Gamma/Gompertz-fördelning

Gamma/Gompertz-fördelning

Sannolikhetstäthetsfunktion Notera: b=0,4, β=3
Kumulativ fördelningsfunktion
Parametrar	$b,s,\beta >0\,\!$
Stöd	$x\in [0,\infty )\!$
PDF	$bse^{bx}\beta ^{s}/\left(\beta -1+ e^{bx}\right)^{s+1}{\text{där }}b,s,\beta >0$
CDF	$1-\beta ^{s}/\left(\beta -1+e^{bx} \right)^{s},x>0,b,s,\beta >0$$1-e^{-bsx},\beta =1$
Betyda	$=\left(1/b\right)\left(1/ s\right){_{2}{\text{F}}_{1}}\left(s,1;s+1;\left(\beta -1\right)/\beta \right),$$b,s>0,\beta \neq 1$${\displaystyle =\left (1/b\right)\left[\beta /\left(\beta -1\right)\right]\ln \left(\beta \right),} b$$\ displaystyle b>0,s=1,\beta \neq 1}$$=1/\left(bs\right),\quad b,s >0,\beta =1$
Median	$\left(1/b\right)\ln\{\beta \left[\left(1 /2\right)^{-1/s}-1\right]+1\}$
Läge	${\begin{aligned}x^{*}&=(1/b)\ln \left[(1/s)(\ beta -1)\right],\\&{\text{med }}0<{\text{F}}(x^{*})<1-(\beta s)^{s}/\left[ (\beta -1)(s+1)\right]^{s}<0.632121,\\&\beta >s+1\\&=0,\quad \beta \leq s+1\\\end{ Justerat}}$
Variation	$=2(1/b^{2 })(1/s^{2})\beta ^{s}{_{3}{\text{F}}_{2}}(s,s,s;s+1,s+1;1 -\beta )$$-{\text{E}}^{2}(\tau |b,s,\beta ),\quad \beta \neq 1$$=(1/b^{2})(1/s^{2}),\quad \beta =1$${\text{med}}$${_{3}{\text{F}}_{2}}(a,b,c;d,e;z)=\summa _{k=0}^{\infty }\{( a)_{k}(b)_{k}(c)_{k}/[(d)_{k}(e)_{k}]\}z^{k}/k!$${ \displaystyle {\text{and}}}$$(a)_{k}=\Gamma (a+k)/\Gamma (a)$
MGF	${\text{E}}(e^{-tx})$${\displaystyle =\beta ^{s}[sb/(t+sb)]{_{2}{\text{F }}_{1}}(s+1,(t/b)+s;(t/b)+s+1;1-\beta ),} β ≠ 1 {\displaystyle \quad \$$1 }$$=sb/(t+sb),\quad \beta =1$${\text{med }}{_{2}{\text{F}}_{1}}(a,b;c;z)=\summa _{k=0}^{\infty } [(a)_{k}(b)_{k}/(c)_{k}]z^{k}/k!$

Inom sannolikhet och statistik är Gamma/Gompertz-fördelningen en kontinuerlig sannolikhetsfördelning . Den har använts som en modell på aggregerad nivå för kundlivslängd och en modell för dödsrisker.

Specifikation

Sannolikhetstäthetsfunktion

Sannolikhetstäthetsfunktionen för Gamma/Gompertz-fördelningen är :

$f(x;b,s,\beta )={\frac {bse ^{bx}\beta ^{s}}{\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s+1}}}$

där $b>0$ är skalparametern och $\beta ,s>0\,\!$ är formparametrarna för Gamma/Gompertz-fördelningen.

Kumulativ fördelningsfunktion

Den kumulativa fördelningsfunktionen för Gamma/Gompertz-fördelningen är:

${\begin{aligned}F(x;b,s,\beta )&=1-{\frac {\beta ^{s}}{\left(\beta -1+e^{bx}\right)^ {s}}},{\ }x>0,{\}b,s,\beta >0\\[6pt]&=1-e^{-bsx},{\}\beta =1\\\ end{aligned}}$

Momentgenererande funktion

Den momentgenererande funktionen ges av:

${\begin{aligned}{\text{E}}(e^{-tx})={\begin{cases}\displaystyle \beta ^{s} {\frac {sb}{t+sb}}{\ }{_{2}{\text{F}}_{1}}(s+1,(t/b)+s;(t/b) +s+1;1-\beta ),&\beta \neq 1;\\\displaystyle {\frac {sb}{t+sb}},&\beta =1.\end{cases}}\end{ Justerat}}$

där ${_{2}{\text{F}}_{1}}(a,b;c;z)=\summa _{k=0}^{\infty [(a)_{k }(b)_{k}/(c)_{k}]z^{k}/k!$ är en hypergeometrisk funktion .

Egenskaper

Gamma/Gompertz-fördelningen är en flexibel fördelning som kan skeva åt höger eller vänster.

Relaterade distributioner

• När β = 1 reduceras detta till en exponentiell fördelning med parametern sb .
• Gammafördelningen är ett naturligt konjugat före en Gompertz - sannolikhet med känd skalparameter $b\,\!.$
• När formparametern $\eta \,\!$ för en Gompertz-fördelning varierar enligt en gammafördelning med formparametern $\alpha \,\!$ och skalparametern $\beta \, \!$ (medelvärde = $\alpha /\beta \,\!$ ), fördelningen av $x$ är Gamma/Gompertz.

Se även

• Gompertz distribution
• Kundens livstidsvärde

Anteckningar

• Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas (2012). "Modellera köpbeteende med plötslig 'död': en flexibel kundlivstidsmodell" . Management Science . 58 (5): 1012–1021. doi : 10.1287/mnsc.1110.1461 . Arkiverad från originalet 2015-06-26.
• Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas (2011). "Implementera Gamma/Gompertz/NBD-modellen i MATLAB" (PDF) . Cergy-Pontoise: ESSEC Business School.
•    Gompertz, B. (1825). "Om arten av den funktion som uttrycker lagen om mänsklig dödlighet, och om ett nytt sätt att bestämma värdet av livsförutsättningar" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 115 : 513-583. doi : 10.1098/rstl.1825.0026 . JSTOR 107756 . S2CID 145157003 .
•   Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1995). Kontinuerliga univariata distributioner . Vol. 2 (andra upplagan). New York: John Wiley & Sons. s. 25–26. ISBN 0-471-58494-0 .
•   Manton, KG; Stallard, E.; Vaupel, JW (1986). "Alternativa modeller för heterogeniteten av dödlighetsrisker bland äldre". Journal of the American Statistical Association . 81 (395): 635–644. doi : 10.1080/01621459.1986.10478316 . PMID 12155405 .