Negativ hypergeometrisk fördelning

Negativ hypergeometrisk

Sannolikhetsmassfunktion
Kumulativ fördelningsfunktion
Parametrar	$N\in \left\{0,1,2,\dots \right\}$ - totalt antal element $K\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}$ - totalt antal "framgångselement" $r\in \left\{0,1,2,\dots ,NK\right\}$ - antal misslyckanden när experimentet stoppas
Stöd	$k\in \left\{0,\,\dots ,\,K\right\}$ - antal framgångar när experimentet stoppas.
PMF	${\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{Nrk} \choose { Kk}}}{N \choose K}}$
Betyda	$r{\frac {K}{N-K+1}}$
Variation	$r{\frac {(N+1)K}{(N- K+1)(N-K+2)}}[1-{\frac {r}{N-K+1}}]$

Inom sannolikhetsteori och statistik beskriver den negativa hypergeometriska fördelningen sannolikheter för när urval från en ändlig population utan ersättning där varje urval kan klassificeras i två ömsesidigt uteslutande kategorier som Godkänd/Underkänd eller Anställd/Arbetslös. När slumpmässiga urval görs från populationen, minskar varje efterföljande dragning populationen vilket gör att sannolikheten för framgång ändras med varje dragning. Till skillnad från den vanliga hypergeometriska fördelningen , som beskriver antalet framgångar i en fast urvalsstorlek, i den negativa hypergeometriska fördelningen, dras sampel tills $r$ misslyckanden har hittats, och fördelningen beskriver sannolikheten att hitta ${\ displaystyle k}$ framgångar i ett sådant exempel. Med andra ord beskriver den negativa hypergeometriska fördelningen sannolikheten för $k$ framgångar i ett urval med exakt $r$ misslyckanden.

Definition

Det finns $N$ element, av vilka $K$ definieras som "framgångar" och resten är "misslyckanden".

Element ritas efter varandra, utan ersättning, tills $r$ -fel uppstår. Därefter stannar ritningen och antalet $k$ framgångar räknas. Den negativa hypergeometriska fördelningen, $NHG_{N,K,r}(k)$ är den diskreta fördelningen av denna $k$ .

Den negativa hypergeometriska fördelningen är ett specialfall av beta-binomialfördelningen med parametrarna $\alpha =r$ och $\beta =NK-r+1$ båda är heltal (och $n=K$ ).

Resultatet kräver att vi observerar $k$ framgångar i $(k+r-1)$ dragningar och $(k+r) {\text{-th}}$ bit måste vara ett misslyckande. Sannolikheten för den förra kan hittas genom direkt tillämpning av den hypergeometriska fördelningen ${\displaystyle (HG_{N,K,k+r-1}(k$ och sannolikheten för det senare är helt enkelt antalet återstående misslyckanden $(=NK-(r-1))$ dividerat med storleken på den återstående populationen $(=N-(k+r-1)$ . Sannolikheten att ha exakt $k$ framgångar upp till den ${\displaystyle r{ \text{-th}}}-$ fel (dvs ritningen stannar så snart provet inkluderar det fördefinierade antalet $r$ -fel) är då produkten av dessa två sannolikheter:

${\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {NK}{k+r-1-k}}}{\binom {N}{k+r-1}}}\ cdot {\frac {NK-(r-1)}{N-(k+r-1)}}={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk}}}{N \choose K}}.$

Därför följer en slumpvariabel $X$ den negativa hypergeometriska fördelningen om dess sannolikhetsmassfunktion (pmf) ges av

$f(k;N,K,r)\equiv \Pr(X=k)={\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk }}}{N \choose K}}\quad {\text{för }}k=0,1,2,\dotsc ,K$

var

• $N$ är populationsstorleken,
• $K$ är antalet framgångstillstånd i befolkningen,
• $r$ är antalet misslyckanden,
• $k$ är antalet observerade framgångar,
• $a \choose b$ är en binomial koefficient

Genom design summerar sannolikheterna till 1. Men om vi vill visa det explicit har vi:

$\sum _{k=0}^{K}\Pr(X=k) =\summa _{k=0}^{K}{\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk}}}{N \choose K}}= {\frac {1}{N \choose K}}\summa _{k=0}^{K}{{k+r-1} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk}}= {\frac {1}{N \choose K}}{N \choose K}=1,$

där vi har använt det,

${\begin{ aligned}\summa _{j=0}^{k}{\binom {j+m}{j}}{\binom {nmj}{kj}}&=\summa _{j=0}^{k} (-1)^{j}{\binom {-m}{j}}(-1)^{kj}{\binom {kn-(-m)}{kj}}\\&=(-1) ^{k}{\binom {kn}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k-(n+1)-1}{k}}={\binom {n+1} {k}},\end{aligned}}$

som kan härledas med hjälp av binomialidentiteten , ${{n \choose k}=(-1)^{k}{kn-1 \choose k}}$ , och Chu–Vandermonde-identiteten , ${\displaystyle \sum _{j=0}^{k} {\binom {m}{j}}{\binom {nm}{kj}}={\binom {n}{k}}} , vilket gäller för alla komplexa värden m {\displaystyle$ m $och$ n $\ displaystyle n}$ och alla icke-negativa heltal $k$ .

Relationen ${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {j+ m}{j}}{\binom {nmj}{kj}}={\binom {n+1}{k}}} kan också hittas genom att undersöka koefficienten för x k {\displaystyle x$ ^ $} }$ i expansionen av ${\frac {1}{( 1-x)^{m+1}}}{\frac {1}{(1-x)^{nm-k+1}}}={\frac {1}{(1-x)^{n -k+2}}}$ , med hjälp av Newtons binomialserie .

Förväntan

När man räknar antalet $k$ framgångar före $r$ misslyckanden, är det förväntade antalet framgångar ${\frac {rK}{N-K+1} }$ och kan härledas enligt följande.

${\begin{aligned}E[X]&=\summa _{k=0}^{K}k\Pr( X=k)=\summa _{k=0}^{K}k{\frac {{{k+r-1} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk}}}{N \ välj K}}={\frac {r}{N \choose K}}\left[\summa _{k=0}^{K}{\frac {(k+r)}{r}}{{k +r-1} \choose {r-1}}{{Nrk} \choose {Kk}}\right]-r\\&={\frac {r}{N \choose K}}\left[\summa _{k=0}^{K}{{k+r} \choose {r}}{{Nrk} \choose {Kk}}\right]-r={\frac {r}{N \choose K} }\left[\sum _{k=0}^{K}{{k+r} \choose {k}}{{Nrk} \choose {Kk}}\right]-r\\&={\frac {r}{N \choose K}}\left[{{N+1} \choose K}\right]-r={\frac {rK}{N-K+1}},\end{aligned}}$

där vi har använt sambandet ${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\ binom {j+m}{j}}{\binom {nmj}{kj}}={\binom {n+1}{k}}} , som vi härledde ovan för att visa att den negativa hypergeometriska fördelningen var korrekt normaliserad$ .

Variation

Variansen kan härledas genom följande beräkning.

${\begin{aligned}E[X^{2}]&=\ summa _{k=0}^{K}k^{2}\Pr(X=k)=\vänster[\summa _{k=0}^{K}(k+r)(k+r+1 )\Pr(X=k)\höger]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r\\&={\frac {r(r+1)}{N \välj K} }\vänster[\summa _{k=0}^{K}{{k+r+1} \välj {r+1}}{{N+1-(r+1)-k} \välj {Kk }}\höger]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r\\&={\frac {r(r+1)}{N \välj K}}\vänster[{{ N+2} \välj K}\höger]-(2r+1)E[X]-r^{2}-r={\frac {rK(N-r+Kr+1)}{(N-K +1)(N-K+2)}}\end{aligned}}$

Då är variansen ${\textrm {Var}}[X]=E[X^{2}]-\left(E[X]\right)^{2}={\frac {rK(N+ 1)(NK-r+1)}{(N-K+1)^{2}(N-K+2)}}$

Relaterade distributioner

Om ritningen stannar efter ett konstant antal $n$ dragningar (oavsett antalet misslyckanden), så har antalet framgångar den hypergeometriska fördelningen , $HG_{ N,K,n}(k)$ . De två funktionerna är relaterade på följande sätt:

$NHG_{N,K,r}(k)=1-HG_{N ,NK,k+r}(r-1)$

Negativ-hypergeometrisk fördelning (som den hypergeometriska fördelningen) handlar om dragningar utan ersättning , så att sannolikheten för framgång är olika i varje dragning. Däremot handlar negativ-binomialfördelning (som binomialfördelningen) med drag med utbyte , så att sannolikheten för framgång är densamma och försöken är oberoende. Följande tabell sammanfattar de fyra fördelningarna relaterade till ritobjekt:

	Med ersättare	Inga ersättare
Antal framgångar i konstant antal dragningar	binomial fördelning	hypergeometrisk fördelning
Antal framgångar i konstant antal misslyckanden	negativ binomialfördelning	negativ hypergeometrisk fördelning

Vissa författare definierar den negativa hypergeometriska fördelningen som antalet dragningar som krävs för att få det ${\displaystyle r}:$ te felet. Om vi ​​låter $Y$ beteckna detta tal så är det tydligt att $Y=X+r$ där $X$ är enligt definitionen ovan. Därav PMF $Pr(Y=y)={\binom {y -1}{r-1}}{\frac {\binom {Ny}{NKr}}{\binom {N}{NK}}}$ . Om vi ​​låter antalet misslyckanden $NK$ betecknas med ${\displaystyle M} att vi har$ betyder $Pr(Y=y)={\binom {y-1}{r-1}}{\frac {\binom {Ny}{Mr}}{\binom {N}{ M}}}$ . Stödet för $Y$ är mängden $\{r,r+1,\dots ,N-M+r\}$ . Det är tydligt att $E[Y]=E[X]+r={\frac {r(N+1) }{M+1}}$ och att ${\textrm {Var}}[X]={\textrm {Var}}[Y]$ .