Cantor–Bernsteins sats

För satsen att injektioner från A till B och från B till A innebär en bijektion mellan A och B, se Schröder–Bernsteins sats .

I mängdlära och ordningsteorin säger Cantor -Bernstein-satsen att kardinaliteten för den andra typens klass, klassen av räkningsbara ordningstyper , är lika med kontinuumets kardinalitet . Den användes av Felix Hausdorff och döptes av honom efter Georg Cantor och Felix Bernstein . Cantor konstruerade en familj av räkningsbara ordningstyper med kontinuumets kardinalitet, och i sin invigningsavhandling från 1901 bevisade Bernstein att en sådan familj inte kan ha någon högre kardinalitet.

Eftersom den andra typklassen innehåller de räknebara ordningstalen , som har kardinalitet ${\displaystyle \aleph _{1}} ,$ bevisar detta resultat (genom en inkludering av naturligt definierade mängder) att $\aleph _{1}\leq 2^{\aleph _{0}}$ , en relation mellan dessa två aleftal som (utan att anta valets axiom ) inte tidigare var känd.