Rademacher distribution

Rademacher

Stöd	$k\in \{-1,1\}\,$
PMF	$f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1, \\0&{\mbox{annars.}}\end{matrix}}\right.$
CDF	$F(k)={\begin{cases}0,&k<-1\\1/ 2,&-1\leq k<1\\1,&k\geq 1\end{fall}}$
Betyda	$0\,$
Median	$0\,$
Läge	N/A
Variation	$1\,$
Skevhet	$0\,$
Ex. kurtosis	$-2\,$
Entropi	$\ln(2)\,$
MGF	$\cosh(t)\,$
CF	$\cos(t)\,$

Inom sannolikhetsteori och statistik är Rademacherfördelningen (som är uppkallad efter Hans Rademacher ) en diskret sannolikhetsfördelning där en slumpvariant X har 50 % chans att vara +1 och 50 % chans att vara -1.

En serie (det vill säga en summa) av Rademacher-fördelade variabler kan betraktas som en enkel symmetrisk slumpmässig vandring där stegstorleken är 1.

Matematisk formulering

Sannolikhetsmassfunktionen för denna fördelning är

$f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1, \\0&{\mbox{annars.}}\end{matrix}}\right.$

När det gäller Dirac delta-funktionen , som

$f(k)={\frac {1}{2}}\left(\delta \left(k-1\right)+\delta \left(k+1\right)\right).$

Gränser för summor av oberoende Rademacher-variabler

Det finns olika resultat i sannolikhetsteorin kring att analysera summan av iid Rademacher-variabler, inklusive koncentrationsskillnader som Bernstein-ojämlikheter såväl som anti-koncentrationsojämlikheter som Tomaszewskis gissningar.

Koncentrationsskillnader

Låt { x _i } vara en uppsättning slumpvariabler med en Rademacher-fördelning. Låt { a _i } vara en följd av reella tal. Sedan

$\Pr \left(\sum _{i}x_{i}a_{i}>t||a ||_{2}\right)\leq e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$

där || en || ₂ är den euklidiska normen för sekvensen { ai }, t > 0 är ett reellt tal och Pr( Z ) är _{sannolikheten} för händelse Z .

Låt Y = Σ x _i a _i och låt Y vara en nästan säkert konvergent serie i ett Banachrum . För t > 0 och s ≥ 1 har vi

$\Pr \left(||Y||>st\right)\leq \ vänster[{\frac {1}{c}}\Pr(||Y||>t)\right]^{cs^{2}}$

för någon konstant c .

Låt p vara ett positivt reellt tal. Då säger Khintchine-ojämlikheten det

$c_{1}\left[\sum {\left|a_{i}\right|^{2}}\right]^{\frac {1}{2}}\leq \left (E\left[\left|\sum {a_{i}x_{i}}\right|^{p}\right]\right)^{\frac {1}{p}}\leq c_{2} \left[\sum {\left|a_{i}\right|^{2}}\right]^{\frac {1}{2}}$

där c ₁ och c ₂ är konstanter som endast är beroende av p .

För p ≥ 1, $c_{2}\leq c_{1}{\sqrt {p}}.$

Tomaszewskis gissning

1986 föreslog Bogusław Tomaszewski en fråga om fördelningen av summan av oberoende Rademacher-variabler. En serie arbeten om denna fråga kulminerade till ett bevis 2020 av Nathan Keller och Ohad Klein av följande gissningar.

Gissa. Låt ${\displaystyle X=\summa _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}} ,$ där $a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}=1$ och $X_{i}$ är oberoende Rademacher-variabler. Sedan

$\Pr[|X|\leq 1]\geq 1/2.$

Till exempel, när $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1/{\sqrt {n}}$ , man får följande bunden, först visad av Van Zuijlen.

$\Pr \left(\left|{\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt {n}}}\right|\leq 1\right)\ geq 0,5.$

Bindningen är skarp och bättre än den som kan härledas från normalfördelningen (ungefär Pr > 0,31).

Ansökningar

Rademacher-distributionen har använts i bootstrapping .

Rademacher-fördelningen kan användas för att visa att normalfördelad och okorrelerad inte innebär oberoende .

Slumpmässiga vektorer med komponenter samplade oberoende av Rademacher-distributionen är användbara för olika stokastiska approximationer , till exempel:

• Hutchinsons spårestimator, som kan användas för att effektivt approximera spåret av en matris där elementen inte är direkt tillgängliga, utan snarare implicit definieras via matris-vektorprodukter.
• SPSA , en beräkningsmässigt billig, derivatfri, stokastisk gradientapproximation, användbar för numerisk optimering .

Rademacher slumpvariabler används i Symmetrization Inequality .

Relaterade distributioner

• Bernoulli-fördelning : Om X har en Rademacher-fördelning, så har ${\frac {X+1}{2}}$ en Bernoulli(1/2)-fördelning.
• Laplace-fördelning : Om X har en Rademacher-fördelning och Y ~ Exp(λ) är oberoende av X , då XY ~ Laplace(0, 1/λ).