Hyperexponentiell fördelning

Diagram som visar kösystems ekvivalent med en hyperexponentiell fördelning

I sannolikhetsteorin är en hyperexponentialfördelning en kontinuerlig sannolikhetsfördelning vars sannolikhetstäthetsfunktion för den slumpmässiga variabeln X ges av

$f_{X}(x)=\summa _{i=1}^{n}f_{Y_{i$

där varje Y _i är en exponentiellt fördelad _{slumpvariabel} med hastighetsparametern λi , och pi _är sannolikheten att X kommer _att anta formen av den exponentiella fördelningen med hastigheten λi . Den kallas hyperexponentialfördelningen eftersom dess variationskoefficient är större än den för exponentialfördelningen, vars variationskoefficient är 1, och den hypoexponentiella fördelningen , som har en variationskoefficient som är mindre än en. Medan den exponentiella fördelningen är den kontinuerliga analogen till den geometriska fördelningen , är den hyperexponentiella fördelningen inte analog med den hypergeometriska fördelningen . Den hyperexponentiella fördelningen är ett exempel på en blandningstäthet .

Ett exempel på en hyperexponentiell slumpvariabel kan ses i samband med telefoni , där, om någon har ett modem och en telefon, kan deras telefonlinjeanvändning modelleras som en hyperexponentiell fördelning där det finns sannolikhet p att de pratar i telefon med rate λ ₁ och sannolikheten q för att de använder sin internetanslutning med rate λ ₂ .

Egenskaper

Eftersom det förväntade värdet av en summa är summan av de förväntade värdena, kan det förväntade värdet av en hyperexponentiell slumpvariabel visas som

$E [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\ infty }x\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _ {i}}}$

och

$E\!\left[X^{2}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=\sum _{ i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx= \sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i},$

varifrån vi kan härleda variansen:

$\operatorname {Var} [X]=E\!\left[X^{2}\right]-E\!\left[X\right]^{2}=\summa _{i=1} ^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i}-\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i }}{\lambda _{i}}}\right]^{2}=\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i} }}\right]^{2}+\summa _{i=1}^{n}\summa _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}\left({\frac {1 }{\lambda _{i}}}-{\frac {1}{\lambda _{j}}}\right)^{2}.$

Standardavvikelsen överstiger medelvärdet i allmänhet (förutom att det degenererade fallet med alla λ är lika), så variationskoefficienten är större än 1.

Den momentgenererande funktionen ges av

$E\!\left[e^{tx}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx=\sum _{i= 1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\summa _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}p_{i}.$

Passande

En given sannolikhetsfördelning, inklusive en tungsvansfördelning , kan approximeras med en hyperexponentiell fördelning genom att anpassas rekursivt till olika tidsskalor med Pronys metod .

Se även

• Fastypsfördelning
• Hyper-Erlang distribution
• Lomax-fördelning (kontinuerlig blandning av exponentialer)