Stabil fördelning

Ej att förväxla med Stationär distribution .

Stabil

Sannolikhetstäthetsfunktion Symmetrisk $\alpha$ -stabila fördelningar med enhetsskalfaktor Skev centrerade stabila distributioner med enhetsskalfaktor
Kumulativ fördelningsfunktion CDF:er för symmetriska $\alpha$ -stabila distributioner CDF:er för skeva centrerade stabila distributioner
Parametrar	$\alpha \in (0,2]$ — stabilitetsparameter $\beta$ ∈ [−1, 1] — skevhetsparameter (observera att skevhet är odefinierad) c ∈ (0 , ∞) — skalparameter μ ∈ (−∞, ∞) — platsparameter
Stöd	x ∈ [ μ , +∞) om $\alpha <1$ och $\beta =1$ x ∈ (-∞, μ ] om $\alpha <1$ och $\beta =1$ x ∈ R annars
PDF	kan inte uttryckas analytiskt, förutom vissa parametervärden
CDF	kan inte uttryckas analytiskt, förutom vissa parametervärden
Betyda	μ när $\alpha >1$ , annars odefinierad
Median	μ när $\beta =0$ , annars inte analytiskt uttryckbart
Läge	μ när $\beta =0$ , annars inte analytiskt uttryckbart
Variation	2 c 2 när $\alpha =2$ , annars oändlig
Skevhet	0 när $\alpha =2$ , annars odefinierad
Ex. kurtosis	0 när $\alpha =2$ , annars odefinierad
Entropi	kan inte uttryckas analytiskt, förutom vissa parametervärden
MGF	$\exp \!\left(t\mu +c^{2}t^{2}\right)$ när $\alpha =2$ , annars odefinierat
CF	$\exp \!{\Big [}\;it\mu -|c\,t|^{\alpha }\,(1-i \beta \operatörsnamn {sgn}(t)\Phi )\;{\Big ]},$ där $\Phi ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}$

I sannolikhetsteorin sägs en fördelning vara stabil om en linjär kombination av två oberoende slumpvariabler med denna fördelning har samma fördelning, upp till plats- och skalparametrar . En slumpvariabel sägs vara stabil om dess fördelning är stabil. Den stabila distributionsfamiljen kallas också ibland för Lévy alpha-stable distribution , efter Paul Lévy , den första matematikern som har studerat den.

Av de fyra parametrarna som definierar familjen har den största uppmärksamheten fokuserats på stabilitetsparametern, $\alpha$ (se panel). Stabila distributioner har $0<\alpha \leq 2$ , med den övre gränsen som motsvarar normalfördelningen , och $\alpha =1$ till Cauchy-fördelningen . Fördelningarna har odefinierad varians för $\alpha <2$ , och odefinierat medelvärde för $\alpha \leq 1$ }. Vikten av stabila sannolikhetsfördelningar är att de är " attraherande " för korrekt normerade summor av oberoende och identiskt fördelade ( iid ) slumpvariabler. Normalfördelningen definierar en familj av stabila fördelningar. Med den klassiska centrala gränssatsen kommer den korrekt normerade summan av en uppsättning slumpvariabler, var och en med finit varians, att tendera mot en normalfördelning när antalet variabler ökar. Utan det finita variansantagandet kan gränsen vara en stabil fördelning som inte är normal. Mandelbrot hänvisade till sådana distributioner som "stabila paretianska distributioner", efter Vilfredo Pareto . I synnerhet hänvisade han till de maximalt sneda i positiv riktning med $1<\alpha <2$ som "Pareto–Lévy-fördelningar", som han ansåg som bättre beskrivningar av aktie- och råvarupriser än normalt distributioner.

Definition

En icke- degenererad fördelning är en stabil fördelning om den uppfyller följande egenskap:

Låt X ₁ och X ₂ vara oberoende realisationer av en slumpvariabel X . Då sägs X vara stabil om för några konstanter a > 0 och b > 0 den stokastiska variabeln aX ₁ + bX ₂ har samma fördelning som cX + d för vissa konstanter c > 0 och d . Fördelningen sägs vara strikt stabil om detta håller med d = 0 .

Eftersom normalfördelningen , Cauchy-fördelningen och Lévy-fördelningen alla har ovanstående egenskap, följer det att de är specialfall av stabila fördelningar.

Sådana distributioner bildar en fyraparameterfamilj av kontinuerliga sannolikhetsfördelningar parametriserade av plats- och skalparametrar μ respektive c , och två formparametrar $\beta$ och $\alpha$ , vilket ungefär motsvarar mått på asymmetri respektive koncentration (se figurerna).

Den karakteristiska funktionen $\varphi (t)$ för varje sannolikhetsfördelning är bara Fouriertransformen av dess sannolikhetstäthetsfunktion $f(x)$ . Densitetsfunktionen är därför den inversa Fouriertransformen av den karakteristiska funktionen:

$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.$$

Även om sannolikhetstäthetsfunktionen för en generell stabil fördelning inte kan skrivas analytiskt, kan den allmänna karakteristiska funktionen uttryckas analytiskt. En slumpvariabel X kallas stabil om dess karakteristiska funktion kan skrivas som

$$\varphi (t;\alpha ,\ beta ,c,\mu )=\exp \left(it\mu -|ct|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatörsnamn {sgn}(t)\Phi \right)\right)$$

där sgn( t ) bara är tecknet på t och

$$\Phi ={\begin{cases}\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2 }{\pi }}\log |t|&\alpha =1\end{cases}}$$

μ ∈ R är en skiftparameter, ${\displaystyle \beta \in [-1,1]} ,$ kallad skewness-parameter , är ett mått på asymmetri. Lägg märke till att i detta sammanhang är den vanliga skevheten inte väldefinierad, eftersom för $\alpha <2$ tillåter inte fördelningen andra eller högre moment , och den vanliga snedställningsdefinitionen är det tredje centrala momentet .

Anledningen till att detta ger en stabil fördelning är att den karakteristiska funktionen för summan av två oberoende stokastiska variabler är lika med produkten av de två motsvarande karakteristiska funktionerna. Att addera två slumpvariabler från en stabil fördelning ger något med samma värden på $\alpha$ och ${\displaystyle \beta } ,$ men möjligen olika värden på μ och c .

Inte varje funktion är den karakteristiska funktionen för en legitim sannolikhetsfördelning (det vill säga en vars kumulativa fördelningsfunktion är reell och går från 0 till 1 utan att minska), men de karakteristiska funktionerna som anges ovan kommer att vara legitima så länge som parametrarna finns i deras intervall. Värdet av den karakteristiska funktionen vid något värde t är det komplexa konjugatet av dess värde vid − t som det borde vara så att sannolikhetsfördelningsfunktionen blir reell.

I det enklaste fallet $\beta =0$ , är den karakteristiska funktionen bara en uttöjd exponentialfunktion ; fördelningen är symmetrisk omkring μ och omnämns som en (Lévy) symmetrisk alfastabil fördelning , ofta förkortad SαS .

När $\alpha <1$ och $\beta =1$ stöds fördelningen av [ μ , ∞).

Parametern c > 0 är en skalfaktor som är ett mått på fördelningens bredd medan $\alpha$ är exponenten eller indexet för fördelningen och specificerar fördelningens asymptotiska beteende.

Parametriseringar

Ovanstående definition är bara en av parametriseringarna som används för stabila distributioner; den är den vanligaste men är inte kontinuerlig i parametrarna vid $\alpha =1$ .

En kontinuerlig parametrisering är

$$\varphi (t;\alpha ,\ beta ,\gamma ,\delta )=\exp \left(it\delta -|\gamma t|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatörsnamn {sgn}(t)\Phi \right)\ höger)$$

var:

$$\Phi ={\begin{cases}\left(|\gamma t|^{1-\alpha }-1\right)\tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{ 2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |\gamma t|&\alpha =1\end{cases}}$$

Områdena för $\alpha$ och $\beta$ är desamma som tidigare, γ (som c ) ska vara positivt och δ (som μ ) ska vara reellt.

I båda parametriseringarna kan man göra en linjär transformation av den slumpmässiga variabeln för att få en slumpvariabel vars densitet är $f(y;\alpha ,\beta ,1,0)$ . I den första parametriseringen görs detta genom att definiera den nya variabeln:

$$y={\begin{cases}{\frac {x-\mu }{\gamma }}& \alpha \neq 1\\{\frac {x-\mu }{\gamma }}-\beta {\frac {2}{\pi }}\ln \gamma &\alpha =1\end{cases}}$$

För den andra parametriseringen använder vi helt enkelt

$$y={\frac {x-\delta }{\gamma }}$$

oavsett vad $\alpha$ är. I den första parametriseringen, om medelvärdet existerar (det vill säga $\alpha >1$ ) så är det lika med μ , medan det i den andra parametriseringen när medelvärdet existerar är det lika med $\delta -\beta \gamma \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right).$

Fördelningen

En stabil fördelning specificeras därför av ovanstående fyra parametrar. Det kan visas att varje icke-degenererad stabil fördelning har en jämn (oändligt differentierbar) densitetsfunktion. Om $f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )$ densiteten av X och Y är summan av oberoende kopior av X :

$$Y=\sum _{i=1}^{N}k_{i}(X_{i}-\mu )$$

då har Y densiteten ${\tfrac {1}{s}}f(y/s;\alpha ,\beta ,c,0)$ med

$$s=\left(\summa _{i=1}^{N}|k_{i}|^{\alpha }\right) ^{\frac {1}{\alpha }}$$

Det asymptotiska beteendet beskrivs, för $\alpha <2$ , av:

$$f(x)\sim {\frac {1}{|x| ^{1+\alpha }}}\left(c^{\alpha }(1+\operatörsnamn {sgn}(x)\beta )\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}} \right){\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\pi }}\right)$$

där Γ är Gamma-funktionen (förutom att när $\alpha \geq 1$ och $\beta =\pm 1$ försvinner inte svansen till vänster eller höger, resp. ., av μ , även om uttrycket ovan är 0). Detta " tunga svans "-beteende gör att variansen av stabila distributioner är oändlig för alla $\alpha <2$ . Den här egenskapen illustreras i stock-logg-diagrammen nedan.

När $\alpha =2$ är fördelningen Gaussisk (se nedan), med svansar asymptotiska till exp(− x ² /4 c ² )/(2 c √π).

Ensidig stabil fördelning och stabil räkningsfördelning

När $\alpha <1$ och $\beta =1$ , stöds fördelningen av [ μ , ∞). Denna familj kallas ensidig stabil fördelning . Dess standardfördelning (μ=0) definieras som

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=f{\left(x;\alpha ,1, \cos \left({\frac {\alpha \pi }{2}}\right)^{1/\alpha },0\right)}} , där$ α $\displaystyle \alpha <1}$ .

Låt $q=\exp(-i\alpha \pi /2)$ , dess karakteristiska funktion är $\varphi (t;\alpha )=\exp \left(-q|t|^{\alpha }\right)$ . Således är den integrerade formen av dess PDF (notera: $\operatorname {Im} (q)<0$ )

$${\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{-\infty }^{\infty }e^ {itx}e^{-q|t|^{\alpha }}\,dt\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e ^{-\operatörsnamn {Re} (q)\,t^{\alpha }}\sin(tx)\sin(-\operatörsnamn {Im} (q)\,t^{\alpha })\,dt, {\text{ eller }}\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t ^{\alpha }}\cos(tx)\cos(\operatörsnamn {Im} (q)\,t^{\alpha })\,dt.\end{aligned}}$$

Dubbelsinus-integralen är mer effektiv för mycket små $x$ .

Betrakta Lévy-summan ${\textstil Y=\summa _{i=1}^{N}X_{i}}$ där ${\textstyle X_{i }\sim L_{\alpha }(x)}$ , då har Y densiteten ${\textstyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }{\left({ \frac {x}{\nu }}\right)}}$ där ${\textstil \nu =N^{1/\alpha }}$ . Set ${\textstyle x=1}$ , vi kommer fram till den stabila räknefördelningen . Dess standardfördelning definieras som

${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu)={\frac {\alpha }{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }{\left({\frac {1}{\nu }} \right)}$ , där $\nu >0$ och $\alpha <1$ .

Den stabila räknefördelningen är konjugatet före den ensidiga stabila fördelningen. Dess familj i lägesskala definieras som

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _ {0},\theta )={\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}} }L_{\alpha }{\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right)}} , där ν > ν {\displaystyle \nu >$ \ $0 }}$ , $\theta >0$ och $\alpha <1$ .

Det är också en ensidig distribution som stöds av $[\nu _{0},\infty )$ . Platsparametern $\nu _{0}$ är cut-off-platsen, medan $\theta$ definierar dess skala.

När ${\textstil \alpha ={\frac {1}{2}}}, är$ L $textstyle L_{\frac {1}{2}}(x)}$ \ Lévy distribution som är en omvänd gammafördelning. Således ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )} en$ skiftad gammafördelning av form 3/2 och skala $4\theta$ ,

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1} {2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\ nu _{0})^{1/2}e^{-{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}}} , där ν > ν {\$ displaystyle $\ nu _{0}}$ , $\theta >0$ .

Dess medelvärde är $\nu _{0}+6\theta$ och dess standardavvikelse är ${\sqrt {24}}\theta$ . Det antas att VIX är fördelat som ${\textstyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0}, \theta )}$ med $\nu _{0}=10.4$ och $\theta =1.6$ (Se avsnitt 7 av ). Således är den stabila räkningsfördelningen första ordningens marginalfördelning av en volatilitetsprocess. I detta sammanhang ${\displaystyle \nu _{0}} för$ "golvvolatiliteten".

Ett annat tillvägagångssätt för att härleda den stabila räkningsfördelningen är att använda Laplace-transformen av den ensidiga stabila fördelningen, (avsnitt 2.4 i )

$\int _{0}^{\infty }e^{-zx}L_{\alpha }(x)dx=e^ {-z^{\alpha }}$ , där $\alpha <1$ .

Låt $x=1/\nu$ , så kan man dekomponera integralen på vänster sida som en produktfördelning av en standard Laplace-fördelning och en standard stabil räkningsfördelning,f

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-{\frac {|z| }{\nu }}}\right)\left({\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu }}L_ {\alpha }{\left({\frac {1}{\nu }}\right)}\right)d\nu ={\frac {1}{2}}{\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}e^{-|z|^{\alpha }}$ , där $\alpha <1$ .

Detta kallas "lambda-nedbrytningen" (se avsnitt 4 av ) eftersom den högra sidan namngavs som "symmetrisk lambdafördelning" i Lihns tidigare verk. Den har dock flera populärare namn som " exponentiell effektfördelning ", eller "generaliserat fel/normalfördelning", ofta hänvisat till när $\alpha >1$ .

Det n:te momentet för $) {\displaystyle -(n+1)}$$\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ är - th moment av $L_{\alpha }(x)$ , Alla positiva moment är ändliga. Detta löser på sätt och vis den besvärliga frågan om divergerande moment i den stabila fördelningen.

Egenskaper

• Alla stabila distributioner är oändligt delbara .
• Med undantag för normalfördelningen ( α $\displaystyle \alpha =2}$ ), är stabila distributioner leptokurtotiska och tunga svansfördelningar .
• Stängning under veck

Stabila distributioner stängs under faltning för ett fast värde på $\alpha$ . Eftersom faltning är ekvivalent med multiplikation av den Fourier-transformerade funktionen, följer det att produkten av två stabila karakteristiska funktioner med samma $\alpha$ kommer att ge en annan sådan karakteristisk funktion. Produkten av två stabila karakteristiska funktioner ges av:

$$\exp \left(it\mu _{1}+it\mu _{2}-|c_{1}t|^{\alpha }-|c_{2 }t|^{\alpha }+i\beta _{1}|c_{1}t|^{\alpha }\operatörsnamn {sgn}(t)\Phi +i\beta _{2}|c_{2 }t|^{\alpha }\operatörsnamn {sgn}(t)\Phi \right)$$

Eftersom Φ inte är en funktion av variablerna μ , c eller ${\displaystyle \beta },$ följer det att dessa parametrar för den konvolverade funktionen ges av:

$${\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\|c|&=\left(|c_{1}|^{\alpha }+| c_{2}|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1}|c_{1}| ^{\alpha }+\beta _{2}|c_{2}|^{\alpha }}{|c_{1}|^{\alpha }+|c_{2}|^{\alpha }}} \end{aligned}}$$

I varje fall kan det visas att de resulterande parametrarna ligger inom de erforderliga intervallen för en stabil fördelning.

En generaliserad central gränssats

En annan viktig egenskap hos stabila fördelningar är den roll de spelar i en generaliserad central gränssats . Den centrala gränssatsen säger att summan av ett antal oberoende och identiskt fördelade (iid) slumpvariabler med ändliga varianser som inte är noll kommer att tendera till en normalfördelning när antalet variabler växer.

En generalisering på grund av Gnedenko och Kolmogorov anger att summan av ett antal stokastiska variabler med symmetriska fördelningar som har kraftlagssvansar ( Paretian tails ), minskar med $|x|^{-\alpha -1}$ där $0<\alpha \leqslant 2$ (och därför har oändlig varians), tenderar till en stabil fördelning $f(x;\alpha ,0,c,0)$ när antalet summeringar växer. Om $\alpha >2$ så konvergerar summan till en stabil fördelning med stabilitetsparameter lika med 2, dvs en Gaussfördelning.

Det finns andra möjligheter också. Till exempel, om den karakteristiska funktionen för den slumpmässiga variabeln är asymptotisk till $1+a|t|^{\alpha }\ln |t|$ för litet t (positivt eller negativt), då kan vi fråga hur t varierar med n när värdet av den karakteristiska funktionen för summan av n sådana slumpvariabler är lika med ett givet värde u :

$$\varphi _{\text{summa}}=\varphi ^{n}=u$$

Om vi ​​för tillfället antar att t → 0, tar vi gränsen för ovanstående som n → ∞ :

$$\ln u=\lim _{n\to \infty }n\ln \varphi =\lim _{n\to \infty }na|t|^{\alpha }\ln |t|.$$

Därför:

$${\begin{aligned}\ln(\ln u)&=\ln \left(\lim _{n\to \infty }na|t|^{ \alpha }\ln |t|\right)\\[5pt]&=\lim _{n\to \infty }\ln \left(na|t|^{\alpha }\ln |t|\right) =\lim _{n\to \infty }\left[\ln(na)+\alpha \ln |t|+\ln(\ln |t|)\right]\end{aligned}}$$

Detta visar att $\ln |t|$ är asymptotisk till ${\tfrac {-1}{\alpha }}\ln n,$ så med den föregående ekvationen har vi

$$|t|\sim \left({\frac {-\alpha \ln u}{na\ln n}}\right)^{1/\alpha }.$$

Detta innebär att summan dividerat med

$$\left({\frac {na\ln n}{\alpha }}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$$

har en karakteristisk funktion vars värde vid något t′ går till u (när n ökar) när $t'=(-\ln u)^{{1}/{\alpha }}.$ Med andra ord konvergerar den karakteristiska funktionen punktvis till $\exp (-(t')^{\alpha })$ och därför med Lévys kontinuitetssats summan dividerad med

$$\left({\frac {na\ln n}{\alpha }}\right)^{\frac {1}{\alpha }}$$

konvergerar i distribution till den symmetriska alfastabila fördelningen med stabilitetsparameter $\alpha$ och skalparameter 1.

Detta kan tillämpas på en slumpvariabel vars svansar minskar som $|x|^{-3}$ . Denna slumpvariabel har ett medelvärde men variansen är oändlig. Låt oss ta följande fördelning:

$$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{3}}&|x|\leq 1\\{\frac {1}{3}}x^{-3 }&|x|>1\end{cases}}$$

Vi kan skriva detta som

$$f(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{w^{4}} }h\left({\frac {x}{w}}\right)dw$$

var

$$h\left({\frac {x}{w}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}&\left|{\frac {x} {w}}\right|<1,\\0&\left|{\frac {x}{w}}\right|>1.\end{cases}}$$

Vi vill hitta de ledande termerna för den asymptotiska expansionen av den karakteristiska funktionen. Den karakteristiska funktionen för sannolikhetsfördelningen ${\textstyle {\frac {1}{w}}h\left({\frac {x}{w}}\right)}$ är ${\textstyle {\tfrac {\sin(tw)}{tw}},}$ så den karakteristiska funktionen för f ( x ) är

$$\varphi (t)=\int _{1}^{\infty }{\frac {2\sin(tw) }{tw^{4}}}dw$$

och vi kan räkna ut:

$${\begin{aligned}\varphi (t)-1&=\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{w^{3 }}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|} }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw+\int _{\frac {1}{ |t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\ \&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{ tw}}-1+\left\{-{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}+{\frac {t^{2}w^{2}}{3! }}\right\}\right]\,dw+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{ \frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t ^{2}dw}{3w}}+\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw+\int _{\frac {1}{|t |}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]dw\\&=\ int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+\left\{\int _{0}^{\frac { 1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2 }w^{2}}{3!}}\right]dw-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin (tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw\right\}+\int _{\frac {1}{ |t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]dw\\& =\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+t^{2}\int _{0}^{ 1}{\frac {2}{y^{3}}}\left[{\frac {\sin(y)}{y}}-1+{\frac {y^{2}}{6}} \right]dy-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{ \frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw+t^{2}\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{y^{3 }}}\left[{\frac {\sin(y)}{y}}-1\right]dy\\&=-{\frac {t^{2}}{3}}\int _{1 }^{\frac {1}{|t|}}{\frac {dw}{w}}+t^{2}C_{1}-\int _{0}^{1}{\frac {2 }{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right ]dw+t^{2}C_{2}\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-\int _{ 0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w ^{2}}{6}}\right]dw\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-\int _ {0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {t^{4}w^{4}}{5!}}+\cdots \right] dw\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-{\mathcal {O}}\left(t^{4} \right)\end{aligned}}$$

där $C_{1},C_{2}$ och $C_{3}$ är konstanter. Därför,

$$\varphi (t)\sim 1+{\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|$$

och enligt vad som sägs ovan (och det faktum att variansen för f ( x ;2,0,1,0) är 2), summan av n instanser av denna stokastiska variabel, dividerat med ${\textstyle {\sqrt {n(\ln n)/12}},}$ kommer att konvergera i distribution till en Gauss-fördelning med varians 1. Men variansen vid ett visst n kommer fortfarande att vara oändlig. Observera att bredden på den begränsande fördelningen växer snabbare än i fallet där den slumpmässiga variabeln har en finit varians (i vilket fall bredden växer som kvadratroten ur n ). Genomsnittet , som erhålls genom att dividera summan med n , tenderar mot en Gaussian vars bredd närmar sig noll när n ökar, i enlighet med lagen om stora tal .

Speciella fall

Log-logg-plot av symmetrisk centrerad stabil distributions-PDF-filer som visar effektlagbeteendet för stora x . Potenslagsbeteendet bevisas av det rätlinjiga utseendet av PDF:en för stora x , med lutningen lika med $-(\alpha +1)$ . (Det enda undantaget är för ${\displaystyle \alpha =2} ,$ i svart, vilket är en normalfördelning.)

Log-logg-plot av skeva centrerade stabila distributions-PDF-filer som visar maktlagsbeteendet för stora x . Återigen är lutningen för de linjära delarna lika med $-(\alpha +1)$

Det finns ingen generell analytisk lösning för formen av f ( x ). Det finns dock tre specialfall som kan uttryckas i termer av elementära funktioner , vilket kan ses genom inspektion av den karakteristiska funktionen :

• För $\alpha =2$ reduceras fördelningen till en Gaussfördelning med varians σ ² = 2 c ² och medelvärde μ ; skewness-parametern $\beta$ har ingen effekt.
• För $\alpha =1$ och $\beta =0$ reduceras fördelningen till en Cauchy-fördelning med skalparameter c och skiftparameter μ .
• För $\alpha =1/2$ och $\beta =1$ fördelningen till en -fördelning med skalparameter c och skiftparameter μ .

Observera att de tre fördelningarna ovan också hänger ihop, på följande sätt: En standard Cauchy-slumpvariabel kan ses som en blandning av Gaussiska slumpvariabler (alla med medelvärde noll), där variansen hämtas från en standard Lévy-fördelning. Och i själva verket är detta ett specialfall av en mer allmän sats (se sid. 59 av ) som gör att varje symmetrisk alfastabil fördelning kan ses på detta sätt (med alfaparametern för blandningsfördelningen lika med två gånger alfaparametern av blandningsfördelningen – och betaparametern för blandningsfördelningen alltid lika med ett).

Ett allmänt slutet formuttryck för stabila PDF-filer med rationella värden på $\alpha$ är tillgängligt när det gäller Meijer G-funktioner . Fox H-funktioner kan också användas för att uttrycka de stabila sannolikhetstäthetsfunktionerna. För enkla rationella tal är det slutna formuttrycket ofta i termer av mindre komplicerade specialfunktioner . Flera slutna formuttryck med ganska enkla uttryck vad gäller speciella funktioner finns tillgängliga. I tabellen nedan indikeras PDF-filer som kan uttryckas med elementära funktioner med ett E och de som kan uttryckas med specialfunktioner indikeras med ett s .

		$\alpha$
		1/3	1/2	2/3	1	4/3	3/2	2
$\beta$	0	s	s	s	E	s	s	E
	1	s	E	s	L		s

Några av specialfallen är kända under speciella namn:

• För $\alpha =1$ och $\beta =1$ är fördelningen en Landau-fördelning ( L ) som har en specifik användning inom fysiken under detta namn.
• För $\alpha =3/2$ och $\displaystyle \beta =0}$ fördelningen till en Holtsmark-fördelning med skalparameter c och skiftparameter μ .

I gränsen när c närmar sig noll eller när α närmar sig noll kommer fördelningen att närma sig en Dirac deltafunktion δ ( x − μ ) .

Serierepresentation

Den stabila fördelningen kan räknas om som den verkliga delen av en enklare integral:

$$f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it (x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right].$$

uttrycker den andra exponentialen som en Taylor-serie har vi:

$$f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e ^{it(x-\mu )}\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\,dt\ höger]$$

där $q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )$ . Omvänd ordning för integration och summering och genomförande av integrationen ger:

$$f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {i}{x-\mu }} \right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]$$

som kommer att gälla för x ≠ μ och kommer att konvergera för lämpliga värden på parametrarna. (Observera att n = 0 som ger en deltafunktion i x − μ därför har tagits bort.) Att uttrycka den första exponentialen som en serie kommer att ge en annan serie i positiva potenser av x − μ som i allmänhet är mindre användbar.

För ensidig stabil distribution måste ovanstående serieexpansion modifieras, eftersom $q=\exp(-i\alpha \pi /2)$ och $qi^{\alpha }=1$ . Det finns ingen riktig del att summera. Istället bör integralen av den karakteristiska funktionen utföras på den negativa axeln, vilket ger:

$${\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {-i}{x}}\right)^{ \alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]\\&={\frac {1}{\pi }}\summa _{n=1}^{\infty }{\frac { -\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n +1)\end{aligned}}$$

Simulering av stabila variabler

Att simulera sekvenser av stabila slumpvariabler är inte okomplicerat, eftersom det inte finns några analytiska uttryck för inversen $F^{-1}(x)$ eller CDF $F( x)$ själv. Alla standardmetoder som avvisande eller inversionsmetoder skulle kräva tråkiga beräkningar. En mycket mer elegant och effektiv lösning föreslogs av Chambers, Mallows and Stuck (CMS), som märkte att en viss integrerad formel gav följande algoritm:

• generera en slumpvariabel $U$ jämnt fördelad på $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2} }\right)$ och en oberoende exponentiell slumpvariabel $W$ med medelvärde 1;
• för $\alpha \neq 1$ beräkna:
  $$X=\left(1+\zeta ^{2}\right)^{\frac {1}{2\alpha }}{\frac {\sin(\alpha (U+\xi ))}{( \cos(U))^{\frac {1}{\alpha }}}}\left({\frac {\cos(U-\alpha (U+\xi ))}{W}}\right)^{ \frac {1-\alpha }{\alpha }},$$
• för $\alpha =1$ beräkna:
  $$X={\frac {1}{\xi }} \left\{\left({\frac {\pi }{2}}+\beta U\right)\tan U-\beta \log \left({\frac {{\frac {\pi }{2} }W\cos U}{{\frac {\pi }{2}}+\beta U}}\right)\right\},$$
  var
  $$\zeta =-\beta \tan {\frac {\pi \alpha }{ 2}},\qquad \xi ={\begin{cases}{\frac {1}{\alpha }}\arctan(-\zeta )&\alpha \neq 1\\{\frac {\pi }{2 }}&\alpha =1\end{cases}}$$

Denna algoritm ger en slumpvariabel $X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)$ . För ett detaljerat bevis se.

Givet formlerna för simulering av en standard stabil slumpvariabel kan vi enkelt simulera en stabil slumpvariabel för alla tillåtna värden av parametrarna $\alpha$ , ${\displaystyle c} ,$ β $\displaystyle \beta }$ och $\mu$ med följande egenskap. Om $X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)$ så

$$Y={\begin{cases}cX+\mu &\alpha \neq 1\\cX+{\ frac {2}{\pi }}\beta c\log c+\mu &\alpha =1\end{cases}}$$

är $S_{\alpha }(\beta,c,\mu)$ . För $\alpha =2$ (och $\beta =0$ ) reduceras CMS-metoden till den välkända Box-Muller-transformen för att generera Gaussiska slumpvariabler. Många andra tillvägagångssätt har föreslagits i litteraturen, inklusive tillämpning av Bergström- och LePage-serieexpansionerna, se respektive. CMS-metoden anses dock vara den snabbaste och mest exakta.

Ansökningar

Stabila fördelningar har sin betydelse i både teori och praktik till generaliseringen av den centrala gränssatsen till slumpvariabler utan andra (och möjligen första) ordningens moment och den medföljande självlikheten hos den stabila familjen. Det var den skenbara avvikelsen från normaliteten tillsammans med kravet på en självliknande modell för finansiell data (dvs. formen på fördelningen för årliga tillgångsprisförändringar bör likna den för de ingående dagliga eller månatliga prisändringarna) som fick Benoît Mandelbrot att föreslå att bomullspriserna följer en alfastabil fördelning med $\alpha$ lika med 1,7. Lévy-fördelningar återfinns ofta i analys av kritiskt beteende och finansiella data.

De finns också i spektroskopi som ett allmänt uttryck för en kvasistatiskt tryckbreddad spektrallinje .

Lévy-fördelningen av väntetidshändelser för solfloss (tid mellan flarehändelser) demonstrerades för CGRO BATSE hårda röntgensolar i december 2001. Analys av Lévys statistiska signatur visade att två olika minnessignaturer var uppenbara; en relaterad till solcykeln och den andra vars ursprung verkar vara associerad med en lokaliserad eller en kombination av lokaliserade solaraktiva regioneffekter.

Andra analytiska fall

Ett antal fall av analytiskt uttryckbara stabila distributioner är kända. Låt den stabila fördelningen uttryckas med $f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )$ då vet vi:

• Cauchy -fördelningen ges av $f(x;1,0,1,0).$
• Lévy -fördelningen ges av $f(x;{\tfrac {1}{2}},1,1,0).$
• Normalfördelningen ges $f(x;2,0,1,0).$ ,
• Låt $S_{\mu ,\nu }(z)$ vara en Lommel-funktion , då:
  $$f\left(x ;{\tfrac {1}{3}},0,1,0\right)=\Re \left({\frac {2e^{-{\frac {i\pi }{4}}}}{3 {\sqrt {3}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}S_{0,{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2e^{\frac {i\pi }{4}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)\right)$$
• Låt $S(x)$ och $C(x)$ beteckna Fresnel-integralerna då:
  $$f\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi |x|^{3}} }}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1}{2}}-S\left({\tfrac {1} {\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1} {2}}-C\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]\right)$$
• Låt $K_{v}(x)$ vara den modifierade Bessel-funktionen av det andra slaget då:
  $$f\left(x;{\tfrac {1} {3}},1,1,0\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {2{\sqrt {2}}}{3^{\frac {7}{4} }}}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}K_{\frac {1}{3}}\left({\frac {4{\sqrt {2}}}{3 ^{\frac {9}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)$$
• Om ${}_{m}F_{n}$ anger de hypergeometriska funktionerna då:
  $${\begin{aligned}f\left(x ;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{4{\sqrt {2\pi }} }}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {7}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {11}{12}}\right)}{\Gamma \left({ \tfrac {6}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {8}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {7 }{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^ {4}}{4^{4}}}\right)-{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{4^{3}{\sqrt {2\ pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {13}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {17}{12}}\right)}{\Gamma \ vänster({\tfrac {18}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {15}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\ tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3 }x^{4}}{4^{4}}}\right)\\[6pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)&= {\frac {\Gamma \left({\tfrac {5}{3}}\right)}{\pi }}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {5}{12} },{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\höger)-{\frac {x^{2}}{3\pi }}{}_{3}F_{4} \left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{ \tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)+{ \frac {7x^{4}\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3 }\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\ tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)\end{aligned}}$$
  varvid den senare är Holtsmarksfördelningen .
• Låt $W_{k,\mu }(z)$ vara en Whittaker-funktion , då:
  $${\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0 ,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x ^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{- 2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\ sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{{\frac {1}{2}},{ \frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{ 2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({ \frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2 }{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \ vänster({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\ frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}$$

Se även

• Lévy flyg
• Lévy-processen
• Andra "maktlag"-fördelningar
  • Pareto distribution
  • Zeta distribution
  • Zipf distribution
  • Zipf–Mandelbrot distribution
• Finansiella modeller med långsvansade distributioner och volatilitetsklustring
• Multivariat stabil fördelning
• Diskret-stabil distribution

Anteckningar

• STABLE-programmet för Windows är tillgängligt från John Nolans stabila webbsida: http://www.robustanalysis.com/public/stable.html . Den beräknar densiteten (pdf), den kumulativa fördelningsfunktionen (cdf) och kvantiler för en generell stabil fördelning, och utför maximal sannolikhetsuppskattning av stabila parametrar och några utforskande dataanalystekniker för att bedöma passformen för en datamängd.
• libstable är en C -implementation för stabil distribution pdf, cdf, slumptal, kvantil och passningsfunktioner (tillsammans med ett benchmark-replikeringspaket och ett R-paket).
• R -paketet 'stabledist' av Diethelm Wuertz, Martin Maechler och Rmetrics kärnteam. Beräknar stabil densitet, sannolikhet, kvantiler och slumptal. Uppdaterad 12 september 2016.
• Python- implementeringen finns i scipy.stats.levy_stable i SciPy -paketet.