Kent distribution

Tre poänguppsättningar provade från Kent-fördelningen. De genomsnittliga riktningarna visas med pilar. κ

\kappa \,

högst för den röda uppsättningen.

I riktningsstatistik är Kent -fördelningen , även känd som 5-parameters Fisher–Bingham-fördelningen (uppkallad efter John T. Kent, Ronald Fisher och Christopher Bingham ), en sannolikhetsfördelning på enhetssfären ( 2- sfär S ² i 3-mellanslag R3 ⁾ . Det är analogen på S ² av den bivariata normalfördelningen med en obegränsad kovariansmatris . Kent-fördelningen föreslogs av John T. Kent 1982 och används inom geologi såväl som bioinformatik .

Definition

Sannolikhetstäthetsfunktionen $f(\mathbf {x} )\,$ för Kent-fördelningen ges av :

f(\mathbf {x} )={\frac {1}{{\textrm {c}}(\kappa ,\beta )}}\exp\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{T} \cdot \mathbf {x} +\beta [({\boldsymbol {\gamma }}_{2}^{T}\cdot \mathbf {x} )^{2}-({\boldsymbol {\gamma }} _{3}^{T}\cdot \mathbf {x} )^{2}]\}

där $\mathbf {x} \,$ är en tredimensionell enhetsvektor, $(\cdot )^{T}$ anger transponeringen av $(\cdot) )$ , och den normaliserande konstanten ${\textrm {c}}(\kappa ,\beta )\,$ är:

c(\kappa ,\beta )=2\pi \sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (j+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (j+1)}}\beta ^{2j}\left({\frac {1}{2}}\kappa \right)^{-2j-{\frac {1}{2}}}I_{2j+ {\frac {1}{2}}}(\kappa )

Där $I_{v}(\kappa )$ är den modifierade Bessel-funktionen och $\Gamma (\cdot )$ är gammafunktionen . Observera att $c(0,0)=4\pi$ och ${\displaystyle c(\kappa , 0)=4\pi (\kappa ^{-1})\sinh(\kappa )} ,$ normaliseringskonstanten för Von Mises–Fisher-fördelningen .

Parametern $\kappa \,$ (med $\kappa >0\,$ ) bestämmer fördelningens koncentration eller spridning, medan $\beta \,$ (med $0\leq 2\beta <\kappa$ ) bestämmer ellipticiteten för konturerna med lika sannolikhet. Ju högre $\kappa \,$ och ${\displaystyle \beta \,} är,$ desto mer koncentrerad respektive elliptisk blir fördelningen. Vektor $\gamma _{1}\,$ är medelriktningen, och vektorerna $\gamma _{2},\gamma _{3}\,$ är de stora och mindre yxor. De två sistnämnda vektorerna bestämmer orienteringen av de lika sannolikhetskonturerna på sfären, medan den första vektorn bestämmer konturernas gemensamma centrum. 3×3-matrisen $(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})\,$ måste vara ortogonal.

Generalisering till högre dimensioner

Kent-fördelningen kan lätt generaliseras till sfärer i högre dimensioner. Om $x$ är en punkt på enhetssfären $S^{p-1}$ i $\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ , då densitetsfunktionen av den $p$ -dimensionella Kent-fördelningen är proportionell mot

\exp\{\kappa {\boldsymbol {\gamma }}_{1}^{ T}\cdot \mathbf {x} +\sum _{j=2}^{p}\beta _{j}({\boldsymbol {\gamma }}_{j}^{T}\cdot \mathbf { x} )^{2}\}\ ,

där $\sum _{j=2}^{p}\beta _{j}=0$ och $0\leq 2|\beta _{j}|<\kappa$ och vektorerna $\{{\boldsymbol {\gamma }}_{j }\mid j=1\ldots p\}$ är ortonormala. Normaliseringskonstanten blir dock mycket svår att arbeta med för $p>3$ .

Se även

Boomsma, W., Kent, JT, Mardia, KV, Taylor, CC & Hamelryck, T. (2006) Grafiska modeller och riktningsstatistik fångar proteinstruktur . I S. Barber, PD Baxter, KVMardia, & RE Walls (Eds.), Interdisciplinary Statistics and Bioinformatics , s. 91–94. Leeds, Leeds University Press.
Hamelryck T, Kent JT, Krogh A (2006) Provtagning av realistiska proteinkonformationer med hjälp av lokal strukturell bias . PLoS Comput Biol 2(9): e131
Kent, JT (1982) Fisher-Bingham-fördelningen på sfären. , J. Royal. Statistik. Soc. 44:71–80.
Kent, JT, Hamelryck, T. (2005). Använda Fisher-Bingham-distributionen i stokastiska modeller för proteinstruktur . I S. Barber, PD Baxter, KVMardia, & RE Walls (Eds.), Quantitative Biology, Shape Analysis, and Wavelets , s. 57–60. Leeds, Leeds University Press.
Mardia, KVM, Jupp, PE (2000) Directional Statistics (2:a upplagan), John Wiley and Sons Ltd. ISBN 0-471-95333-4
Peel, D., Whiten, WJ., McLachlan, GJ. (2001) Anpassning av blandningar av Kent-distributioner för att underlätta identifiering av gemensamma set. J. Am. Statistik. Röv. 96:56–63