Fréchet–Urysohn utrymme

Inom topologiområdet är ett Fréchet–Urysohn-rum ett topologiskt utrymme $X$ med egenskapen att för varje delmängd $S\subseteq X$ stängs S $S}$ displaystyle i $X$ är identisk med den sekventiella stängningen av $S$ i $X.$ Fréchet–Urysohn-utrymmen är en speciell typ av sekventiellt utrymme .

Fréchet–Urysohn-rymden är den mest allmänna klassen av utrymmen för vilka sekvenser räcker för att bestämma alla topologiska egenskaper hos delmängder av rymden. Det vill säga, Fréchet–Urysohn-utrymmen är exakt de utrymmen för vilka kunskap om vilka sekvenser som konvergerar till vilka gränser (och vilka sekvenser som inte gör det) räcker för att helt bestämma utrymmets topologi. Varje Fréchet–Urysohn-utrymme är ett sekventiellt utrymme men inte omvänt.

Utrymmet är uppkallat efter Maurice Fréchet och Pavel Urysohn .

Definitioner

Se även: Sekventiellt utrymme

Låt $(X,\tau )$ vara ett topologiskt utrymme . Den sekventiella stängningen av $S$ i $(X,\tau )$ är uppsättningen:

$$\ displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatörsnamn {scl} S:&=[S]_{\operatörsnamn {seq} }:=\left\{x\in X~:~{\text{ det finns en sekvens }}s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq S{\text{ i }}S{\text{ så att }}s_ {\bullet }\to x{\text{ in }}(X,\tau )\right\}\end{aligned}}}$$

där $\operatorname {scl} _{X}S$ eller $\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S$ kan skrivas om klarhet behövs.

Ett topologiskt utrymme $(X,\tau )$ sägs vara ett Fréchet–Urysohn-rum om

$$\operatörsnamn {cl} _{X}S=\operatörsnamn {scl} _{X}S$$

för varje delmängd $S\subseteq X,$ där $\operatorname {cl} _{X}S$ betecknar stängningen av $S$ i $(X,\tau ).$

Sekventiellt öppna/stängda set

Antag att $S\subseteq X$ är vilken delmängd som helst av $X.$ En sekvens $x_{1},x_{2},\ldots$ är slutligen i $S$ om det finns ett positivt heltal $N$ så att $x_{i}\in S$ för alla index $i\geq N.$

Uppsättningen $S$ kallas sekventiellt öppen om varje sekvens $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ i $X$ som konvergerar till en punkt av $S$ är slutligen i $S$ ; Vanligtvis, om $X$ förstås så skrivs ${\displaystyle \operatorname {scl} S} istället för$$\operatorname {scl} _{X}S.$

Uppsättningen $S$ kallas sekventiellt sluten om $S=\operatörsnamn {scl} _{X}S,$ eller motsvarande, om närhelst ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} är en$ sekvens i $S$ som konvergerar till ${\ displaystyle x,}$ sedan måste ${\displaystyle x} också vara i$$S.$ Komplementet till en sekventiellt öppen uppsättning är en sekventiellt sluten uppsättning, och vice versa .

Låta

$${\begin{alignedat }{4}\operatörsnamn {SeqOpen} (X,\tau ):&=\left\{S\subseteq X~:~S{\text{ är sekventiellt öppen i }}(X,\tau )\right\} \\&=\left\{S\subseteq X~:~S=\operatörsnamn {SeqInt} _{(X,\tau )}S\right\}\\\end{alignedat}}$$

beteckna mängden av alla sekventiellt öppna delmängder av $(X,\tau ),$ där detta kan betecknas med $\operatorname {SeqOpen} X$ är topologin ${ \displaystyle \tau }$ förstås. Uppsättningen $\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )$ är en topologi på $X$ som är finare än den ursprungliga topologin $\tau .$ Varje öppen (resp. stängd) delmängd av $X$ är sekventiellt öppen (resp. sekventiellt stängd), vilket innebär att

$$\tau \subseteq \operatörsnamn {SeqOpen} (X,\tau ).$$

Starkt Fréchet–Urysohn-utrymme

Ett topologiskt utrymme $X$ är ett starkt Fréchet–Urysohn-utrymme om för varje punkt $x\in X$ och varje sekvens ${\displaystyle A_{1},A_ {2},\ldots } av$$x\in \bigcap _{n}{\overline {A_{n}}} ,$ av rymden $X$ så att det finns en sekvens $\left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ i $X$ så att $a_{i}\in A_{i}$ för varje $i\in \mathbb {N}$ och $\left (a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x$ i $(X,\tau ).$ Ovanstående egenskaper kan uttryckas som urvalsprinciper .

Kontrast till sekventiella mellanslag

Varje öppen delmängd av $X$ är sekventiellt öppen och varje sluten uppsättning stängs sekventiellt. Men motsatserna är i allmänhet inte sanna. De utrymmen för vilka konverserna är sanna kallas sekventiella utrymmen ; det vill säga ett sekventiellt utrymme är ett topologiskt utrymme där varje sekventiellt öppen delmängd nödvändigtvis är öppen, eller på motsvarande sätt är det ett utrymme där varje sekventiellt stängd delmängd nödvändigtvis är stängd. Varje Fréchet-Urysohn-utrymme är ett sekventiellt utrymme men det finns sekventiellt utrymme som inte är Fréchet-Urysohn-utrymme.

Sekventiella utrymmen (respektive Fréchet-Urysohn utrymmen) kan ses/tolkas som exakt de utrymmen $X$ där för varje enskild given delmängd $S\subseteq X,$ kunskap om vilka sekvenser i $X$ konvergerar till vilken punkt(er) i $X$ (och vilka inte gör det) som är tillräcklig för att avgöra om $S$ är stängd i $X$ (respektive, är tillräckligt för att bestämma stängningen av $S$ i $X$ ). Sekventiella mellanslag är alltså de mellanslag $X$ för vilka sekvenser i $X$ kan användas som ett "test" för att avgöra om någon given delmängd är öppen (eller motsvarande, stängd) i ${\ displaystyle X}$ ; eller sagt annorlunda, sekventiella utrymmen är de utrymmen vars topologier helt kan karakteriseras i termer av sekvenskonvergens. I vilket utrymme som helst som inte är sekventiellt finns det en delmängd för vilken detta "test" ger ett " falskt positivt" .

Karakteriseringar

Om $(X,\tau )$ är ett topologiskt utrymme så är följande ekvivalenta:

1. $X$ är ett Fréchet–Urysohn-utrymme.
2. Definition: $\operatorname {scl} _{X}S~=~\operatörsnamn {cl} _{X}S$ för varje delmängd $S\subseteq X.$
3. $\operatorname {scl} _{X}S~\supseteq ~\operatörsnamn {cl} _{X}S$ för varje delmängd $S\subseteq X.$
   • Detta påstående motsvarar definitionen ovan eftersom $\operatorname {scl} _{X}S~\subseteq ~\operatörsnamn {cl} _ {X}S$ gäller alltid för varje $S\subseteq X.$
4. Varje delrum av $X$ är ett sekventiellt mellanrum .
5. För varje delmängd $S\subseteq X$ som inte är stängd i $X$ och för varje $x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,$ det finns en sekvens i $S$ som konvergerar till $x.$
   • Jämför detta villkor till följande karaktärisering av ett sekventiellt utrymme :

   För varje delmängd $S\subseteq X$ som inte är stängd i $X,$ finns det några $x\in \left(\operatörsnamn {cl} _{X}S\right)\setminus S$ för vilken det finns en sekvens i $S$ som konvergerar till $x.$

   • Denna karaktärisering innebär att varje Fréchet–Urysohn-utrymme är ett sekventiellt utrymme.

Karakteriseringen nedan visar att bland Hausdorffs sekventiella utrymmen är Fréchet–Urysohn-utrymmen exakt de för vilka en " samslutlig konvergent diagonalsekvens" alltid kan hittas, liknande den diagonala principen som används för att karakterisera topologier i termer av konvergenta nät . I följande karakterisering antas all konvergens ske i $(X,\tau ).$

Om $(X,\tau )$ är ett Hausdorff- sekventiellt utrymme så är $X$ ett Fréchet–Urysohn-utrymme om och endast om följande villkor gäller: If $\left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }$ är en sekvens i $X$ som konvergerar till några $x\in X$ och om för varje $l\in \mathbb {N} ,$$\left(x_{l}^{i}\right)_ {i=1}^{\infty }$ är en sekvens i $X$ som konvergerar till $x_{l},$ där dessa hypoteser kan sammanfattas med följande diagram

$${\begin{alignedat}{11}&x_{1}^{1}~\;~&x_{1 }^{2}~\;~&x_{1}^{3}~\;~&x_{1}^{4}~\;~&x_{1}^{5}~~&\ldots ~~&x_{ 1}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{1}\\[1.2ex]&x_{2}^{1}~\;~&x_{2}^{2}~\; ~&x_{2}^{3}~\;~&x_{2}^{4}~\;~&x_{2}^{5}~~&\ldots ~~&x_{2}^{i}~~ \ldots ~~&\to ~~&x_{2}\\[1.2ex]&x_{3}^{1}~\;~&x_{3}^{2}~\;~&x_{3}^{3 }~\;~&x_{3}^{4}~\;~&x_{3}^{5}~~&\ldots ~~&x_{3}^{i}~~\ldots ~~&\to ~ ~&x_{3}\\[1.2ex]&x_{4}^{1}~\;~&x_{4}^{2}~\;~&x_{4}^{3}~\;~&x_{4 }^{4}~\;~&x_{4}^{5}~~&\ldots ~~&x_{4}^{i}~~\ldots ~~&\to ~~&x_{4}\\[ 0.5ex]&&&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \\[0.5ex]&x_{l}^{1}~\;~&x_{l}^{2} ~\;~&x_{l}^{3}~\;~&x_{l}^{4}~\;~&x_{l}^{5}~~&\ldots ~~&x_{l}^{i }~~\ldots ~~&\till ~~&x_{l}\\[0.5ex]&&&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \\&&&&&&&&&\,\nedåtpil \\&&&&&&&&~~&\;x\\\end{aligned}}$$

då finns det strikt ökande kartor $\iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ så att $\left(x_{\lambda (n)}^{\iota (n)}\right)_{n=1}^{\infty }\to x.$

(Det räcker att endast beakta sekvenser $\left(x_{l}\right)_{l=1}^{\infty }$ med oändliga intervall (dvs $\left\{x_{l}:l\in \mathbb {N} \right\}$ är oändlig) eftersom om den är finit så innebär Hausdorffness att den nödvändigtvis är konstant med värdet ${ \displaystyle x,}$ i vilket fall förekomsten av kartorna $\iota ,\lambda :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ med de önskade egenskaperna lätt verifieras för detta specialfall (även om $(X,\tau )$ inte är ett Fréchet–Urysohn-utrymme).

Egenskaper

Varje Fréchet–Urysohn-utrymme är ett sekventiellt utrymme även om den motsatta implikationen inte är sant i allmänhet.

Om ett Hausdorff lokalt konvext topologiskt vektorrum $(X,\tau )$ är ett Fréchet-Urysohn-utrymme så är $\tau$ lika med den slutliga topologin på $X$ inducerad av mängden $\operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)$ av alla bågar i $( X,\tau ),$ som per definition är kontinuerliga banor $[0,1]\to (X,\tau )$ som också är topologiska inbäddningar .

Exempel

Varje första-räknebart utrymme är ett Fréchet-Urysohn-utrymme. Följaktligen är varje sekundräknat utrymme , varje mätbart utrymme och varje pseudometriserbart utrymme ett Fréchet–Urysohn-utrymme. Det följer också att varje topologiskt rum $(X,\tau )$ på en ändlig mängd $X$ är ett Fréchet–Urysohn-rum.

Metriserbara kontinuerliga dubbla utrymmen

Ett metriserbart lokalt konvext topologiskt vektorrum (TVS) $X$ (till exempel ett Fréchet-utrymme ) är ett normerbart utrymme om och endast om dess starka dubbla utrymme $X_{b}^{\prime }$ är ett Fréchet–Urysohn-utrymme, eller motsvarande, om och endast om $X_{b}^{\prime }$ är ett normerbart mellanslag.

Sekventiella utrymmen som inte är Fréchet–Urysohn

Direkt gräns för ändligt dimensionella euklidiska rum

Utrymmet för ändliga reella sekvenser $\mathbb {R} ^{\infty }$ är ett Hausdorff-sekventiellt rum som inte är Fréchet–Urysohn. För varje heltal $n\geq 1,$ identifierar $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ med mängden $\mathbb {R} ^{n}\ gånger \{\left(0,0,0,\ ldots \right)\}=\left\{\left(x_{1},\ldots,x_{n},0,0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots,x_ {n}\in \mathbb {R} \right\},$ där den senare är en delmängd av rymden av sekvenser av reella tal $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} };$ uttryckligen, elementen $\left(x_{1},\ldots ,x_{ n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ och $\left(x_{1},\ldots ,x_{n} ,0,0,0,\ldots \right)$ identifieras tillsammans. I synnerhet $\mathbb {R} ^{n}$ identifieras som en delmängd av $\mathbb {R} ^{n+1}$ och mer allmänt, som en delmängd $\mathbb {R} ^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n+k}$ för vilket heltal som helst $k\geq 0.$ Låta

$${\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }:=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ alla utom ändligt många }}x_{i}{\text{ är lika med }}0\right\}=\bigcup _{n=1 }^{\infty }\mathbb {R} ^{n}.\end{alignedat}}$$

Ge $\mathbb {R} ^{\infty }$ dess vanliga topologi $\tau ,$ där en delmängd $S\subseteq \mathbb {R} ^{ \infty }$ är öppen (resp. stängd) om och bara om för varje heltal $n\geq 1,$ mängden ${\displaystyle S\cap \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n} \right)~:~\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)\in S\right\}} är$ en öppen (resp. stängd) delmängd av $\mathbb {R} ^{n}$ (med den vanlig euklidisk topologi ). Om $v\in \mathbb {R} ^{\infty }$ och $v_{\bullet }$ är en sekvens i $\mathbb {R} ^{ \infty }$ sedan $v_{\bullet }\to v$ i $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)$ om och bara om det finns något heltal $n\geq 1$ så att både $v$ och $v_{\bullet }$ ingår i $\ mathbb {R} ^{n}$ och $v_{\bullet }\to v$ i $\mathbb {R} ^{n}.$ Av dessa fakta följer att $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)$ är ett sekventiellt utrymme. För varje heltal $n\geq 1,$ låt $B_{n}$ beteckna den öppna bollen i $\mathbb {R} ^{n}$ med radie $1/n$ (i den euklidiska normen ) centrerad vid ursprunget. Låt ${\displaystyle S:=\mathbb {R} ^{\infty }\,\setminus \,\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}.} Sedan stängs S {$ \ $S }$ är $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)$ är hela $\mathbb {R} ^{\infty }$ men ursprunget $(0,0,0,\ldots )$ för $\mathbb {R} ^{\infty }$ hör inte till den sekventiella stängningen av ${ \displaystyle S}$ i $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right).$ I själva verket kan det visas att

$$\mathbb {R} ^{\infty }=\operatörsnamn {cl} _{\mathbb {R} ^{\infty }}S~\neq ~\operatörsnamn {scl} _{\mathbb {R} ^ {\infty }}S=\mathbb {R} ^{\infty }\setminus \{(0,0,0,\ldots )\}.$$

Detta bevisar att $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau \right)$ inte är ett Fréchet–Urysohn-utrymme.

Montel DF-mellanslag

Varje oändligt dimensionellt Montel DF-utrymme är ett sekventiellt utrymme men inte ett Fréchet-Urysohn-utrymme.

Schwartz -utrymmet ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ och utrymmet för jämna funktioner $C^ {\infty }(U)$

Följande flitigt använda utrymmen är framträdande exempel på sekventiella utrymmen som inte är Fréchet-Urysohn-utrymmen. Låt ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ beteckna Schwartz-mellanrummet och låt $C^{\ infty }(U)$ betecknar utrymmet för jämna funktioner på en öppen delmängd $U\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ där båda dessa utrymmen har sina vanliga Fréchet- rymdstopologier, enligt definitionen i artikeln om distributioner . Både ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ och $C^{\infty }(U ),$ såväl som de starka dubbla utrymmena i båda dessa utrymmen, är kompletta nukleära Montel- ultrabornologiska utrymmen, vilket innebär att alla fyra av dessa lokalt konvexa utrymmen också är parakompakta normala reflexiva trumutrymmen . De starka dubbla utrymmena för både ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ och $C^{\ infty }(U)$ är sekventiella mellanslag men ingen av dessa dualer är ett Fréchet-Urysohn-utrymme .

Se även

• Axiom för räknebarhet – egenskap hos vissa matematiska objekt (vanligtvis i en kategori) som hävdar att det finns en räknebar mängd med vissa egenskaper. Utan ett sådant axiom kanske en sådan uppsättning inte existerar. Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Första-räknebart utrymme – Topologiskt utrymme där varje punkt har en räknebar grannskapsbas
• Gräns ​​för en sekvens – Värde som tenderar till en oändlig sekvens
• Sekvenstäckande karta
• Sekventiellt utrymme – Topologiskt utrymme kännetecknat av sekvenser

Citat

•   Arkhangel'skii, AV och Pontryagin, LS, General Topology I , Springer-Verlag, New York (1990) ISBN 3-540-18178-4 .
• Booth, PI och Tillotson, A., Monoidal slutna, kartesiska slutna och bekväma kategorier av topologiska utrymmen Pacific J. Math., 88 (1980) s. 35–53.
• Engelking, R., General Topology , Heldermann, Berlin (1989). Reviderad och färdig upplaga.
• Franklin, SP, " Spaces in which Sequences Suffice ", Fund. Matematik. 57 (1965), 107-115.
• Franklin, SP, " Spaces in which Sequences Suffice II ", Fund. Matematik. 61 (1967), 51-56.
• Goreham, Anthony, " Sekventiell konvergens i topologiska utrymmen "
• Steenrod, NE, En bekväm kategori av topologiska utrymmen , Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.
•    Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .