Borel distribution

Borel distribution

Parametrar	$\mu \in [0,1]$
Stöd	$n\in \{1,2,3,\ldots \}$
PMF	${\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}$
Betyda	${\frac {1}{1-\mu }}$
Variation	${\frac {\mu }{(1-\mu )^{3}}}$

Borelfördelningen är en diskret sannolikhetsfördelning som uppstår i sammanhang inklusive förgreningsprocesser och köteori . Den är uppkallad efter den franske matematikern Émile Borel .

Om antalet avkommor som en organism har är Poisson-fördelat , och om det genomsnittliga antalet avkommor från varje organism inte är större än 1, kommer varje individs ättlingar till slut att dö ut. Antalet ättlingar som en individ i slutändan har i den situationen är en slumpvariabel fördelad enligt en Borelfördelning.

Definition

En diskret stokastisk variabel X   sägs ha en borelfördelning med parametern μ ∈ [0,1] om sannolikhetsmassfunktionen för X ges av

$P_{\mu }(n)=\Pr(X=n)={\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}$

för n = 1, 2, 3 ....

Tolkning av härledning och förgreningsprocess

Om en Galton–Watson-förgreningsprocess har gemensam avkommafördelning Poisson med medelvärde μ , så har det totala antalet individer i förgreningsprocessen Borel-fördelning med parametern μ .

Låt X   vara det totala antalet individer i en Galton-Watson-förgreningsprocess. Då ger en överensstämmelse mellan den totala storleken på förgreningsprocessen och en träfftid för en tillhörande slumpmässig promenad

$\Pr(X=n)={\frac {1}{n}}\Pr(S_{n}=n-1 )$

där S _n = Y ₁ + … + Y _n och Y ₁ … Y _n är oberoende identiskt fördelade slumpvariabler vars gemensamma fördelning är avkommafördelningen av förgreningsprocessen. I fallet där denna gemensamma fördelning är Poisson med medelvärde μ , har den stokastiska variabeln S _n Poissonfördelning med medelvärde μn , vilket leder till massfunktionen för Borelfördelningen som ges ovan.

Eftersom den m: te generationen av förgreningsprocessen har medelstorlek μ ^{m − 1 ,} är medelvärdet av X  

$1+\mu +\mu ^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-\mu }}.$

Tolkning av köteori

I en M/D/1-kö med ankomsthastighet μ och gemensam servicetid 1 är fördelningen av en typisk upptagen period i kön Borel med parametern μ .

Egenskaper

Om P _μ ( n ) är sannolikhetsmassfunktionen för en Borel( μ ) slumpvariabel, då är massfunktionen P
^∗ _μ ( n ) för ett storleksförspänt urval från fördelningen (dvs massfunktionen proportionell mot nP _μ ( n ) ) ) ges av

$P_{\mu }^{*}(n)=(1-\mu ){\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{(n- 1)!}}.$

Aldous och Pitman visar det

$P_{\mu }(n)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\mu }P_{\lambda }^{*}(n)\,d\ lambda.$

Med ord säger detta att en Borel( μ ) slumpvariabel har samma fördelning som en storleksförspänd Borel( μU ) slumpvariabel, där U har den enhetliga fördelningen på [0,1].

Denna relation leder till olika användbara formler, inklusive

$\operatorname {E} \left({\frac {1}{X}}\right)=1-{\frac {\mu }{2}}.$

Borel–Tanner distribution

Borel –Tanner-fördelningen generaliserar Borel-fördelningen. Låt k vara ett positivt heltal. Om X ₁ , X ₂ , … X _k är oberoende och var och en har Borel-fördelning med parametern μ , så sägs deras summa W = X ₁ + X ₂ + … + X _{k ha Borel–Tanner-fördelning med parametrarna} μ och k . Detta ger fördelningen av det totala antalet individer i en Poisson-Galton-Watson-process som börjar med k individer i den första generationen, eller av den tid det tar för en M/D/1-kö att tömmas med början med k jobb i kön. Fallet k = 1 är helt enkelt Borelfördelningen ovan.

Att generalisera den slumpmässiga promenadöverensstämmelsen som ges ovan för k = 1,

$\Pr(W=n)={\frac {k}{n}}\Pr(S_{n}=nk)$

där S _n har Poissonfördelning med medelvärde nμ . Som ett resultat ges sannolikhetsmassfunktionen av

$\Pr(W=n)={\frac {k}{n}}{\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{nk}}{(nk)!}}$

för n = k , k + 1, ....

externa länkar

• Borel-Tanner distribution i Mathematica.