvantmekaniken är punktinteraktioner välkända och det finns en stor mängd litteratur om ämnet. Ett välkänt exempel på en endimensionell singular potential är Schrödinger-ekvationen med en Dirac-deltapotential . Den endimensionella Dirac delta- primpotentialen har å andra sidan orsakat kontroverser. Kontroversen avgjordes till synes av en oberoende tidning, även om även denna tidning väckte senare kritik.

Mycket mer uppmärksamhet har fokuserats på den endimensionella Dirac delta prime potential nyligen.

En punkt på den endimensionella linjen kan betraktas både som en punkt och som yta; som en punkt markerar gränsen mellan två regioner. Två generaliseringar av Dirac delta-funktionen till högre dimensioner har alltså gjorts: generaliseringen till en flerdimensionell punkt, samt generaliseringen till en flerdimensionell yta.

De förra generaliseringarna är kända som punktinteraktioner, medan de senare är kända under olika namn, t.ex. "delta-sfärinteraktioner" och "ytdeltainteraktioner". De senare generaliseringarna kan använda derivator av indikatorn, som förklaras här, eller den endimensionella Dirac $δ$ -funktionen som en funktion av den radiella koordinaten r .

Vätskedynamik

Indikatorns Laplacian har använts inom vätskedynamik, t.ex. för att modellera gränssnitten mellan olika medier.

Ytrekonstruktion

Divergensen för indikatorn och indikatorns Laplacian (eller för den karakteristiska funktionen, som indikatorn också är känd) har använts som provinformation från vilken ytor kan rekonstrueras.

Se även