Bates distribution

Bates

Sannolikhetstäthetsfunktion
Kumulativ fördelningsfunktion
Parametrar	$-\infty <a<b<\infty$$n\geq 1$ heltal
Stöd	$x\in [a,b]$
PDF	se nedan
Betyda	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Variation	${\tfrac {1}{12n}}(ba)^{2}$
Skevhet	0
Ex. kurtosis	$-{\tfrac {6}{5n}}$
CF	$\left(-{\frac {in(e^{\tfrac {ibt}{n}} -e^{\tfrac {iat}{n}})}{(ba)t}}\right)^{n}$

Inom sannolikhets- och affärsstatistik är Bates -fördelningen , uppkallad efter Grace Bates , en sannolikhetsfördelning av medelvärdet av ett antal statistiskt oberoende enhetligt fördelade slumpvariabler på enhetsintervallet . Denna fördelning är relaterad till den enhetliga , den triangulära och den normala gaussiska fördelningen , och har tillämpningar inom broadcast-teknik för signalförbättring. Bates-fördelningen förväxlas ibland med Irwin-Hall-fördelningen , som är fördelningen av summan (inte medelvärdet ) av n oberoende slumpvariabler jämnt fördelade från 0 till 1. De två fördelningarna är alltså helt enkelt versioner av varandra eftersom de skiljer sig bara i skala.

Definition

Bates-fördelningen är den kontinuerliga sannolikhetsfördelningen av medelvärdet , X Uk _, av n oberoende , enhetligt fördelade , slumpvariabler på enhetsintervallet , :

$X={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}.$

Ekvationen som definierar sannolikhetstäthetsfunktionen för en Bates-fördelningsslumpvariabel X är

$f_{X}(x;n)={\frac {n}{ 2(n-1)!}}\summa _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(nx-k)^{n-1}\operatörsnamn {sgn }(nx-k)$

för x i intervallet (0,1) och noll på andra ställen. Här betecknar sgn( nx − k ) teckenfunktionen :

$\operatorname {sgn}(nx-k)={\begin{cases}-1&nx<k\\0&nx=k\\1&nx>k.\end{cases}}$

allmänt , medelvärdet av n oberoende enhetligt fördelade stokastiska variabler på intervallet [ a , b ]

$X_{(a,b)}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}(a,b).$

skulle ha sannolikhetstäthetsfunktionen (PDF) av

$g(x;n,a,b)={\frac {1}{ba}}f_{X}\left({\frac {xa}{ba}};n\right){\text{ för }}a\leq x\leq b$

Tillägg och applikationer

Med några få modifieringar omfattar Bates-fördelningen den enhetliga , den triangulära och, med gränsen när n går till oändligheten, även den normala Gauss-fördelningen .

Genom att ersätta termen ${\frac {1}{n}}$ vid beräkning av medelvärdet, X , med ${\frac {1}{\sqrt {n}}}$ skapas en liknande fördelning med en konstant varians, såsom enhet. Sedan, genom att subtrahera medelvärdet, kommer det resulterande medelvärdet av fördelningen att sättas till noll. Således skulle parametern n bli en rent formjusterande parameter . Genom att även tillåta n att vara ett icke-heltal kan en mycket flexibel fördelning skapas, till exempel ger U (0,1) + 0,5 U (0,1) en trapetsformad fördelning .

Student -t-fördelningen ger en naturlig förlängning av den normala Gauss-fördelningen för modellering av long tail -data. En Bates-fördelning som har generaliserats som tidigare nämnt fyller samma syfte för kort svansdata .

Bates-distributionen har en tillämpning på strålformning och mönstersyntes inom området elektroteknik. Fördelningen visade sig öka strålbredden för huvudloben , vilket representerar en ökning av signalen för strålningsmönstret i en enda riktning, samtidigt som de, vanligtvis oönskade, sidolobsnivåerna minskade .

Se även

• Irwin–Hall distribution
• Normal distribution
• Centrala gränsvärdessatsen
• Enhetlig fördelning (kontinuerlig)
• Triangulär fördelning

Vidare läsning

• Bates,GE (1955) "Gemensamma distributioner av tidsintervall för förekomsten av successiva olyckor i ett generaliserat Polya urn-schema", Annals of Mathematical Statistics, 26, 705–720