Blandad Poisson-fördelning

blandad Poisson-fördelning

Notation	$\operatorname {Pois} (\lambda )\,{\underset {\lambda }{\wedge }}\,\pi (\lambda )$
Parametrar	$\lambda \in (0,\infty )$
Stöd	$k\in \mathbb {N} _{0}$
PMF	$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\, \,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda$
Betyda	$\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda$
Variation	$\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda +(\lambda -\mu _{\pi } )^{2})\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda$
Skevhet	${\Bigl (}\mu _{\pi}+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\ pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}$
MGF	$M_{\pi }(e^{t}-1)$ , med $M_{\pi }$ MGF för π
CF	$M_{\pi }(e^{it}-1)$
PGF	$M_{\pi }(z-1)$

En blandad Poisson-fördelning är en univariat diskret sannolikhetsfördelning i stokastik. Det härrör från att anta att den villkorliga fördelningen av en slumpvariabel, givet värdet på hastighetsparametern, är en Poisson-fördelning och att själva hastighetsparametern betraktas som en slumpvariabel. Därför är det ett specialfall av en sammansatt sannolikhetsfördelning . Blandade Poisson-fördelningar kan hittas i försäkringsmatematiken som ett generellt tillvägagångssätt för fördelningen av antalet skadefall och granskas även som en epidemiologisk modell . Det ska inte förväxlas med sammansatt Poisson-distribution eller sammansatt Poisson-process .

Definition

En stokastisk variabel X uppfyller den blandade Poisson-fördelningen med densiteten π ( λ ) om den har sannolikhetsfördelningen

$\operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\, \,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$

Om vi ​​betecknar sannolikheterna för Poissonfördelningen med q _λ ( k ), då

$\operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$

Egenskaper

• Variansen är alltid större än det förväntade värdet . Denna egenskap kallas överdispersion . Detta i motsats till Poisson-fördelningen där medelvärde och varians är samma.
• används nästan bara densiteter av gammafördelningar , logaritmiska normalfördelningar och inversa Gaussfördelningar som densiteter π ( λ ). Om vi ​​väljer densiteten för gammafördelningen får vi den negativa binomialfördelningen , vilket förklarar varför detta också kallas Poisson-gammafördelningen.

Låt i det följande $\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\ lambda )\,d\lambda \,$ vara det förväntade värdet av densiteten $\pi (\lambda )\,$ och $\sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\ ,\pi (\lambda )\,d\lambda \,$ vara variansen för densiteten.

Förväntat värde

Det förväntade värdet av den blandade Poisson-fördelningen är

$\operatörsnamn {E} (X)=\mu _{\pi }.$

Variation

För den varians man får

$\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.$

Skevhet

Skevheten kan representeras som

$\operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi}+\sigma _{\pi}^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\, {\Biggl [}\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.$

Karakteristisk funktion

Den karakteristiska funktionen har formen

$\varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{är}-1).\,$

Där $M_{\pi }$ är den momentgenererande funktionen för densiteten.

Sannolikhetsgenererande funktion

För den sannolikhetsgenererande funktionen får man

$m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1).\,$

Momentgenererande funktion

Den momentgenererande funktionen för den blandade Poisson-fördelningen är

$M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1).\,$

Exempel

Sats — Sammansättning av en Poisson-fördelning med hastighetsparameter fördelad enligt en gammafördelning ger en negativ binomialfördelning . Bevis Låt ${\displaystyle \pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{ 1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }} vara en$ densitet av en $\operatorname {\Gamma } \left(r,{\frac {p}{1-p}}\right)$ distribuerad slumpvariabel. ${\begin{aligned}\operatörsnamn {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r -1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^ {-r}}{\Gamma (r)k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda {\frac {1}{1 -p}}}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}(1 -p)^{k+r}\underbrace {\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda }\,\mathrm {d} \lambda } _{=\Gamma (r+k)}\\&={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k}p^{r }\end{aligned}}$ Därför får vi $X\sim \operatörsnamn {NegB} (r,p).$

Sats — Sammansättning av en Poisson-fördelning med hastighetsparameter fördelad enligt en exponentiell fördelning ger en geometrisk fördelning . Bevis Låt $\pi (\lambda )={\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}$ vara en densitet av en $\mathrm {Exp} \left({\frac {1}{\beta }}\right)$ distribuerad slumpvariabel. Att använda integration med delar n gånger ger: $${\begin{aligned}\operatörsnamn {P} (X =k)&={\frac {1}{k!}}\int \limits _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {1}{\ beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\int \limits _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,\mathrm {d} \ lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\cdot k!\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,\mathrm {d} \lambda \\&=\ left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)\end{aligned}}$$ Därför får vi $X\sim \operatörsnamn {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)} .$

Tabell över blandade Poisson-fördelningar

blandningsfördelning	blandad Poisson-fördelning
gamma	negativ binomial
exponentiell	geometrisk
omvänd gaussisk	Sichel
Poisson	Neyman
generaliserad invers Gaussisk	Poisson-generaliserad invers Gaussisk
generaliserat gamma	Poisson-generaliserad gamma
generaliserad Pareto	Poisson-generaliserade Pareto
omvänd gamma	Poisson-invers gamma
log-normal	Poisson-log-normal
Lomax	Poisson–Lomax
Pareto	Poisson–Pareto
Pearsons familj av distributioner	Familjen Poisson–Pearson
trunkerad normal	Poisson-stympad normal
enhetlig	Poisson-uniform
skiftad gamma	Delaporte
beta med specifika parametervärden	Jul

Litteratur

• Jan Grandell: Blandade Poisson-processer. Chapman & Hall, London 1997, ISBN 0-412-78700-8.
• Tom Britton: Stokastiska epidemimodeller med slutledning. Springer, 2019, doi : 10.1007/978-3-030-30900-8