Generaliserad gammafördelning

Generaliserat gamma

Sannolikhetstäthetsfunktion
Parametrar	$a>0$ (skala), $d,p>0$
Stöd	$x\;\in ​​\;(0,\,\infty )$
PDF	${\frac {p/a^{d}}{\Gamma (d/p)}}x^{ d-1}e^{-(x/a)^{p}}$
CDF	${\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/ p)}}$
Betyda	$a{\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}$
Läge	$a\left({\frac {d-1}{p}}\right)^{\ frac {1}{p}}\mathrm {för} \;d>1,\mathrm {annat} \;0$
Variation	$a^{2}\left ({\frac {\Gamma ((d+2)/p)}{\Gamma (d/p)}}-\left({\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}\höger)^{2}\höger)$
Entropi	$\ln {\frac {a\Gamma (d/p)}{p}}+{ \frac {d}{p}}+\left({\frac {1}{p}}-{\frac {d}{p}}\right)\psi \left({\frac {d}{p }}\höger)$

Den generaliserade gammafördelningen är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning med två formparametrar (och en skalparameter ). Det är en generalisering av gammafördelningen som har en formparameter (och en skalparameter). Eftersom många fördelningar som vanligtvis används för parametriska modeller i överlevnadsanalys (såsom exponentialfördelningen , Weibullfördelningen och gammafördelningen ) är specialfall av generaliserat gamma, används det ibland för att bestämma vilken parametrisk modell som är lämplig för en given uppsättning av data. Ett annat exempel är halvnormalfördelningen .

Egenskaper

Den generaliserade gammafördelningen har två formparametrar , $d>0$ och $p>0$ , och en skalparameter , $a>0$ . För icke-negativt x från en generaliserad gammafördelning är sannolikhetstäthetsfunktionen

$f(x;a,d,p)= {\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},$

där $\Gamma (\cdot )$ anger gammafunktionen .

Den kumulativa fördelningsfunktionen är

$F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}},{\text {eller}}\,P\left({\frac {d}{p}},\left({\frac {x}{a}}\right)^{p}\right);$

där $\gamma (\cdot )$ anger den lägre ofullständiga gammafunktionen och $P(\cdot ,\cdot )$ anger den reguljära lägre ofullständiga gammafunktionen .

Kvantilfunktionen kan hittas genom att notera att ${\displaystyle F(x;a,d,p)=G((x/a$ / där $G$ är den kumulativa fördelningsfunktionen för gammafördelningen med parametrarna $\alpha =d/p$ och $\beta =1$ . Kvantilfunktionen ges sedan genom att invertera $F$ med hjälp av kända relationer om invers av sammansatta funktioner , vilket ger:

$F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot { \big [}G^{-1}(q){\big ]}^{1/p},$

där $G^{-1}(q)$ är kvantilfunktionen för en gammafördelning med $\alpha =d/p,\, \beta =1$ .

Relaterade distributioner

• Om $d=p$ så blir den generaliserade gammafördelningen Weibull-fördelningen .
• Om $p=1$ blir det generaliserade gamma gammafördelningen .
• Om $p=d=1$ blir det exponentialfördelningen .
• Om $p=2$ och $d=2m$ blir det Nakagami-fördelningen .
• Om $p=2$ och $d=1$ blir det en halvnormalfördelning .

Alternativa parametreringar av denna fördelning används ibland; till exempel med substitutionen α = d/p . Dessutom kan en skiftparameter läggas till, så att domänen för x börjar med något annat värde än noll. Om restriktionerna för tecknen för a , d och p också upphävs (men α = d / p förblir positiv) ger detta en fördelning som kallas Amoroso-fördelningen , efter den italienske matematikern och ekonomen Luigi Amoroso som beskrev den 1925.

Ögonblick

Om X har en generaliserad gammafördelning enligt ovan, då

$\operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac { d}{p}})}}.$

Egenskaper

Beteckna GG(a,d,p) som den generaliserade gammafördelningen av parametrarna a , d , p . Sedan, givet $c$ och $\alpha$ två positiva reella tal, om $f\sim GG(a,d,p)$ , sedan $cf\sim GG(ca,d,p)$ och $f^ {\alpha }\sim GG\left(a^{\alpha },{\frac {d}{\alpha }},{\frac {p}{\alpha }}\right)$ .

Kullback-Leibler divergens

Om $f_{1}$ och $f_{2}$ är sannolikhetstäthetsfunktionerna för två generaliserade gammafördelningar, så ges deras Kullback-Leibler-divergens av

${\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1}, d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_ {2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1} \right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_ {1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_ {1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1 }}{p_{1}}}\end{aligned}}$

där $\psi (\cdot )$ är digammafunktionen .

Mjukvaruimplementering

I programmeringsspråket R finns det några paket som innehåller funktioner för att anpassa och generera generaliserade gammafördelningar. gamlss -paketet i R gör det möjligt att anpassa och generera många olika distributionsfamiljer inklusive generaliserat gamma ( familj=GG). Andra alternativ i R, implementerade i paketet flexsurv , inkluderar funktionen dgengamma , med parameterisering: $\mu =\ln a+{\frac {\ln d- \ln p}{p}}$ , $\sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}$ , $Q={\sqrt { \frac {p}{d}}}$ , och i paketet ggamma med parametrisering: $a=a$ , $b=p$ , $k=d/p$ .

I programmeringsspråket python är det implementerat i SciPy- paketet, med parametrisering: $c=p$ , $a=d/p$ , och skalan 1.

Se även

• Halv- t fördelning
• Trunkerad normalfördelning
• Vikt normalfördelning
• Rättad Gaussisk fördelning
• Modifierad halvnormalfördelning
• Generaliserad heltals gammafördelning