Familj av sannolikhetsfördelningar
Den här artikeln handlar om distributionen som introducerades av Diaz och Teruel. För Tsallis q-Gaussian, se
q-Gaussian .
Inom matematisk fysik och sannolikhet och statistik är den Gaussiska q -fördelningen en familj av sannolikhetsfördelningar som inkluderar, som begränsningsfall , den enhetliga fördelningen och den normala (Gaussiska) fördelningen . Det introducerades av Diaz och Teruel. [ förtydligande behövs Det är en q-analog av Gauss- eller normalfördelningen .
Fördelningen är symmetrisk omkring noll och är begränsad, med undantag för begränsningsfallet för normalfördelningen. Den begränsande enhetliga fördelningen ligger inom området -1 till +1.
Definition
Låt q vara ett reellt tal i intervallet [0, 1). Sannolikhetstäthetsfunktionen för den Gaussiska q -fördelningen ges av
s
q
( x ) =
{
0
if
x < − ν
1
c ( q )
E
q
2
−
q
2
x
2
[ 2
]
q
if
− ν ≤ x ≤ ν
0
om
x > ν .
{\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{ 2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\ 0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}}
var
ν = ν ( q ) =
1
1 − q
,
{\displaystyle \nu =\nu (q)={\frac {1}{\sqrt {1-q}}},}
c ( q ) = 2 ( 1 − q
)
1
/
2
∑
m =
0
∞
( − 1
)
m
q
m ( m + 1 )
( 1 −
q
2 m + 1
) ( 1 −
q
2
)
q
2
m
.
{\displaystyle c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}q^{m( m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{m}}}.}
q -analogen [ t ] q
t
\displaystyle t}
{ ges av
[ t
]
q
=
q
t
− 1
q − 1
.
{\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.}
Exponentialfunktionens q -analog är q-exponentialen , E x q , som ges av
E
q
x
=
∑
j =
0
∞
q
j ( j − 1 )
/
2
x
j
[ j ] !
{\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j ]!}}}
där q -analogen av faktorialen är q-faktorn , [ n ] q
[ n
]
q
! = [ n
]
q
[ n − 1
]
q
⋯ [ 2
]
q
{\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_ {q}\,}
för ett heltal n > 2 och [1] q q
Den kumulativa Gaussiska q-fördelningen.
Den kumulativa fördelningsfunktionen för den Gaussiska q -fördelningen ges av
G
q
( x ) =
{
0
om
x < − ν
1
c ( q )
∫
− ν
x
E
q
2
−
q
2
t
2
/
[ 2 ]
d
q
t
om
− ν ≤ x ≤ ν
1
om
x > ν
{\ displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }} -\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}}
där integrationssymbolen anger Jackson-integralen .
Funktionen G q
G
q
( x ) =
{
0
om
x < − ν ,
1 2
+
1 − q
c ( q )
∑
n =
0
∞
q
n ( n + 1 )
( q − 1
)
n
( 1 −
q
2 n + 1
) ( 1 −
q
2
)
q
2
n
x
2 n + 1
om
− ν ≤ x ≤ ν
1
om
x > ν
{\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }} x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{ \frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{(1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2 }}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{if}}\ x>\nu \end {fall}}}
var
( a + b
)
qn
∏i
=
_
_
=
0
n − 1
( a +
qib
.
) _ _
{\displaystyle (a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).}
Ögonblick
Momenten för den Gaussiska q -fördelningen ges av
1
c ( q )
∫
− ν
ν
E
q
2
−
q
2
x
2
/
[ 2 ]
x
2 n
d
q
x = [ 2 n − 1 ] ! ! ,
{\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu}E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2 }/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,}
0
1
c ( q )
∫
− ν
ν
E
q
2
−
q
2
x
2
/
[ 2 ]
x
2 n + 1
d
q
x = ,
{\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{ -q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,}
där symbolen [2 n − 1]!! är q -analogen av dubbelfaktorialen som ges av
[ 2 n − 1 ] [ 2 n − 3 ] ⋯ [ 1 ] = [ 2 n − 1 ] ! ! .
{\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,}
Se även
Díaz, R.; Pariguan, E. (2009). "Om den Gaussiska q-fördelningen". Journal of Mathematical Analysis and Applications 358 : 1. arXiv : 0807.1918 doi : 10.1016/j.jmaa.2009.04.046 .
Diaz, R.; Teruel, C. (2005). "q,k-Generaliserade gamma- och betafunktioner" (PDF) . Journal of Nolinear Mathematical Physics 12 (1): 118–134. arXiv : math/0405402 Bibcode : 2005JNMP...12..118D . doi : 10.2991/jnmp.2005.12.1.10 .
van Leeuwen, H.; Maassen, H. (1995). "A q deformation av Gauss-fördelningen" (PDF) . Journal of Mathematical Physics 36 (9): 4743. Bibcode : 1995JMP....36.4743V . CiteSeerX 10.1.1.24.6957 doi : 10.1063/1.530917 .
q-Hypergeometric Functions and Applications , New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0478027453
Riktad
Degenererad och singular
Familjer
![{\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4756d8f382ded295f41b2e35a5f6856e88ecbb)
![{\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a356c0354e30a936e10d638ea378c74ead1b6b13)
![{\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271b1da4445a1cb1b891e9c3d30099e2e6e99662)
![{\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533b3c41df579ee3f4d41dd6c153ba7e4db42183)
![{\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2127f2fe582b05819f37838de70f0b976b4a75d6)
![{\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12db0a698d15e9955385a89a2bfd58d6a62a7be7)
![{\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1ba81409d3ee37e51e8b40c38bca8d81bedc4d)
![{\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044891c4911617a29420b18e032d7fd9c9848714)
