Schwartz kärnteorem

Inom matematik är Schwartz kärnsats ett grundläggande resultat i teorin om generaliserade funktioner , publicerad av Laurent Schwartz 1952. Den säger i stora termer att de generaliserade funktioner som introducerats av Schwartz ( Schwartz distributioner ) har en teori med två variabler som inkluderar alla rimliga bilinjära former på utrymmet ${\mathcal {D}}$ i testfunktioner . Själva utrymmet ${\mathcal {D}}$ består av smidiga funktioner med kompakt stöd .

Uttalande av satsen

Låt $X$ och $Y$ vara öppna mängder i $\mathbb {R} ^{n}$ . Varje fördelning $k\in {\mathcal {D}}'(X\ gånger Y)$ definierar en kontinuerlig linjär karta ${ \displaystyle K\colon {\mathcal {D}}(Y)\to {\mathcal {D}}'(X)} så$ att

$\left\langle k,u\otimes v\right\rangle =\left\langle Kv,u\right\rangle$

 

 

 

 

()

för varje $u\in {\mathcal {D}}(X),v\in {\mathcal {D}}(Y)$ . Omvänt, för varje sådan kontinuerlig linjär karta $K$ finns det en och bara en distribution $k\in {\mathcal {D}}'(X\ gånger Y)$ så att ( 1 ) håller. Fördelningen $k$ är kärnan i kartan $K$ .

Notera

Givet en fördelning $k\in {\mathcal {D}}'(X\ gånger Y)$ kan man alltid skriva den linjära kartan K informellt som

$Kv=\int _{Y}k(\cdot ,y)v(y)dy$

så att

$\langle Kv,u\rangle =\int _{X}\int _{ Y}k(x,y)v(y)u(x)dydx$ .

Integrerade kärnor

De traditionella kärnfunktionerna $K(x,y)$ av två variabler i teorin om integraloperatorer har utökats till att omfatta deras generaliserade funktionsanaloger, som tillåts vara mer singular i en seriöst sätt kan en stor klass av operatorer från ${\mathcal {D}}$ till dess dubbla utrymme ${\mathcal {D}}'$ av distributioner konstrueras. Poängen med satsen är att hävda att den utökade klassen av operatorer kan karakteriseras abstrakt, som att den innehåller alla operatorer som omfattas av ett minimikontinuitetsvillkor. En bilinjär form på ${\mathcal {D}}$ uppstår genom att bildfördelningen paras ihop med en testfunktion.

Ett enkelt exempel är att den naturliga inbäddningen av testfunktionsutrymmet ${\mathcal {D}}$ i ${\mathcal {D}}'$ - skickar varje testfunktion $f$ till motsvarande fördelning $[f]$ - motsvarar deltafördelningen

$\delta (xy)$

koncentrerad vid diagonalen av det understrukna euklidiska rummet, i termer av Dirac deltafunktionen $\delta$ . Även om detta på sin höjd är en observation, visar det hur distributionsteorin lägger till omfattningen. Integraloperatorer är inte så "singulara"; ett annat sätt att uttrycka det är att för $[0,1]$$\displaystyle K}$ en kontinuerlig kärna, skapas endast kompakta operatorer på ett utrymme som de kontinuerliga funktionerna på . Operatorn $I$ är långt ifrån kompakt, och dess kärna är intuitivt sett approximerad av funktioner på $[0,1]\times [0,1]$ med en spik längs diagonalen $x=y$ och försvinner någon annanstans.

Detta resultat antyder att bildandet av distributioner har en stor egenskap av "stängning" inom den traditionella domänen av funktionell analys . Det tolkades (kommentar av Jean Dieudonné ) som en stark verifikation av lämpligheten av Schwartz teori om distributioner för matematisk analys mer allmänt sett. I hans Éléments d'analyse volym 7, sid. 3 noterar han att satsen inkluderar differentialoperatorer på samma villkor som integraloperatorer och drar slutsatsen att det kanske är det viktigaste moderna resultatet av funktionsanalys. Han fortsätter omedelbart med att kvalificera detta uttalande och säger att inställningen är för "vidsträckt" för differentialoperatorer, på grund av egenskapen monotoni med avseende på stödet för en funktion , vilket är uppenbart för differentiering. Även monotoni med avseende på singularstöd är inte utmärkande för det allmänna fallet; dess övervägande leder i riktning mot den samtida teorin om pseudo-differentiella operatorer .

Släta grenrör

Dieudonné bevisar en version av Schwartz-resultatet som är giltig för släta grenrör , och ytterligare stödjande resultat, i avsnitt 23.9 till 23.12 i den boken.

Generalisering till nukleära utrymmen

Mycket av teorin om kärnutrymmen utvecklades av Alexander Grothendieck när han undersökte Schwartz kärnteoremet och publicerades i Grothendieck 1955 . Vi har följande generalisering av satsen.

Schwartz kärnsats : Antag att X är nukleär , Y är lokalt konvex och v är en kontinuerlig bilinjär form på $X\ gånger Y$ . Då v från ett mellanslag med formen $X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimehat {\otimes }}_{\epsilon } Y_{B^{\prime }}^{\prime }$ där $A^{\prime }$ och $B^{\prime }$ är lämpliga ekvikontinuerliga delmängder av ${\ displaystyle X^{\prime }}$ och $Y^{\prime }$ . På motsvarande sätt v av formen,

${\displaystyle v(x,y)=\summa _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle } för$ alla $(x,y)\in X\ gånger Y$

där $\left(\lambda _{i}\right)\in l^{1}$ och var och en av $\{ x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \}$ och $\{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \}$ är ekvikontinuerliga. Dessutom kan dessa sekvenser tas som nollsekvenser (dvs. konvergerar till 0) i $X_{A^{\prime }}^{\prime }$ och $Y_{ B^{\prime }}^{\prime }$ , respektive.

Se även

• Fredholm kernel – typ av en kärna på ett Banach-utrymme Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Injektiv tensorprodukt
• Kärnkraftsoperatör
• Kärnrum – En generalisering av ändliga dimensionella euklidiska rum som skiljer sig från Hilbert-rum
• Projektiv tensorprodukt – Den projektiva tensorprodukten av två topologiska vektorrum Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Riggat Hilbert space – Konstruktion som länkar samman studiet av "bundna" och kontinuerliga egenvärden i funktionsanalys
• Trace class – kompakt operatör för vilken ett ändligt spår kan definieras Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv

Bibliografi

•     Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Topologiska tensorprodukter och nukleära utrymmen]. Memoirs of the American Mathematical Society Series (på franska). Providence: American Mathematical Society. 16 . ISBN 978-0-8218-1216-7 . MR 0075539 . OCLC 1315788 .
•    Hörmander, L. (1983). Analysen av linjära partiella differentialoperatorer I . Grundl. Matematik. Wissenschaft. Vol. 256. Springer. doi : 10.1007/978-3-642-96750-4 . ISBN 3-540-12104-8 . MR 0717035 . .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wong (1979). Schwartz-rymden, nukleära utrymmen och tensorprodukter . Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158 .

externa länkar

• GL Litvinov (2001) [1994], "Nuclear bilinear form" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press