Lomax distribution

Lomax

Sannolikhetstäthetsfunktion
Kumulativ fördelningsfunktion
Parametrar	$\alpha >0$ form (verklig) $\lambda >0$ skala (verklig)
Stöd	$x\geq 0$
PDF	${\alpha \over \lambda }\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-(\alpha +1 )}$
CDF	$1-\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-\alpha }$
Kvantil	$\lambda \left[\left(1-p\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}-1\right]$
Betyda	${\lambda \over {\alpha -1}}{\text{ för }}\alpha >1$ ; odefinierat annars
Median	$\lambda \left({\sqrt[{\alpha }]{2}}-1\right)$
Läge	0
Variation	${\begin{cases}{{\lambda ^{2}\alpha } \over {( \alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&\alpha >2\\\infty &1<\alpha \leq 2\\{\text{Odefinierad}}&{\text{annars}} \end{cases}}$
Skevhet	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ för }}\alpha >3\,$
Ex. kurtosis	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2} -6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ för }}\alpha >4\,$

Lomax- fördelningen , villkorligt även kallad Pareto Type II-fördelning , är en sannolikhetsfördelning med tung svans som används inom företag, ekonomi, försäkringsteknisk vetenskap, köteori och internettrafikmodellering. Den är uppkallad efter K. S. Lomax. Det är i huvudsak en Pareto-distribution som har flyttats så att dess stöd börjar på noll.

Karakterisering

Sannolikhetstäthetsfunktion

Sannolikhetstäthetsfunktionen (pdf) för Lomax-fördelningen ges av

$p(x)={\alpha \over \lambda }\left[{1+{x \over \ lambda }}\right]^{-(\alpha +1)},\qquad x\geq 0,$

med formparameter $\alpha >0$ och skalparameter $\lambda >0$ . Densiteten kan skrivas om på ett sådant sätt att det tydligare visar relationen till Pareto Type I-fördelningen . Det är:

$p(x)={{\alpha \lambda ^{\alpha }} \över {(x+\lambda )^{\alpha +1 }}}$ .

Icke-centrala ögonblick

ν ${\displaystyle \nu }:$ e icke-centrala momentet ${\displaystyle E\left[X^{\nu }\right]} existerar endast$ formparametern $\alpha$ strikt överskrider $\nu$ , när momentet har värdet

$E\left(X^{\nu}\right)={\frac {\lambda ^{\ nu }\Gamma (\alpha -\nu )\Gamma (1+\nu)}{\Gamma (\alpha )}}$

Relaterade distributioner

Relation till Pareto-distributionen

Lomax-fördelningen är en Pareto-typ I-fördelning skiftad så att dess stöd börjar på noll. Specifikt:

${\text{If }}Y\sim {\mbox{Pareto}}(x_{m}=\lambda ,\alpha ),{\text{ sedan }}Y-x_{m}\sim {\ mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ).$

Lomax-fördelningen är en Pareto Typ II-fördelning med x _m =λ och μ=0:

${\text{Om }}X\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ){\text{ sedan }}X\sim {\text{P(II)}}\left( x_{m}=\lambda ,\alpha ,\mu =0\right).$

Relation till den generaliserade Pareto-fördelningen

Lomax-fördelningen är ett specialfall av den generaliserade Pareto-fördelningen . Specifikt:

$\mu =0,~\xi ={1 \over \alpha },~\sigma ={\lambda \over \alpha }.$

Relation till beta-primfördelningen

Lomax-fördelningen med skalparameter λ = 1 är ett specialfall av beta-primfördelningen . Om X har en Lomax-fördelning, då ${\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )$ .

Relation till F-fördelningen

Lomax-fördelningen med formparameter α = 1 och skalparameter λ = 1 har densitet $f(x)={\frac {1}{(1+x)^ {2}}}$ , samma fördelning som en F (2,2)-fördelning . Detta är fördelningen av förhållandet mellan två oberoende och identiskt fördelade slumpvariabler med exponentialfördelningar .

Relation till q-exponentialfördelningen

Lomax-fördelningen är ett specialfall av q-exponentialfördelningen . q-exponentialen utökar denna fördelning till stöd för ett begränsat intervall. Lomax-parametrarna ges av:

$\alpha ={{2-q} \över {q-1}},~\lambda ={1 \over \lambda _{q}(q-1)}.$

Relation till (logg-) logistisk distribution

Logaritmen för en Lomax(form = 1,0, skala = λ)-fördelad variabel följer en logistisk fördelning med platslogg(λ) och skala 1,0. Detta innebär att en Lomax(form = 1,0, skala = λ)-fördelning är lika med en logistisk fördelning med formen β = 1,0 och skalan α = log(λ).

Gamma-exponentiell (skal-) blandningsanslutning

Lomax-fördelningen uppstår som en blandning av exponentialfördelningar där blandningsfördelningen av hastigheten är en gammafördelning . Om λ|k,θ ~ Gamma(form = k, skala = θ) och X |λ ~ Exponential(hastighet = λ) så är marginalfördelningen av X |k,θ Lomax(form = k, skala = 1/θ ). Eftersom hastighetsparametern på motsvarande sätt kan omparameteriseras till en skalparameter , utgör Lomax-fördelningen en skalblandning av exponentialer (med den exponentiella skalparametern efter en omvänd gammafördelning ).

Se även

• maktlagen
• sammansatt sannolikhetsfördelning
• hyperexponentialfördelning (ändlig blandning av exponentialer)
• normal-exponentiell-gammafördelning (en normal skalablandning med Lomax-blandningsfördelning)