Icke-central F -fördelning

Inom sannolikhetsteori och statistik är den icke-centrala F -fördelningen en kontinuerlig sannolikhetsfördelning som är en icke-central generalisering av den (vanliga) F -fördelningen . Den beskriver fördelningen av kvoten ( X / n ₁ )/( Y / n ₂ ), där täljaren X har en icke-central chi-kvadratfördelning med n ₁ frihetsgrader och nämnaren Y har en central chi-kvadratfördelning med n ₂ frihetsgrader. Det krävs också att X och Y är statistiskt oberoende av varandra.

Det är fördelningen av teststatistiken vid analys av variansproblem när nollhypotesen är falsk. Den icke-centrala F -fördelningen används för att hitta effektfunktionen för ett sådant test.

Förekomst och specifikation

Om $X$ är en icke-central chi-kvadratad slumpvariabel med icke-centralitetsparameter $\lambda$ och $\nu _{1}$ frihetsgrader, och $Y$ är en chi-kvadratad slumpvariabel med $\nu _{2}$ frihetsgrader som är statistiskt oberoende av $X$ , då

$F={\frac {X/\nu _{1}}{Y/\nu _{2}}}$

är en icke-central F -fördelad slumpvariabel. Sannolikhetstäthetsfunktionen (pdf) för den icke-centrala F - fördelningen är

$p(f)=\summa \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{k}}{B\left({\frac {\nu _{2} }{2}},{\frac {\nu _{1}}{2}}+k\höger)k!}}\left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2 }}}\höger)^{{\frac {\nu _{1}}{2}}+k}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{2}+\nu _{1}f}}\höger)^{{\frac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}+k}f^{\nu _{1}/2-1 +k}$

när $f\geq 0$ och noll annars. Frihetsgraderna $\nu _{1}$ och $\nu _{2}$ är positiva. Termen $B(x,y)$ är betafunktionen , där

$B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.$

Den kumulativa fördelningsfunktionen för den icke-centrala F -fördelningen är

$F(x\mid d_{1},d_{2},\lambda )=\summa \limits _{j=0}^{\infty }\left({\frac {\left ({\frac {1}{2}}\lambda \right)^{j}}{j!}}e^{-\lambda /2}\right)I\left({\frac {d_{1} x}{d_{2}+d_{1}x}}{\bigg |}{\frac {d_{1}}{2}}+j,{\frac {d_{2}}{2}}\ höger)$

där $I$ är den reguljära ofullständiga betafunktionen .

Medelvärdet och variansen för den icke-centrala F -fördelningen är

$\operatorname {E} [F]\quad { \begin{cases}={\frac {\nu _{2}(\nu _{1}+\lambda )}{\nu _{1}(\nu _{2}-2)}}&{\ text{om }}\nu _{2}>2\\{\text{finns inte}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 2\\\end{cases}}$

och

$\operatorname {Var} [F]\quad {\begin{cases}=2{\frac {(\nu _{1}+\lambda )^ {2}+(\nu _{1}+2\lambda )(\nu _{2}-2)}{(\nu _{2}-2)^{2}(\nu _{2}- 4)}}\left({\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}\right)^{2}&{\text{if }}\nu _{2}>4 \\{\text{finns inte}}&{\text{if }}\nu _{2}\leq 4.\\\end{cases}}$

Speciella fall

När λ = 0 blir den icke-centrala F -fördelningen F -fördelningen .

Relaterade distributioner

Z har en icke-central chi-kvadratfördelning if

$Z=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}F$

där F har en icke-central F -fördelning.

Se även icke-central t-distribution .

Genomföranden

Den icke-centrala F -fördelningen är implementerad i R -språket (t.ex. pf-funktion), i MATLAB (ncfcdf, ncfinv, ncfpdf, ncfrnd och ncfstat-funktioner i statistikverktygslådan) i Mathematica (NoncentralFRatioDistribution-funktionen), i NumPy (random.noncentral_f) , och i Boost C++ Libraries .

En gemensam wikisida implementerar en interaktiv onlineräknare, programmerad i språket R, för de icke-centrala t-, chi-kvadrat- och F-distributionerna, vid Institute of Statistics and Econometrics, School of Business and Economics, Humboldt-Universität zu Berlin.

Anteckningar

• Weisstein, Eric W. ; et al. "Ickecentral F -fördelning" . MathWorld . Wolfram Research, Inc. Hämtad 20 augusti 2011 .