Utökad negativ binomialfördelning

I sannolikhet och statistik är den utökade negativa binomialfördelningen en diskret sannolikhetsfördelning som utökar den negativa binomialfördelningen . Det är en trunkerad version av den negativa binomialfördelningen för vilken uppskattningsmetoder har studerats.

I samband med försäkringsteknisk vetenskap förekom distributionen i sin allmänna form i en artikel av K. Hess, A. Liewald och KD Schmidt när de karakteriserade alla fördelningar för vilka den utökade Panjer-rekursionen fungerar. För fallet m = 1 har fördelningen redan diskuterats av Willmot och lagts in i en parametriserad familj med den logaritmiska fördelningen och den negativa binomialfördelningen av HU Gerber.

Sannolikhetsmassfunktion

För ett naturligt tal m ≥ 1 och reella parametrar p , r med 0 < p ≤ 1 och – m < r < – m + 1 , ges sannolikhetsmassfunktionen för ExtNegBin( m , r , p )-fördelningen av

$f(k;m,r,p)=0\qquad {\text{ för }}k\ i \{0,1,\ldots ,m-1\}$

och

$f(k;m,r,p)={\frac {{k+r-1 \choose k}p^{k}}{(1-p)^{-r}- \sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}p^{j}}}\quad {\text{för }}k\in {\mathbb {N} } {\text{ med }}k\geq m,$

var

${k+r-1 \choose k}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\ Gamma (r)}}=(-1)^{k}\,{-r \choose k}\qquad \qquad (1)$

är den (generaliserade) binomialkoefficienten och Γ betecknar gammafunktionen .

Sannolikhetsgenererande funktion

Genom att använda att f ( . ; m , r , ps ) för s ∈ (0, 1] också är en sannolikhetsmassfunktion, följer det att den sannolikhetsgenererande funktionen ges av

${\begin{aligned}\varphi (s)&=\sum _{k=m}^{\infty }f(k;m,r,p)s^{k}\\&={\ frac {(1-ps)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}(ps)^{j}}{ (1-p)^{-r}-\summa _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}p^{j}}}\qquad {\ text{för }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.\end{aligned}}$

För det viktiga fallet m = 1 , därav r ∈ (–1, 0) , förenklar detta till

$\varphi (s)={\frac {1-(1-ps)^{-r}}{1-(1-p)^{-r}}}\qquad {\text{för }} |s|\leq {\frac {1}{p}}.$