Erlang distribution

Erlang
	Sannolikhetstäthetsfunktion
	Kumulativ fördelningsfunktion
Parametrar	; ; form rate alt.: skala
Stöd
PDF
CDF
Betyda
Median	Ingen enkel sluten form
Läge
Variation
Skevhet
Ex. kurtosis
Entropi
MGF	för
CF

Erlang -fördelningen är en tvåparameterfamilj av kontinuerliga sannolikhetsfördelningar med stöd för $x\in [0,\infty )$ . De två parametrarna är:

ett positivt heltal $k,$ "formen", och
ett positivt reellt tal $\lambda ,$ "hastigheten". "Skalan", $\beta ,$ den reciproka av kursen, används ibland istället.

Erlang-fördelningen är fördelningen av summan av $k$ oberoende exponentiella variabler med medelvärde $1/\lambda$ vardera. På motsvarande sätt är det fördelningen av tiden fram till den k: te händelsen i en Poisson-process med hastigheten $\lambda$ . Erlang- och Poisson-fördelningarna är komplementära, i det att medan Poisson-fördelningen räknar antalet händelser som inträffar under en bestämd tidsperiod, räknar Erlang-fördelningen mängden tid tills ett fast antal händelser inträffar. När $k=1$ förenklas fördelningen till exponentialfördelningen . Erlang-fördelningen är ett specialfall av gammafördelningen där fördelningens form diskretiseras.

Erlang-distributionen utvecklades av AK Erlang för att undersöka antalet telefonsamtal som kan göras samtidigt till operatörerna av växelstationerna. Detta arbete med telefontrafikteknik har utökats till att överväga väntetider i kösystem i allmänhet. Fördelningen används även inom området stokastiska processer .

Karakterisering

Sannolikhetstäthetsfunktion

Sannolikhetstäthetsfunktionen för Erlang-fördelningen är

f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!} \quad {\mbox{för }}x,\lambda \geq 0,

Parametern k kallas formparametern och parametern $\lambda$ kallas hastighetsparametern.

En alternativ, men ekvivalent, parametrisering använder skalparametern $\beta$ , som är den reciproka av hastighetsparametern (dvs. ${\displaystyle \beta =1/\lambda } )$ :

f(x;k,\beta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\ beta ^{k}(k-1)!}}\quad {\mbox{för }}x,\beta \geq 0.

När skalparametern $\beta$ är lika med 2 förenklas fördelningen till chi-kvadratfördelningen med 2 k frihetsgrader. Det kan därför betraktas som en generaliserad chi-kvadratfördelning för jämna antal av frihetsgrader.

Kumulativ distributionsfunktion (CDF)

Den kumulativa fördelningsfunktionen för Erlang-distributionen är

F(x;k,\lambda )=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac { \gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},

där $\gamma$ är den lägre ofullständiga gammafunktionen och $P$ är den lägre regulariserade gammafunktionen . CDF kan också uttryckas som

F(x;k,\lambda )=1-\summa _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\ lambda x)^{n}.

Erlang- k

Erlang- k- fördelningen (där k är ett positivt heltal) $E_{k}(\lambda )$ definieras genom att sätta i PDF-filen för Erlang-fördelningen. Till exempel är Erlang-2-fördelningen ${\displaystyle E_{2}(\lambda )={\lambda ^{k}x}e^ {-\lambda x}\quad {\mbox{för }}x,\lambda \geq 0} ,$ vilket är samma som $f(x;2,\lambda )$ .

Median

En asymptotisk expansion är känd för medianen för en Erlang-fördelning, för vilken koefficienter kan beräknas och gränser är kända. En approximation är ${\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),$ dvs under medelvärdet ${\frac {k}{\lambda }}.$

Genererar Erlang-fördelade slumpmässiga variationer

Erlang-fördelade slumpmässiga varianter kan genereras från enhetligt fördelade slumptal ( ${\displaystyle U\in [0,1]} )$ med följande formel:

E(k,\lambda )=-{\frac {1} {\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln U_{i}

Ansökningar

Väntetider

Händelser som inträffar oberoende med en viss medelfrekvens modelleras med en Poisson-process . Väntetiderna mellan k händelser av händelsen är Erlang fördelade. (Den relaterade frågan om antalet händelser under en given tidsperiod beskrivs av Poisson-fördelningen .)

Erlang-fördelningen, som mäter tiden mellan inkommande samtal, kan användas tillsammans med den förväntade varaktigheten av inkommande samtal för att producera information om trafikbelastningen mätt i erlangs. Detta kan användas för att bestämma sannolikheten för paketförlust eller fördröjning, enligt olika antaganden om huruvida blockerade samtal avbryts (Erlang B-formel) eller köar tills de serveras (Erlang C-formel). Erlang -B- och C -formlerna är fortfarande i daglig användning för trafikmodellering för applikationer som design av callcenter .

Andra applikationer

Åldersfördelningen av cancerincidensen följer ofta Erlang-fördelningen, medan form- och skalparametrarna förutsäger respektive antal förarhändelser och tidsintervallet mellan dem . Mer allmänt har Erlang-fördelningen föreslagits som en bra approximation av cellcykeltidsfördelning, som ett resultat av flerstegsmodeller.

Den har även använts inom företagsekonomin för att beskriva mellanköpstider.

Egenskaper

Om $X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$ då $a\cdot X\sim \operatörsnamn {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)$ med $a\in \mathbb {R}$
Om $X\sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )$ och $Y\sim \ operatornamn {Erlang} (k_{2},\lambda )$ sedan $X+Y\sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_ {2},\lambda )$ om $X,Y$ är oberoende

Relaterade distributioner

Erlang-fördelningen är fördelningen av summan av k oberoende och identiskt fördelade slumpvariabler, som var och en har en exponentiell fördelning . Långtidshastigheten med vilken händelser inträffar är den reciproka av förväntan på $X,$ $X,$ det vill säga $\lambda /k.$ $\lambda /k.$ Hastigheten (åldersspecifik händelse) för Erlang-fördelningen är, för $k>1,$ $k>1,$ monoton i $x,$ $x,$ ökar från 0 vid $x=0,$ $x=0,$ till $\lambda$ $\lambda$ eftersom $x$ $x$ tenderar till oändlighet.
- Det vill säga: om $X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),$ då $\sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\sim \operatörsnamn {Erlang} (k,\lambda )$
På grund av faktorfunktionen i nämnaren för PDF och CDF definieras Erlang-fördelningen endast när parametern k är ett positivt heltal. Faktum är att denna fördelning ibland kallas Erlang- k- fördelningen (t.ex. är en Erlang-2-fördelning en Erlang-fördelning med $k=2$ $k=2$ ). Gammafördelningen generaliserar Erlang-fördelningen genom att tillåta k att vara vilket positivt reellt tal som helst, genom att använda gammafunktionen istället för faktorfunktionen.
- Det vill säga: om k är ett heltal och $X\sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),$ då ${ \ displaystil X\sim \operatörsnamn {Erlang} (k,\lambda )}$
Om $U\sim \operatorname {Exponential} (\lambda )$ och $V\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )$ sedan ${\frac {U}{V}}+1\sim \operatörsnamn {Pareto} (1,n)$
Erlang-distributionen är ett specialfall av Pearson typ III-distributionen ^{[ citat behövs ]}
Erlang-fördelningen är relaterad till chi-kvadratfördelningen . Om $X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda ),$ så $2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}.$ ^{[ citat behövs ]}
Erlang-fördelningen är relaterad till Poisson-fördelningen genom Poisson-processen : Om $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ så att $X_{i}\sim \operatorname {Exponential} (\lambda ),$ sedan $S_{n}\sim \operatörsnamn {Erlang} (n,\lambda )$ och $\operatörsnamn {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatörsnamn {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{X}(x;n,\lambda )=\ summa _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.$ Att ta skillnaderna över $n$ ger Poisson-fördelningen.