Diskret fördelning av fastyp

Den diskreta fastypsfördelningen är en sannolikhetsfördelning som är ett resultat av ett system av en eller flera inbördes relaterade geometriska fördelningar som förekommer i sekvens eller faser. Sekvensen i vilken var och en av faserna inträffar kan i sig vara en stokastisk process . Fördelningen kan representeras av en slumpmässig variabel som beskriver tiden fram till absorption av en absorberande Markov-kedja med ett absorberande tillstånd. Var och en av tillstånden i Markovkedjan representerar en av faserna.

Den har kontinuerlig tidsekvivalent i fastypsfördelningen .

Definition

En avslutande Markov-kedja är en Markov-kedja där alla tillstånd är transienta, utom ett som är absorberande. Genom att omordna tillstånden övergångssannolikhetsmatrisen för en avslutande Markov-kedja med $m$ transienta tillstånd

{P}=\left[{\begin{matrix}{T}&\mathbf {T} ^{0}\\\mathbf {0} ^{\mathsf { T}}&1\end{matrix}}\right],

där ${T}$ är en $m\times m$ -matris, $\mathbf {T} ^{0}$ och $\mathbf {0}$ är kolumner vektorer med $m$ -poster och $\mathbf {T} ^{0}+{T}\mathbf {1} =\mathbf {1}$ . Övergångsmatrisen kännetecknas helt av dess övre vänstra block ${T}$ .

Definition. En fördelning på $\{0,1,2,...\}$ är en diskret fastypsfördelning om det är fördelningen av den första passagetiden till det absorberande tillståndet för en avslutande Markov-kedja med ändligt många tillstånd.

Karakterisering

Fixa en avslutande Markov-kedja. Beteckna ${T}$ det övre vänstra blocket av dess övergångsmatris och $\tau$ den initiala fördelningen. Fördelningen av den första tiden till det absorberande tillståndet betecknas $\mathrm {PH} _{d}({\boldsymbol {\tau }},{T})$ eller $\mathrm {DPH} ({\boldsymbol {\tau }},{T})$ .

Dess kumulativa distributionsfunktion är

F(k)=1-{\boldsymbol {\tau }}{T}^{k}\mathbf {1} ,

för $k=1,2,...$ , och dess densitetsfunktion är

f(k)={\boldsymbol {\tau }}{T}^{k-1}\mathbf {T^{0}} ,

för $k=1,2,...$ . Det antas att sannolikheten för att processen startar i det absorberande tillståndet är noll. De faktoriella momenten för fördelningsfunktionen ges av,

E[K(K-1)...(K-n+1)]=n!{\boldsymbol {\tau }}(I- {T})^{-n}{T}^{n-1}\mathbf {1} ,

där $I$ är den lämpliga dimensionens identitetsmatris .

Speciella fall

Precis som den kontinuerliga tidsfördelningen är en generalisering av den exponentiella fördelningen, är den diskreta tidsfördelningen en generalisering av den geometriska fördelningen, till exempel:

Degenererad fördelning , punktmassa vid noll eller den tomma fasfördelningen – 0 faser.
Geometrisk fördelning – 1 fas.
Negativ binomialfördelning – 2 eller fler identiska faser i följd.
Blandad geometrisk fördelning – 2 eller flera icke-identiska faser, som var och en har en sannolikhet att inträffa på ett ömsesidigt uteslutande, eller parallellt, sätt. Detta är den diskreta analogen till den hyperexponentiella fördelningen , men den kallas inte den hypergeometriska fördelningen , eftersom det namnet används för en helt annan typ av diskret fördelning.

Se även

MF Neuts. Matrisgeometriska lösningar i stokastiska modeller: en algoritmisk metod, Kapitel 2: Sannolikhetsfördelningar av fastyp; Dover Publications Inc., 1981.
G. Latouche, V. Ramaswami. Introduktion till matrisanalytiska metoder i stokastisk modellering, 1:a upplagan. Kapitel 2: PH-distributioner; ASA SIAM, 1999.