Halvnormalfördelning

Halvnormalfördelning

Sannolikhetstäthetsfunktion $\sigma =1$
Kumulativ fördelningsfunktion $\sigma =1$
Parametrar	$\sigma >0$ — ( skala )
Stöd	$x\in [0,\infty )$
PDF	$f(x;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt { \pi }}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad x>0$
CDF	$F(x;\sigma )=\operatörsnamn {erf} \left({\frac {x}{\sigma {\sqrt {2}}} }\höger)$
Kvantil	$Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatörsnamn {erf} ^{-1}(F)$
Betyda	${\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}$
Median	$\sigma {\sqrt {2}}\operatörsnamn {erf} ^{-1}(1/2)$
Läge	$0$
Variation	$\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)$
Skevhet	${\frac {{\sqrt {2}}(4-\pi )}{(\pi -2)^{3/2} }}\approx 0,9952717$
Ex. kurtosis	${\frac {8(\pi -3)}{(\pi -2)^{2}}}\approx 0,869177$
Entropi	${\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)- 1$

Inom sannolikhetsteori och statistik är halvnormalfördelningen ett specialfall av den vikta normalfördelningen .

Låt $X$ följa en vanlig normalfördelning , $N(0,\sigma ^{2})$ . Då är $Y=|X|$ följer en halvnormalfördelning. Således är halvnormalfördelningen ett veck vid medelvärdet av en vanlig normalfördelning med medelvärdet noll.

Egenskaper

Med hjälp av $\sigma$ parametriseringen av normalfördelningen ges sannolikhetstäthetsfunktionen (PDF) för halvnormalen av

$f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\ sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad y\geq 0,$

där $E[Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}$ .

Alternativt att använda en skalad precision (invers av variansen) parametrisering (för att undvika problem om $\sigma$ är nära noll), erhålls genom att sätta $\theta ={\frac {\sqrt { \pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}$ , sannolikhetstäthetsfunktionen ges av

$f_{Y}(y;\theta )={\frac {2\theta }{\pi } }\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)\quad y\geq 0,$

där $E[Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}$ .

Den kumulativa fördelningsfunktionen (CDF) ges av

$F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{y} {\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{ 2}}}\right)\,dx$

Med hjälp av ändringsvariablerna $z=x/({\sqrt {2}}\sigma )$ kan CDF skrivas som

$F_{Y}(y;\sigma )={ \frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp \left(-z^{2}\ höger)dz=\operatörsnamn {erf} \left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),$

där erf är felfunktionen , en standardfunktion i många matematiska mjukvarupaket.

Kvantilfunktionen (eller invers CDF) skrivs:

$Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatörsnamn {erf} ^{-1}(F)$

där $0\leq F\leq 1$ och $\operatorname {erf} ^{-1}$ är den omvända felfunktionen

Förväntningen ges då av

$E[Y]=\sigma {\sqrt {2/\pi }},$

Variansen ges av

$\operatorname {var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).$

Eftersom detta är proportionellt mot variansen σ ² av X , kan σ ses som en skalparameter för den nya fördelningen.

Differentialentropin för halvnormalfördelningen är exakt en bit mindre differentialentropin för en nollmedelnormalfördelning med samma andra moment omkring 0. Detta kan förstås intuitivt eftersom magnitudoperatorn minskar informationen med en bit (om sannolikheten är fördelningen vid dess ingång är jämn). Alternativt, eftersom en halvnormalfördelning alltid är positiv, är den bit som det skulle ta för att registrera om en normal normal slumpvariabel var positiv (säg en 1) eller negativ (säg en 0) inte längre nödvändig. Således,

$h(Y)={\frac {1}{2} }\log _{2}\left({\frac {\pi e\sigma ^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left (2\pi e\sigma ^{2}\right)-1.$

Ansökningar

Halvnormalfördelningen används vanligtvis som en tidigare sannolikhetsfördelning för variansparametrar i Bayesianska slutledningstillämpningar .

Parameteruppskattning

Givet tal $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$ dragna från en halvnormalfördelning, den okända parametern $\sigma$ av den fördelningen kan uppskattas med metoden för maximal sannolikhet , vilket ger

${\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }x_{i}^{2}}}$

Förspänningen är lika med

$b\equiv \operatörsnamn {E} {\bigg [}\;({\hat {\sigma }}_{\ mathrm {mle} }-\sigma )\;{\bigg ]}=-{\frac {\sigma }{4n}}$

vilket ger den bias-korrigerade maximala sannolikhetsskattaren

${\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}^{*}={\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}-{\hat {b \,}}.$

Relaterade distributioner

• Fördelningen är ett specialfall av den vikta normalfördelningen med μ = 0.
• Det sammanfaller också med en nollmedelnormalfördelning trunkerad underifrån vid noll (se trunkerad normalfördelning )
• Om Y har en halvnormalfördelning så har ( Y / σ ) ^{2 en} chi-kvadratfördelning med 1 frihetsgrad, dvs Y / σ har en chi-fördelning med 1 frihetsgrad.
• Halvnormalfördelningen är ett specialfall av den generaliserade gammafördelningen med d = 1, p = 2, a = ${\sqrt {2}}\sigma$ .
• Om Y har en halvnormalfördelning har Y ^{-2 en} avgiftsfördelning
• Rayleigh -fördelningen är en momentlutad och skalad generalisering av halvnormalfördelningen.
• Modifierad halvnormalfördelning med pdf:en på $(0,\infty )$ ges som $f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x ^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}} }$ , där $\Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{ 1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matris}};z\right)$ anger Fox -Wright Psi-funktionen .

Se även

• Halv- t fördelning
• Trunkerad normalfördelning
• Vikt normalfördelning
• Rättad Gaussisk fördelning

Vidare läsning

• Leone, FC; Nelson, LS; The folded normal distribution", Technometrics , 3 (4): 543–550, doi : 10.2307/1266560 , hdl : 2027/mdp.39015095248541 , J5STOR60266  

externa länkar

• Halvnormal distribution vid MathWorld

(observera att MathWorld använder parametern $\theta ={\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\pi /2}}$