Wilks lambdafördelning

Inom statistik är Wilks lambdafördelning (uppkallad efter Samuel S. Wilks ), en sannolikhetsfördelning som används vid multivariat hypotestestning , särskilt med hänsyn till sannolikhetsförhållandet och multivariat variansanalys (MANOVA).

Definition

Wilks lambdafördelning definieras från två oberoende Wishart-fördelade variabler som kvotfördelningen av deras determinanter ,

given

\mathbf {A} \sim W_{p}(\Sigma ,m)\qquad \mathbf {B} \sim W_{p }(\Sigma ,n)

oberoende och med $m\geq p$

\lambda ={\frac {\det(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A+B} )}}={\frac {1}{\det(\mathbf {I} +\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )} }\sim \Lambda (p,m,n)

där p är antalet dimensioner. I sammanhanget med sannolikhetsförhållandetester är m typiskt felfrihetsgraderna och n är hypotesens frihetsgrader, så att $n+m$ är de totala frihetsgraderna.

Uppskattningar

Beräkningar eller tabeller över Wilks fördelning för högre dimensioner är inte lättillgängliga och man brukar tillgripa approximationer. En approximation tillskrivs MS Bartlett och fungerar för stora m gör att Wilks lambda kan approximeras med en chi-kvadratfördelning

\left({\frac {p-n+1}{2}}-m\right)\log \Lambda (p,m,n)\sim \chi _{np}^{2}.

En annan approximation tillskrivs CR Rao .

Egenskaper

Det finns en symmetri bland parametrarna för Wilks-distributionen,

\Lambda (p,m,n)\sim \Lambda (n,m+np,p)

Relaterade distributioner

Fördelningen kan relateras till en produkt av oberoende beta-fördelade slumpvariabler

u_{i}\sim B\left({\frac {m+ip}{2}},{\frac {p}{2} }\right)

\prod _{i=1}^{n}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).

Som sådan kan det betraktas som en multivariat generalisering av betafördelningen.

Det följer direkt att för ett endimensionellt problem, när Wishart-fördelningarna är endimensionella med $p=1$ (dvs. chi-kvadratfördelad), då är Wilks-fördelningen lika med beta-fördelningen med en viss parameteruppsättning,

\Lambda (1,m,n)\sim B\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right).

Från relationerna mellan en beta- och en F-fördelning kan Wilks lambda relateras till F-fördelningen när en av parametrarna för Wilks lambdafördelning är antingen 1 eller 2, t.ex.

{\frac {1-\Lambda (p,m, 1)}{\Lambda (p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{p,m-p+1},

och

{\frac {1-{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{ m-p+1}}F_{2p,2(m-p+1)}.

Se även