Beställt vektorutrymme

En punkt $x$ i $\mathbb {R} ^{2}$ och mängden av alla $y$ så att $x\leq y$ (i röd). Ordningen här är $x\leq y$ om och endast om $x_{1}\leq y_{1}$ och $x_{2}\leq y_{2}.$

I matematik är ett ordnat vektorrum eller partiellt ordnat vektorrum ett vektorrum utrustat med en partiell ordning som är kompatibel med vektorrymdsoperationerna.

Definition

Givet ett vektorutrymme $X$ över de reella talen $\mathbb {R}$ och en förordning $\,\leq \,$ på mängden ${\displaystyle X,$ } par $(X,\leq )$ kallas ett förbeställt vektorrum och vi säger att förordet $\,\leq \,$ är kompatibelt med vektorrymdsstrukturen för ${\ displaystyle X}$ och kalla $\,\leq \,$ en vektorförordning på $X$ om för alla $x,y,z\in X$ och $r\in \mathbb {R}$ med $r\geq 0$ är följande två axiom uppfyllda

1. $x\leq y$ innebär $x+z\leq y+z,$
2. $y\leq x$ innebär $ry\leq rx.$

Om $\,\leq \,$ är en partiell ordning som är kompatibel med vektorrymdsstrukturen för $X$ så kallas ${\displaystyle (X,\leq )} en$ ordnad vektor mellanslag och $\,\leq \,$ kallas en vektorpartiell ordning på $X.$ De två axiomen antyder att översättningar och positiva homoter är automorfismer av ordningsstrukturen och avbildningen $x\mapsto -x$ är en isomorfism till den dubbla ordningens struktur . Ordnade vektorrum är ordnade grupper under deras additionsoperation. Observera att $x\leq y$ om och endast om $-y\leq -x.$

Positiva koner och deras motsvarighet till beställningar

En delmängd $C$ av ett vektorrum $X$ kallas en kon om för alla verkliga $r>0,$$rC\subseteq C.$ En kon kallas spetsig om den innehåller origo. En kon $C$ är konvex om och endast om $C+C\subseteq C.$ Skärningspunkten för en icke-tom familj av koner (resp. konvexa koner) är återigen en kon (resp. konvex kon) ; detsamma gäller föreningen av en ökande (under set inkludering ) familj av kottar (resp. konvexa kottar). En kon $C$ i ett vektorrum $X$ sägs generera om $X=CC.$ En positiv kon genererar om och endast om den är en riktad uppsättning under $\,\leq .$

Givet ett förbeställt vektorutrymme $X,$ delmängden $X^{+}$ av alla element $x$ i $(X,\leq )$ som uppfyller $x\geq 0$ är en spetsig konvex kon med vertex $0$ (det vill säga den innehåller $0$ ) som kallas den positiva konen av $X$ och betecknas med $\operatorname {PosCone} X.$ Elementen i den positiva konen kallas positiv . Om $x$ och $y$ är element i ett förbeställt vektorutrymme $(X,\leq ),$ då $x\leq y$ om och endast om $yx\in X^{+}.$ Givet en spetsig konvex kon $C$ med vertex $0,$ kan man definiera en förbeställning $\,\leq \,$ på $X$ som är kompatibel med vektorrymdsstrukturen för $X$ genom att deklarera för alla $x,y\in X,$ att $x \leq y$ om och endast om $yx\in C;$ den positiva konen för detta resulterande förbeställda vektorutrymme är $C.$ Det finns alltså en en-till-en-överensstämmelse mellan spetsiga konvexa koner med vertex { $\displaystyle 0}$ och vektorförorder på $X.$ Om $X$ är förbeställd kan vi bilda en ekvivalensrelation på $X$ genom att definiera $x$ är ekvivalent med $y$ om och endast om $x\leq y$ och $y\leq x;$ om $N$ är ekvivalensklassen som innehåller ursprunget så är $N$ ett vektordelrum av $X$ och $X/ N$ är ett ordnat vektorrum under relationen: $A\leq B$ om och bara det finns $a\in A$ och $b\in B$ så att $a\leq b.$

En delmängd av $C$ av ett vektorrum $X$ kallas en riktig kon om det är en konvex kon av vertex $0$ som uppfyller $C\cap (-C)=\{0\}.$ Explicit är $C$ en riktig kon om (1) $C+C\subseteq C,$ (2) $rC\subseteq C$ för alla $r>0,$ och (3) $C\cap (-C)=\{0\}.$ Skärningspunkten för en icke-tom familj av riktiga koner är återigen en riktig kon. Varje korrekt kon $C$ i ett verkligt vektorrum inducerar en ordning på vektorrummet genom att definiera $x\leq y$ om och endast om $yx\in C,$ och vidare kommer den positiva könen i detta ordnade vektorrum att vara $C.$ Därför finns det en en-till-en-överensstämmelse mellan de korrekta konvexa konerna av $X$ och vektorns partiella ordningsföljder på $X.$

Med en total vektorordning på $X$ menar vi en total ordning på $X$ som är kompatibel med vektorrymdsstrukturen för $X.$ Familjen av totala vektorordningar på ett vektorrum $X$ är i en-till-en-överensstämmelse med familjen av alla korrekta koner som är maximala under set-inkludering. En total vektorordning kan inte vara arkimedisk om dess dimension , när den betraktas som ett vektorrum över realerna, är större än 1.

Om $R$ och $S$ är två ordningar av ett vektorrum med positiva koner $P$ respektive $Q,$ , då säger vi att $R$ är finare än $S$ om $P\subseteq Q.$

Exempel

De reella talen med den vanliga ordningen bildar ett totalt ordnat vektorrum. För alla heltal ${\displaystyle n\geq 0,} bildar$ det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{n}$ betraktat som ett vektorrum över realerna med den lexikografiska ordningen ett förbeställt vektorrum vars ordning är arkimedisk om och endast om $n=1$ .

Punktvis ordning

Om $S$ är vilken som helst uppsättning och om $X$ är ett vektorrum (över realerna) av funktioner med verkligt värde $\displaystyle S,}$ S , så är den punktvisa ordningen på $X$ ges av, för alla $f,g\in X,$$f\leq g$ om och endast om ${ \displaystyle f(s)\leq g(s)}$ för alla $s\in S.$

Utrymmen som vanligtvis tilldelas den här ordningen inkluderar:

• utrymmet $\ell ^{\infty }(S,\mathbb {R} )$ för avgränsade realvärdade kartor på $S.$
• utrymmet ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {R} )} för$ sekvenser med verkligt värde som konvergerar till $0.$
• utrymmet $C(S,\mathbb {R} )$ för kontinuerliga verkliga funktioner på ett topologiskt utrymme $S.$
• för alla icke-negativa heltal $n,$ det euklidiska rymden $\mathbb {R} ^{n}$ när det betraktas som mellanrummet ${ \displaystyle C(\{1,\dots ,n\},\mathbb {R} )}$ där $S=\{1,\dots ,n\}$ ges den diskreta topologin .

Mellanrummet ${\mathcal {L}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ av alla mätbara nästan-överallt avgränsade realvärdade kartor på $\mathbb {R} ,$ där förordningen är definierad för alla $f,g\in {\mathcal {L}}^{\infty } (\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ av $f\leq g$ om och endast om $f(s)\leq g( s)$ nästan överallt.

Intervaller och ordningsbunden dubbel

Ett ordningsintervall i ett förbeställt vektorutrymme sätts av formen

$${\begin{alignedat}{4}[a,b]&=\{x:a\leq x\leq b\},\\[0.1ex][a,b[&=\{x: a\leq x<b\},\\]a,b]&=\{x:a<x\leq b\},{\text{ eller }}\\]a,b[&=\{x :a<x<b\}.\\\end{aligned}}$$

Av axiom 1 och 2 ovan följer att $x,y\in [a,b]$ och $0<t<1$ innebär $tx+(1-t)y$ tillhör $[a,b];$ alltså dessa ordningsintervall är konvexa. En delmängd sägs vara ordningsgräns om den ingår i något ordningsintervall. I ett förbeställt reellt vektorutrymme, om för $x\geq 0$ så är intervallet för formen ${\displaystyle [-x,x]$ } balanserat . En ordningsenhet för ett förbeställt vektorrum är vilket element $x$ som helst så att mängden $[-x,x]$ absorberar .

Mängden av alla linjära funktionaler på ett förbeställt vektorrum $X$ som mappar varje ordningsintervall till en begränsad mängd kallas den ordningsbundna dualen av $X$ och betecknas med $X^{\operatörsnamn {b} }.$ Om ett mellanslag är ordnat så är dess ordningsbundna dual ett vektorunderrum till dess algebraiska dual .

En delmängd $A$ av ett ordnat vektorrum $X$ kallas order complete om för varje icke-tom delmängd $B\subseteq A$ så att $B$ är ordning avgränsad i $A,$ både $\sup B$ och $\inf B$ finns och är element i $A.$ Vi säger att ett ordnat vektorrum $X$ är ordningen komplett är $X$ är en ordningskomplett delmängd av $X.$

Exempel

Om $(X,\leq )$ är ett förbeställt vektorrum över realerna med ordningsenhet $u,$ så är kartan $p(x):=\inf\{t\in \mathbb {R} :x\leq tu\}$ är en sublinjär funktion .

Egenskaper

Om $X$ är ett förbeställt vektorutrymme så för alla $x,y\in X,$

• $x\geq 0$ och $y\geq 0$ innebär $x+y\geq 0.$
• $x\leq y$ om och endast om $-y\leq -x.$
• $x\leq y$ och $r<0$ innebär $rx\geq ry.$
• $x\leq y$ om och endast om $y=\sup\{x,y\}$ om och endast om $x=\inf\{x,y\}$
• $\sup\{x,y\}$ finns om och endast om $\inf\{-x,-y\}$ finns, i vilket fall $\inf\{-x,-y\}=-\sup\{x,y\}.$
• $\sup\{x,y\}$ finns om och endast om $\inf\{x,y\}$ finns, i vilket fall för alla $z\in X,$
  • $\sup\{x+z,y+z\}=z+\sup\{x,y\},$ och
  • $\inf\{x+z,y+z\}=z+\inf\{x,y\}$
  • $x+y=\inf\{x,y\}+\sup\{x,y\}.$
• $X$ är ett vektorgitter om och endast om $\sup\{0,x\}$ finns för alla $x\in X.$

Utrymmen av linjära kartor

Huvudartikel: Positiv linjär operator

En kon $C$ sägs generera om C $\displaystyle CC}$ är lika med hela vektorrummet. Om $X$ och $W$ är två icke-triviala ordnade vektorrum med respektive positiva koner $P$ och $Q,$ så genererar $P$ i $X$ om och endast om mängden $C=\{u\in L(X;W):u (P)\subseteq Q\}$ är en riktig kon i $L(X;W),$ som är utrymmet för alla linjära kartor från $X$ till ${\displaystyle W.} I det här fallet$ kallas ordningen som definieras av ${\displaystyle C} den$ kanoniska ordningen av $L(X;W).$ Mer allmänt, om $M$ är ett vektordelrum av $L(X;W)$ så att $C\cap M$ är en riktig kon, ordningen definierad av $C\cap M$ kallas den kanoniska ordningen av $M.$

Positiva funktioner och ordningsdubbel

En linjär funktion $f$ på ett förbeställt vektorutrymme kallas positiv om den uppfyller något av följande ekvivalenta villkor:

1. $x\geq 0$ innebär $f(x)\geq 0.$
2. om $x\leq y$ så $f(x)\leq f(y).$

Mängden av alla positiva linjära former på ett vektorrum med positiv kon $C,$ som kallas den dubbla konen och betecknas med $C^{*},$ , är en kon lika med polen $-C.$ Förordningen som induceras av den dubbla konen på utrymmet för linjära funktionaler på $X$ kallas den dubbla förordningen .

Ordningsdualen för ett ordnat vektorrum $X$ är mängden, betecknad med $\displaystyle X^{+},}$ { definierad av $X^{+}:=C^{*}-C^{*}.$ Även om $X^{+}\subseteq X^{b},$ finns det ordnade vektorrum för vilka mängdlikhet inte gäller.

Specialtyper av ordnade vektorrum

Låt $X$ vara ett ordnat vektorrum. Vi säger att ett ordnat vektorrum $X$ är arkimediskt ordnat och att ordningen på $X$ är arkimediskt om $x$ i $X$ är sådan att $\{nx:n\in \mathbb {N} \}$ är majoriserad (det vill säga, det finns några $y\in X$ så att ${ \displaystyle nx\leq y}$ för alla $n\in \mathbb {N}$ ) sedan $x\leq 0.$ Ett topologiskt vektorrum (TVS) som är ett ordnat vektorrummet är nödvändigtvis arkimediskt om dess positiva kon är stängd.

Vi säger att ett förbeställt vektorrum $X$ är regelbundet ordnat och att dess ordning är regelbunden om det är arkimediskt ordnat och $X^{+}$ skiljer punkter i $X.$ Denna egenskap garanterar att det finns tillräckligt många positiva linjära former för att framgångsrikt kunna använda dualitetens verktyg för att studera ordnade vektorrum.

Ett ordnat vektorrum kallas ett vektorgitter om för alla element $x$ och y , {\displaystyle y,} supremum sup $,$ y $(x,y)}$ och infimum $\inf(x,y)$ finns.

Delrum, kvoter och produkter

Låt $X$ vara ett förbeställt vektorrum med positiv kon $C.$

Delutrymmen

Om $M$ är ett vektordelrum av $X$ så är den kanoniska ordningen på $M$ inducerad av $X$ s positiva kon $C$ den partiella ordning inducerad av den spetsiga konvexa konen $C\cap M,$ där denna kon är korrekt om $C$ är korrekt.

Kvotientutrymme

Låt $M$ vara ett vektordelrum av ett ordnat vektorrum $X,$$\pi :X\to X/M$ vara den kanoniska projektionen, och låt ${\hat {C}}:=\pi (C).$ Då är ${\hat {C}}$ en kon i $X/M$ som inducerar en kanonisk förbeställning på kvotutrymmet $X/M.$ Om ${\hat {C}}$ är en riktig kon i $X/M$ så är ${\hat {C}}$ gör $X/M$ till ett ordnat vektorrum. Om $M$ är $C$ -mättad så definierar ${\hat {C}}$ den kanoniska ordningen för $X/M.$ Observera att $X=\mathbb {R} _{0}^{2}$ ger ett exempel på ett ordnat vektorutrymme där $\ pi (C)$ är inte en riktig kon.

Om $X$ också är ett topologiskt vektorrum (TVS) och om det för varje grannskap $V$ av ursprunget i $X$ finns ett område $\displaystyle U}$ för ursprunget så att $[(U+N)\cap C]\subseteq V+N$ sedan ${\hat {C}}$ är en normal kon för kvottopologin .

Om $X$ är ett topologiskt vektorgitter och $M$ är ett slutet solidt subgitter av $X$ så är $X/L$ också ett topologiskt vektorgitter.

Produkt

Om $S$ är vilken som helst uppsättning är utrymmet $X^{S}$ för alla funktioner från $S$ till $X$ kanoniskt ordnat efter den korrekta konen $\left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ för alla }}s\in S\right\}.$

Antag att $\left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ är en familj av förordnade vektorrum och att den positiva konen av ${\ displaystyle X_{\alpha }}$ är $C_{\alpha }.$ Då är ${\textstyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$ en spetsig konvex kon i ${\ textstil \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$ som bestämmer en kanonisk ordning på ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha };}$$C$ är en riktig kon om alla $C_{\alpha }$ är riktiga koner.

Algebraisk direkt summa

Den algebraiska direkta summan ${\textstyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ av $\left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ är ett vektordelrum av ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ som ges den kanoniska delrymdsordningen som ärvs från ${\textstyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }.}$ Om $X_{1},\dots ,X_{n}$ är ordnade vektorunderrymder i ett ordnat vektorrum $X$ sedan $X$ är den ordnade direkta summan av dessa delrum om den kanoniska algebraiska isomorfismen av $X$ till $\prod _{\alpha }X_{ \alpha }$ (med den kanoniska produktordningen) är en ordningsisomorfism .

Exempel

• De reella talen med den vanliga ordningen är ett ordnat vektorrum.
• $\mathbb {R} ^{2}$ är ett ordnat vektorrum med ${\displaystyle \,\leq \,}-$ relationen definierad på något av följande sätt (i ordning av ökande styrka, dvs. , minskande uppsättningar av par):
  • Lexikografisk ordning : $(a,b)\leq (c,d)$ om och endast om $a<c$ eller $(a=c{\text{ och }}b\leq d).$ Detta är en total beställning . Den positiva könen ges av $x>0$ eller $(x=0{\text{ och }}y\leq 0),$ det vill säga i polär koordinater , uppsättningen punkter med vinkelkoordinaten som uppfyller $-\pi /2<\theta \leq \pi /2,$ tillsammans med origo.
  • $(a,b)\leq (c,d)$ om och endast om $a\leq c$ och $b \leq d$ ( produktordningen av två kopior av $\mathbb {R}$ med $\leq$ ). Detta är en delorder. Den positiva könen ges av $x\geq 0$ och $y\geq 0,$ det vill säga i polära koordinater $0\leq \theta \leq \pi /2,$ tillsammans med ursprunget.
  • $(a,b)\leq (c,d)$ om och endast om $(a<c{\text { och }}b<d)$ eller $(a=c{\text{ och }}b=d)$ (den reflexmässiga stängningen av den direkta produkten av två kopior av $\mathbb {R}$ med "<"). Detta är också en delorder. Den positiva könen ges av $(x>0{\text{ och }}y>0)$ eller $x=y=0),$ det vill säga i polära koordinater, $0<\theta <\pi /2,$ tillsammans med origo.

Endast den andra ordningen är, som en delmängd av $\mathbb {R} ^{4},$ stängd; se delordningar i topologiska utrymmen . För den tredje ordningen

är de tvådimensionella " intervallen " $p<x<q$ öppna uppsättningar som genererar topologin.

• $\mathbb {R} ^{n}$ är ett ordnat vektorrum med ${\displaystyle \,\leq \,}-$ relationen definierad på liknande sätt. Till exempel, för den andra ordningen som nämns ovan:
  • $x\leq y$ om och endast om $x_{i}\leq y_{i}$ för $i=1,\dots ,n.$
• Ett Riesz-rum är ett ordnat vektorrum där ordningen ger upphov till ett gitter .
• Utrymmet för kontinuerliga funktioner på $[0,1]$ där $f\leq g$ om och endast om $f(x )\leq g(x)$ för alla $x$ i $[0,1].$

Se även

• Ordningstopologi (funktionell analys) – Topologi för ett ordnat vektorrum
• Ordnat fält – Algebraiskt objekt med en ordnad struktur
• Ordnad grupp – Grupp med en kompatibel delordning Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Ordnad ring – ordnad tabell med karnough-grafvärden förenklade och ordnade par till lika sanningstabeller Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Ordnat topologiskt vektorutrymme
• Delvis ordnat utrymme – Delvis ordnat topologiskt utrymme
• Produktorder
• Riesz space – Delvis ordnat vektorrum, ordnat som ett gitter
• Topologiska vektorgitter
• Vektorgitter – Delvis ordnat vektorutrymme, ordnat som ett gitter Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål

Bibliografi

•   Aliprantis, Charalambos D ; Burkinshaw, Owen (2003). Lokalt solida Riesz-utrymmen med tillämpningar inom ekonomi (andra upplagan). Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3408-8 .
•   Bourbaki, Nicolas ; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces ; ISBN 0-387-13627-4 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Wong (1979). Schwartz-rymden, nukleära utrymmen och tensorprodukter . Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158 .