Fördelning av sammansatt Poisson

I sannolikhetsteorin är en sammansatt Poisson-fördelning sannolikhetsfördelningen av summan av ett antal oberoende identiskt fördelade slumpvariabler, där antalet termer som ska läggas till i sig är en Poisson-fördelad variabel. Resultatet kan vara antingen en kontinuerlig eller en diskret fördelning .

Definition

Anta att

N\sim \operatörsnamn {Poisson} (\lambda ),

dvs N är en slumpvariabel vars fördelning är en Poisson-fördelning med förväntat värde λ, och det

X_{1},X_{2},X_{3},\dots

är identiskt fördelade slumpvariabler som är ömsesidigt oberoende och även oberoende av N . Sedan sannolikhetsfördelningen av summan av $N$ iid slumpvariabler

Y=\summa _{n=1}^{N}X_{n}

är en sammansatt Poisson-fördelning.

I fallet N = 0 är detta summan av 0 termer, så värdet av Y är 0. Därav den villkorliga fördelningen av Y givet att N = 0 är en degenererad fördelning.

Den sammansatta Poisson-fördelningen erhålls genom att marginalisera den gemensamma fördelningen av ( Y , N ) över N , och denna gemensamma fördelning kan erhållas genom att kombinera den villkorliga fördelningen Y | N med marginalfördelningen av N .

Egenskaper

Förväntningsvärdet och variansen för den sammansatta fördelningen kan på ett enkelt sätt härledas från lagen om total förväntan och lagen om total varians . Således

\operatörsnamn {E} (Y )=\operatörsnamn {E} \left[\operatörsnamn {E} (Y\mid N)\right]=\operatörsnamn {E} \left[N\operatörsnamn {E} (X)\right]=\operatörsnamn {E } (N)\operatörsnamn {E} (X),

{\begin{aligned}\operatörsnamn {Var} (Y)&=\operatörsnamn {E} \left[\operatörsnamn {Var} (Y\mid N)\right]+\operatörsnamn {Var} \left[ \operatörsnamn {E} (Y\mid N)\right]=\operatörsnamn {E} \left[N\operatörsnamn {Var} (X)\right]+\operatörsnamn {Var} \left[N\operatörsnamn {E} (X)\höger],\\[6pt]&=\operatörsnamn {E} (N)\operatörsnamn {Var} (X)+\left(\operatörsnamn {E} (X)\höger)^{2}\ operatornamn {Var} (N).\end{aligned}}

Sedan, eftersom E( N ) = Var( N ) om N är Poisson-fördelad, kan dessa formler reduceras till

\operatörsnamn {E} (Y)=\operatörsnamn {E} (N)\operatörsnamn {E} (X),

\operatörsnamn {Var} (Y)=\operatörsnamn {E} (N)(\operatörsnamn {Var} (X)+(\operatörsnamn {E} (X))^{2})=\operatörsnamn {E } (N){\operatörsnamn {E} (X^{2})}.

Sannolikhetsfördelningen av Y kan bestämmas i termer av karakteristiska funktioner :

\ varphi _{Y}(t)=\operatörsnamn {E} (e^{itY})=\operatörsnamn {E} \left(\left(\operatörsnamn {E} (e^{itX}\mid N)\right )^{N}\right)=\operatörsnamn {E} \left((\varphi _{X}(t))^{N}\right),\,

och därför har vi, med hjälp av den sannolikhetsgenererande funktionen för Poisson-fördelningen

\varphi _{Y}(t)={\textrm {e}}^{\lambda (\varphi _{X}(t)-1)}.\,

Ett alternativt tillvägagångssätt är via kumulantgenererande funktioner :

K_{Y}(t)=\ln \operatörsnamn {E} [e^{tY}]=\ln \operatörsnamn {E} [\operatörsnamn {E} [e^{tY}\mid N]] =\ln \operatörsnamn {E} [e^{NK_{X}(t)}]=K_{N}(K_{X}(t)).\,

Via lagen om total kumulans kan det visas att om medelvärdet av Poissonfördelningen λ = 1, är kumulanterna för Y desamma som momenten för X ₁ . ^{[ citat behövs ]}

Det kan visas att varje oändligt delbar sannolikhetsfördelning är en gräns för sammansatta Poisson-fördelningar. Och sammansatta Poisson-fördelningar är oändligt delbara enligt definitionen.

Diskret sammansatt Poisson-fördelning

När $X_{1},X_{2},X_{3},\dots$ är icke-negativa heltalsvärde iid slumpvariabler med ${\displaystyle P(X_{1}=k)=\alpha _{k},\ (k=1,2,\ldots )} ,$ sedan denna förening Poisson distributionen heter diskret sammansatt Poisson-distribution (eller stamning-Poisson-distribution) . Vi säger att den diskreta slumpvariabeln $Y$ uppfyller sannolikhetsgenererande funktionskarakterisering

P_{ Y}(z)=\summa \limits _{i=0}^{\infty }P(Y=i)z^{i}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{ \infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)

har en diskret sammansatt Poisson(DCP)-fördelning med parametrar $(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots ) \in \mathbb {R} ^{\infty }$ (där ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}=1}$ , med ${\textstil \alpha _{i}\geq 0,\lambda >0}$ ), vilket betecknas med

X\sim {\text{DCP}}(\lambda {\alpha _{1}},\lambda {\alpha _{2}}, \ldots )

Dessutom, om $X\sim {\operatörsnamn {DCP} }(\lambda {\alpha _{1}},\ldots ,\lambda {\alpha _{r}})$ , säger vi att $X$ har en diskret sammansatt Poisson-fördelning av ordningen $r$ . När $r=1,2$ blir DCP Poisson-distribution respektive Hermite-distribution . När $r=3,4$ blir DCP trippel stamning-Poisson-distribution respektive fyrfaldig stamning-Poisson-distribution. Andra specialfall inkluderar: geometrisk förskjutning , negativ binomialfördelning , geometrisk poissonfördelning , Neyman-fördelning av typ A, distribution av Luria–Delbrück i experimentet Luria–Delbrück . För mer speciella fall av DCP, se recensionsdokumentet och referenserna däri.

Fellers karakterisering av den sammansatta Poisson-fördelningen säger att ett icke-negativt heltal värderat rv $X$ är oändligt delbart om och endast om dess fördelning är en diskret sammansatt Poisson-fördelning. Det kan visas att den negativa binomialfördelningen är diskret oändligt delbar , dvs om X har en negativ binomialfördelning, så finns det för varje positivt heltal n diskreta iid slumpvariabler X ₁ , ..., X _n vars summa har samma fördelning som X har. Den geometriska förskjutningsfördelningen är diskret sammansatt Poisson-fördelning eftersom det är ett trivialt fall av negativ binomialfördelning .

Denna distribution kan modellera batch-ankomster (som i en bulkkö ). Den diskreta sammansättningen Poisson-fördelningen används också i stor utsträckning inom försäkringsteknisk vetenskap för att modellera fördelningen av det totala skadebeloppet.

När några $\alpha _{k}$ är negativa är det den diskreta pseudosammansatta Poisson-fördelningen. Vi definierar att varje diskret slumpvariabel $Y$ som uppfyller sannolikhetsgenererande funktionskarakterisering

G_{ Y}(z)=\summa \limits _{n=0}^{\infty }P(Y=n)z^{n}=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{ \infty }\alpha _{k}\lambda (z^{k}-1)\right),\quad (|z|\leq 1)

har en diskret pseudosammansatt Poisson-fördelning med parametrar $(\lambda _{1},\lambda _{2 },\ldots )=:(\alpha _{1}\lambda ,\alpha _{2}\lambda ,\ldots )\in \mathbb {R} ^{\infty }$ där ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\alpha _{k}}=1}$ och ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\left|{\alpha _{k}}\right|}<\infty } , med α$ k $displaystyle {\alpha _{k}}\in \mathbb {R} ,\lambda >0}$ .

Sammansatt Poisson Gamma-fördelning

Om X har en gammafördelning , av vilken exponentialfördelningen är ett specialfall, då den villkorliga fördelningen av Y | N är återigen en gammafördelning. Marginalfördelningen av Y kan visas vara en Tweedie-fördelning med varianskraft 1<p<2 (bevis via jämförelse av karakteristisk funktion (sannolikhetsteori) ) . För att vara mer tydlig, om

N\sim \operatörsnamn {Poisson} (\lambda ),

och

X_{i}\sim \operatörsnamn {\Gamma } (\alpha ,\beta )

iid, sedan fördelningen av

Y=\summa _{i=1}^{N}X_{i}

är en reproduktiv exponentiell dispersionsmodell $ED(\mu ,\sigma ^{2})$ med

{\begin{aligned}\operatörsnamn {E} [Y]&=\lambda {\frac {\alpha }{\beta }}=:\mu ,\\[4pt]\operatörsnamn {Var} [Y ]&=\lambda {\frac {\alpha (1+\alpha )}{\beta ^{2}}}=:\sigma ^{2}\mu ^{p}.\end{aligned}}

Mappningen av parametrarna Tweedie parameter $\mu ,\sigma ^{2},p$ till Poisson- och Gamma-parametrarna $\lambda ,\alpha ,\beta$ är följande:

{\begin{aligned}\lambda &={\frac {\mu ^{2-p}}{(2-p)\sigma ^{2}}},\\[4pt]\alpha &= {\frac {2-p}{p-1}},\\[4pt]\beta &={\frac {\mu ^{1-p}}{(p-1)\sigma ^{2}} }.\end{aligned}}

Sammansatta Poisson-processer

En sammansatt Poisson-process med hastighet $\lambda >0$ och hoppstorleksfördelning G är en kontinuerlig stokastisk process $\{\,Y(t):t \geq 0\,\}$ ges av

Y(t)=\summa _{i=1}^{N(t)}D_{i},

där summan enligt konventionen är lika med noll så länge som N ( t )=0. Här är $\{\,N(t):t\geq 0\,\}$ en Poisson-process med hastigheten $\lambda$ och $\{\,D_{i}:i\geq 1\,\}$ är oberoende och identiskt fördelade slumpvariabler, med fördelningsfunktionen G , som också är oberoende av $\{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,$

För den diskreta versionen av sammansatt Poisson-process kan den användas i överlevnadsanalys för skörhetsmodellerna.

Ansökningar

En sammansatt Poisson-fördelning, där summan har en exponentiell fördelning , användes av Revfeim för att modellera fördelningen av det totala nederbörden under en dag, där varje dag innehåller ett Poisson-fördelat antal händelser som var och en ger en mängd nederbörd som har en exponentiell fördelning. Thompson tillämpade samma modell på månatliga totala nederbörd.

Det har gjorts ansökningar om försäkringskrav och röntgendatortomografi .

Se även