Begränsad invers sats

Inom matematiken är den avgränsade inverssatsen (eller inversavbildningssatsen ) ett resultat i teorin om avgränsade linjära operatorer på Banach-rum . Den anger att en bijektiv begränsad linjär operator T från ett Banach-rum till ett annat har begränsat invers T ⁻¹ . Det motsvarar både den öppna avbildningssatsen och den slutna grafsatsen .

Generalisering

Sats — Om A : X → Y är en kontinuerlig linjär bijektion från ett komplett pseudometriserbart topologiskt vektorrum (TVS) till ett Hausdorff TVS som är ett Baire-rum , då är A : X → Y en homeomorfism (och därmed en isomorfism av TVS) .

Motexempel

Denna sats kanske inte gäller för normerade utrymmen som inte är fullständiga. Betrakta till exempel utrymmet X i sekvenserna x : N → R med endast ändligt många termer som inte är noll utrustade med den högsta normen . Kartan T : X → X definierad av

$Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{ 3}}{3}},\dots \right)$

är begränsat, linjärt och inverterbart, men T ⁻¹ är obegränsat. Detta motsäger inte den avgränsade inversa satsen eftersom X inte är komplett och därför inte är ett Banach-utrymme. För att se att det inte är komplett, överväg sekvensen av sekvenserna x ^{( n )} ∈ X ges av

$x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots, {\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)$

konvergerar som n → ∞ till sekvensen x ^(∞) som ges av

$x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots, {\frac {1}{n}},\dots \right),$

som har alla sina termer som inte är noll, och därför inte ligger i X .

Fullbordandet av X är mellanrummet $c_{0}$ för alla sekvenser som konvergerar till noll, vilket är ett (slutet) delrum av ℓ _p rymden ℓ _∞ ( N ), som är rymden för alla avgränsade sekvenser . Men i det här fallet är kartan T inte på, och därför inte en bijektion. För att se detta behöver man helt enkelt notera att sekvensen

$x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right ),$

är ett element av $c_{0}$ , men ligger inte i intervallet $T:c_{0}\to c_{0}$ .

Se även

• Nästan öppen linjär karta – Karta som uppfyller ett villkor som liknar det att vara en öppen karta. Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Stängd graf – Graf över en karta stängd i produktutrymmet Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Sluten grafsats – Teorem som relaterar kontinuitet till grafer
• Öppen avbildningssats (funktionell analys) – Förutsättning för att en linjär operator ska vara öppen
• Surjektion av Fréchet-utrymmen – Karakterisering av surjektivitet
• Webbed space – Utrymme där öppen kartläggning och slutna grafsatser gäller

Bibliografi

•     Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologiska vektorrum I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Översatt av Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . MR 0248498 . OCLC 840293704 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•   Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). En introduktion till partiella differentialekvationer . Texter i tillämpad matematik 13 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag. s. 356 . ISBN 0-387-00444-0 . (Avsnitt 8.2)
•    Wilansky, Albert (2013). Moderna metoder i topologiska vektorutrymmen . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .