U-statistik

I statistisk teori är en U-statistik en klass av statistik som är särskilt viktig i skattningsteori ; bokstaven "U" står för opartisk. I elementär statistik uppstår U-statistik naturligt för att producera opartiska skattare med minimal varians .

Teorin för U-statistik tillåter att en opartisk skattare med minimal varians kan härledas från varje opartisk skattare av en skattbar parameter (alternativt statistisk funktionell ) för stora klasser av sannolikhetsfördelningar . En skattbar parameter är en mätbar funktion av populationens kumulativa sannolikhetsfördelning : Till exempel, för varje sannolikhetsfördelning är populationsmedianen en skattbar parameter. Teorin för U-statistik gäller allmänna klasser av sannolikhetsfördelningar.

Historia

Många statistik som ursprungligen härleddes för särskilda parametriska familjer har erkänts som U-statistik för allmänna fördelningar. I icke-parametrisk statistik används teorin för U-statistik för att fastställa för statistiska procedurer (som estimatorer och tester) och estimatorer som hänför sig till den asymptotiska normaliteten och till variansen (i finita urval) av sådana kvantiteter. Teorin har använts för att studera mer generell statistik såväl som stokastiska processer , såsom slumpmässiga grafer .

Antag att ett problem involverar oberoende och identiskt fördelade slumpvariabler och att uppskattning av en viss parameter krävs. Antag att en enkel opartisk uppskattning kan konstrueras baserat på endast ett fåtal observationer: detta definierar den grundläggande skattaren baserat på ett givet antal observationer. Till exempel är en enskild observation i sig själv en opartisk uppskattning av medelvärdet och ett par observationer kan användas för att härleda en opartisk uppskattning av variansen. U-statistiken baserad på denna estimator definieras som medelvärdet (över alla kombinatoriska urval av den givna storleken från hela uppsättningen av observationer) av den grundläggande estimatorn som tillämpas på delproven.

Sen (1992) ger en genomgång av artikeln av Wassily Hoeffding (1948), som introducerade U-statistik och redogjorde för teorin som hänför sig till dem, och Sen skisserar därvid betydelsen av U-statistik i statistisk teori. Sen säger, "Inverkan av Hoeffding (1948) är överväldigande för närvarande och kommer mycket troligt att fortsätta under de kommande åren." Observera att teorin för U-statistik inte är begränsad till fallet med oberoende och identiskt fördelade slumpvariabler eller till skalära slumpvariabler.

Definition

Termen U-statistik, på grund av Hoeffding (1948), definieras enligt följande.

Låt $K$ vara antingen de reella eller komplexa talen, och låt $f\colon (K^{d})^{r}\to K$ vara ett $K$ -värderad funktion av $r$$d$ -dimensionella variabler. För varje $n\geq r$ tillhörande U-statistik $f_{n}\colon (K^{d})^{n}\to K$ definieras som medelvärdet av värdena $f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})$ över set $I_{r,n}$ av $r$ -tupler av index från $\{1,2,\dotsc ,n\ }$ med distinkta poster. Formellt,

$f_{n}(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{\prod _{i=0}^{r-1}(ni)}}\ summa _{(i_{1},\dotsc ,i_{r})\in I_{r,n}}f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})$ .

I synnerhet om $f$ är symmetrisk förenklas ovanstående till

$f_{n }(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{\binom {n}{r}}}\summa _{(i_{1},\dotsc ,i_{r} )\in J_{r,n}}f(x_{i_{1}},\dotsc ,x_{i_{r}})$ ,

där nu $J_{r,n}$ betecknar delmängden av $I_{r,n}$ av ökande tupler.

Varje U-statistik $f_{n}$ är nödvändigtvis en symmetrisk funktion .

U-statistik är mycket naturligt i statistiskt arbete, särskilt i Hoeffdings sammanhang med oberoende och identiskt fördelade slumpvariabler , eller mer allmänt för utbytbara sekvenser, såsom i enkla slumpmässiga urval från en ändlig population, där den definierande egenskapen kallas 'arv på genomsnitt'.

Fishers k -statistik och Tukeys polykays är exempel på homogen polynom U-statistik (Fisher, 1929; Tukey, 1950).

För ett enkelt slumpmässigt urval φ av storlek n taget från en population av storlek N , har U-statistiken egenskapen att medelvärdet över urvalsvärdena ƒ _n ( xφ ) är exakt lika med populationsvärdet ƒ _N ( x ).

Exempel

Några exempel: Om $f(x)=x$ är U-statistiken $f_{ n}(x)={\bar {x}}_{n}=(x_{1}+\cdots +x_{n})/n$ är exempelmedelvärdet.

Om ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|} ,$ U-statistiken är den genomsnittliga parvisa avvikelsen $f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=2/(n(n-1))\summa _{i>j}|x_{i}-x_{j} |$ , definierad för $n\geq 2$ .

Om $f(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})^{2 }/2$ , U-statistiken är urvalsvariansen f $\displaystyle f_{n}(x)=\summa (x_ {i}-{\bar {x}}_{n})^{2}/(n-1)}$ med divisor $n-1$ , definierad för $n\ geq 2$ .

Den tredje $​​{\displaystyle k}$ -statistik ${\displaystyle k_{3,n }(x)=\summa (x_{i}-{\bar {x}}_{n})^{3}n/((n-1)(n-2))} ,$ provskevheten definierad för $n\geq 3$ , är en U-statistik.

Följande fall belyser en viktig punkt. Om $f(x_{1},x_{2},x_{3})$ är medianen för tre värden, $f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ är inte medianen för $n$ -värden. Det är dock en opartisk minimivarians uppskattning av det förväntade värdet av medianen av tre värden, inte medianen för populationen. Liknande uppskattningar spelar en central roll där parametrarna för en familj av sannolikhetsfördelningar uppskattas av sannolikhetsvägda moment eller L-moment .

Se även

• V-statistik

Anteckningar

•    Borovskikh, Yu. V. (1996). U- statistik i Banach-utrymmen . Utrecht: VSP. s. xii+420. ISBN 90-6764-200-2 . MR 1419498 .
•   Cox, DR, Hinkley, DV (1974) Teoretisk statistik . Chapman och Hall. ISBN 0-412-12420-3
• Fisher, RA (1929) Moment och produktmoment av provtagningsfördelningar. Proceedings of the London Mathematical Society , 2, 30:199–238.
•   Hoeffding, W. (1948) En klass av statistik med asymptotiskt normalfördelningar. Annals of Statistics , 19:293–325. (Delvis omtryckt i: Kotz, S., Johnson, NL (1992) Breakthroughs in Statistics , Vol I, pp 308–334. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94037-5 )
•    Koroljuk, VS; Borovskich, Yu. V. (1994). Teori om U -statistik . Matematik och dess tillämpningar. Vol. 273 (Översatt av PV Malyshev och DV Malyshev från 1989 års ryska originalutgåva). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. s. x+552. ISBN 0-7923-2608-3 . MR 1472486 .
•   Lee, AJ (1990) U-statistik: teori och praktik . Marcel Dekker, New York. pp320 ISBN 0-8247-8253-4
•   Sen, PK (1992) Introduktion till Hoeffding (1948) En klass av statistik med asymptotiskt normalfördelning. I: Kotz, S., Johnson, NL Breakthroughs in Statistics , Vol I, pp 299–307. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94037-5 .
•   Serfling, Robert J. (1980). Approximationssatser för matematisk statistik . New York: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-02403-1 .
• Tukey, JW (1950). "Några förenklade provtagningar". Journal of the American Statistical Association . 45 (252): 501–519. doi : 10.1080/01621459.1950.10501142 .
• Halmos, P. (1946). "Teorin om opartisk uppskattning" . Annals of Mathematical Statistics . 1 (17): 34–43. doi : 10.1214/aoms/1177731020 .