Ordlista för ordningsteori

Detta är en ordlista över några termer som används i olika grenar av matematiken som är relaterade till områdena ordnings- , gitter- och domänteori . Observera att det också finns en strukturerad lista över beställningsämnen . Andra användbara resurser kan vara följande översiktsartiklar:

• fullständighetsegenskaper hos delordrar
• ordningslagar teori
• bevarande egenskaper hos funktioner mellan posetter.

I det följande kommer delorder vanligtvis bara att betecknas med deras bäraruppsättningar. Så länge den avsedda innebörden framgår av sammanhanget $\,\leq \,$ för att beteckna motsvarande relationssymbol, även utan föregående introduktion. Dessutom kommer < att beteckna den strikta ordningen inducerad av $\,\leq .$

A

• Acyklisk . En binär relation är acyklisk om den inte innehåller några "cykler": på motsvarande sätt är dess transitiva stängning antisymmetrisk .
• Adjoint . Se Galois-anslutning .
• Alexandrov topologi . För en förbeställd uppsättning P är vilken övre uppsättning O som helst Alexandrov-öppen . Omvänt är en topologi Alexandrov om någon skärningspunkt mellan öppna mängder är öppen.
• Algebraisk poset . En poset är algebraisk om den har en bas av kompakta element.
• Antikedja . En antikedja är en poset där inga två element är jämförbara, dvs det finns inga två distinkta element x och y så att x ≤ y . Med andra ord är ordningsrelationen för en antikedja bara identitetsrelationen.
• Ungefärlig relation . Se förhållandet nedan .
• Antisymmetrisk relation . En homogen relation R på en mängd X är antisymmetrisk , om x R y och y R x innebär x = y , för alla element x , y i X .
• Antiton . En antitonfunktion f mellan poset P och Q är en funktion för vilken, för alla element x , y av P , x ≤ y ( i P ) innebär f ( y ) ≤ f ( x ) (i Q ). Ett annat namn för den här egenskapen är order-reversing . I analys , i närvaro av totala order , kallas sådana funktioner ofta monotont minskande , men detta är inte en särskilt bekväm beskrivning när det handlar om icke-totala order. Den dubbla föreställningen kallas monoton eller ordningsbevarande .
• Asymmetrisk relation . En homogen relation R på en mängd X är asymmetrisk, om x R y inte innebär y R x , för alla element x , y i X .
• Atom . En atom i en poset P med minst element 0, är ​​ett element som är minimalt bland alla element som är ojämlika med 0.
• Atomic . En atomisk poset P med minst element 0 är en där, för varje icke-noll element x av P , det finns en atom a av P med a ≤ x .

B

• Bas . Se kontinuerlig poset .
• Binär relation . En binär relation över två uppsättningar $X{\text{ och }}Y$ är en delmängd av deras kartesiska produkt $X\ gånger Y.$
• Boolesk algebra . En boolesk algebra är ett distributivt gitter med minst element 0 och största element 1, där varje element x har ett komplement ¬ x , så att x ∧ ¬ x = 0 och x ∨ ¬ x = 1.
• Avgränsad poset . En avgränsad poset är en som har ett minsta element och ett största element.
• Avgränsad komplett . En poset är avgränsad komplett om var och en av dess delmängder med någon övre gräns också har en minst sådan övre gräns. Den dubbla föreställningen är inte vanlig.

C

• Kedja . En kedja är en helt ordnad uppsättning eller en helt ordnad delmängd av en poset. Se även total order .
• Kedjan komplett . En delvis ordnad uppsättning där varje kedja har en minsta övre gräns .
• Stängningsoperatör . En stängningsoperator på poset P är en funktion C : P → P som är monoton, idempotent , och uppfyller C ( x ) ≥ x för alla x i P .
• Kompakt . Ett element x i en poset är kompakt om det är långt under sig självt, dvs x << x . Man säger också att ett sådant x är ändligt .
• Jämförbar . Två element x och y i en poset P är jämförbara om antingen x ≤ y eller y ≤ x .
• Jämförbarhetsgraf . Jämförbarhetsgrafen för en poset ( P , ≤) är grafen med vertexuppsättning P där kanterna är de par av distinkta element av P som är jämförbara under ≤ (och i synnerhet under dess reflexiva reduktion <).
• Komplett boolesk algebra . En boolesk algebra som är ett komplett gitter.
• Komplett Heyting algebra . En Heyting-algebra som är ett komplett gitter kallas en komplett Heyting-algebra. Denna föreställning sammanfaller med begreppen frame och locale .
• Komplett galler . Ett komplett gitter är en poset där godtyckliga (möjligen oändliga) förenar (suprema) och möter (infima) existerar.
• Komplett delorder . En fullständig partiell ordning, eller cpo , är en riktad fullständig partiell ordning (qv) med minsta element.
• Komplett relation . Synonym till Connected relation .
• Komplett semilatter . Begreppet ett komplett semigitter definieras på olika sätt. Som förklaras i artikeln om fullständighet (ordningsteori) är varje poset för vilken antingen all suprema eller alla infima existerar redan ett komplett gitter. Därför används ibland begreppet ett komplett semigitter för att sammanfalla med det om ett komplett gitter. I andra fall definieras kompletta (mötes-) semilattices som bounded complete cpos , vilket utan tvekan är den mest kompletta klassen av posetter som inte redan är kompletta gitter.
• Fullständigt fördelande galler . Ett komplett gitter är helt distributivt om godtyckliga sammanfogningar fördelar över godtyckliga möten.
• Slutförande . En komplettering av en poset är en orderinbäddning av poset i ett komplett galler.
• Komplettering genom nedskärningar . Synonym för Dedekind–MacNeille komplettering .
• Ansluten relation . En total eller fullständig relation R på en mängd X har egenskapen att för alla element x , y av X gäller minst en av x R y eller y R x .
• Kontinuerlig poset . En poset är kontinuerlig om den har en bas , dvs en delmängd B av P så att varje element x i P är supremumet av en riktad mängd som ingår i { y i B | y << x }.
• Kontinuerlig funktion . Se Scott-kontinuerlig .
• Konversera . Det omvända <° av en ordning < är det där x <° y närhelst y < x.
• Omslag . Ett element y i en poset P sägs täcka ett element x av P (och kallas ett täcke av x ) om x < y och det inte finns något element z i P så att x < z < y .
• cpo . Se fullständig delordning .

D

• dcpo . Se riktad komplett delorder .
• Slutförande av Dedekind–MacNeille . Dedekind–MacNeille-kompletteringen av en delvis ordnad uppsättning är det minsta kompletta gallret som innehåller det.
• Tät ordning . En tät poset P är en där, för alla element x och y i P med x < y , det finns ett element z i P , så att x < z < y . En delmängd Q av P är tät i P om det för några element x < y i P finns ett element z i Q så att x < z < y .
• Störning . En permutation av elementen i en mängd, så att inget element visas i sin ursprungliga position.
• Regisserad uppsättning . En icke-tom delmängd X av en poset P kallas riktad, om det för alla element x och y av X finns ett element z av X så att x ≤ z och y ≤ z . Den dubbla begreppet kallas filtrerad .
• Riktat komplett delorder . En poset D sägs vara en riktad komplett poset, eller dcpo , om varje riktad delmängd av D har ett supremum.
• Distributivt . Ett gitter L kallas distributivt om vi för alla x , y och z i L finner att x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ). Detta tillstånd är känt för att vara likvärdigt med dess ordningsdubbla. Ett mötes- semilattice är distributivt om för alla element a , b och x , a ∧ b ≤ x antyder existensen av element a' ≥ a och b' ≥ b så att a' ∧ b' = x . Se även helt distribuerande .
• Domän . Domän är en allmän term för objekt som de som studeras inom domänteori . Om det används kräver det ytterligare definition.
• Nedsatt . Se nedre set .
• Dubbel . För en poset ( P , ≤) definieras den dubbla ordningen Pd = ( P , ≥) genom att sätta x ≥ y om och endast om ^y ≤ x . Den dubbla ordningen av P betecknas ibland med P ^op , och kallas även motsatt eller omvänd ordning. Varje ordningsteoretisk begrepp inducerar en dubbel begrepp, definierad genom att applicera den ursprungliga satsen på ordningsdualen i en given mängd. Detta utbyter ≤ och ≥, möter och sammanfogar, noll och enhet.

E

• Förlängning . För partiella ordningar ≤ och ≤′ på en mängd X är ≤′ en förlängning av ≤ förutsatt att för alla element x och y av X , x ≤ y innebär att x ≤′ y .

F

• Filter . En delmängd X av en poset P kallas ett filter om det är en filtrerad övre uppsättning. Den dubbla föreställningen kallas ideal .
• Filtrerat . En icke-tom delmängd X av en poset P kallas filtrerad, om det för alla element x och y av X finns ett element z av X så att z ≤ x och z ≤ y . Den dubbla föreställningen kallas riktad .
• Finita element . Se kompakt .
• Ram . En ram F är ett komplett gitter, i vilket, för varje x i F och varje delmängd Y av F , den oändliga fördelningslagen x ∧ $\bigvee$ Y = $\bigvee$ { x ∧ y | y i Y } håller. Ramar är också kända som lokaler och som kompletta Heyting-algebror .

G

• Galois-anslutning . Givet två posetter P och Q kallas ett par monotona funktioner F : P → Q och G : Q → P en Galois-förbindelse, om F ( x ) ≤ y är ekvivalent med x ≤ G ( y ), för alla x i P och y i Q . F kallas nedre adjoint av G och G kallas övre adjoint till F .
• Största elementet . För en delmängd X av en poset P kallas ett element a av X det största elementet av X , om x ≤ a för varje element x i X. Den dubbla föreställningen kallas minsta elementet .
• Marksats . Grundmängden för en poset ( X , ≤) är den mängd X på vilken den partiella ordningen ≤ definieras.

H

• Heyting algebra . En Heyting-algebra H är ett begränsat gitter där funktionen fa : _H → H , given av f _a ( x ) = a ∧ x är den nedre adjointen av en Galois-förbindelse , för varje element a i H. Den övre adjunkten av f _a betecknas då med g _a , med g _a ( x ) = a ⇒; x . Varje boolesk algebra är en Heyting-algebra.
• Hasse diagram . Ett Hasse-diagram är en typ av matematiskt diagram som används för att representera en ändlig, delvis ordnad uppsättning, i form av en ritning av dess transitiva reduktion .
• Homogent förhållande . En homogen relation på en mängd $X$ är en delmängd av $X\times X.$ Sagt annorlunda, det är en binär relation över $X$ och sig själv.

jag

• Idealisk . Ett ideal är en delmängd X av en poset P som är en riktad lägre uppsättning. Den dubbla begreppet kallas filter .
• Incidens algebra . Incidensalgebra för en poset är den associativa algebra för alla skalärvärdade funktioner på intervall, med addition och skalär multiplikation definierade punktvis, och multiplikation definierad som en viss faltning ; se incidensalgebra för detaljer.
• Infimum . För en poset P och en delmängd X av P kallas det största elementet i uppsättningen av nedre gränser av X (om det finns, vilket det kanske inte finns) för infimum , meet eller största nedre gräns för X . Det betecknas med inf X eller $\bigwedge$ X . Infimum av två element kan skrivas som inf{ x , y } eller x ∧ y . Om mängden X är finit talar man om ett finit infimum . Den dubbla föreställningen kallas supremum .
• Intervall . För två element a , b i en delvis ordnad mängd P är intervallet [ a , b ] delmängden { x i P | a ≤ x ≤ b } av P . Om a ≤ b inte håller kommer intervallet att vara tomt.
• Intervall finit poset . En delvis ordnad mängd P är intervall ändlig om varje intervall av formen {x i P | x ≤ a} är en ändlig mängd.
• Omvänt . Se omvända .
• Irreflexiv . En relation R på en mängd X är irreflexiv, om det inte finns något element x i X så att x R x .
• Isoton . Se monoton .

J

• Gå med . Se supremum .

L

• Galler . Ett gitter är en poset där alla icke-tomma ändliga förenar (suprema) och möter (infima) existerar.
• Minsta elementet . För en delmängd X av en poset P kallas ett element a av X det minsta elementet av X , om a ≤ x för varje element x i X. Den dubbla föreställningen kallas största elementet .
• Längden på en kedja är antalet element minus ett . En kedja med 1 element har längden 0, en med 2 element har längden 1 osv.
• Linjär . Se total order .
• Linjär förlängning . En linjär förlängning av en partiell ordning är en förlängning som är en linjär ordning, eller total ordning.
• Plats . En lokal är en komplett Heyting-algebra . Lokaler kallas också ramar och förekommer i stendualitet och meningslös topologi .
• Lokalt finit poset . En partiellt ordnad mängd P är lokalt ändlig om varje intervall [ a , b ] = { x i P | a ≤ x ≤ b } är en ändlig mängd.
• Nedre gräns . En nedre gräns för en delmängd X av en poset P är ett element b av P , så att b ≤ x , för alla x i X . Den dubbla begreppet kallas övre gräns .
• Nedre set . En delmängd X av en poset P kallas en lägre mängd om, för alla element x i X och p i P , p ≤ x antyder att p finns i X . Den dubbla begreppet kallas upper set .

M

• Maximal kedja . En kedja i en poset som inget element kan läggas till utan att förlora egenskapen att vara helt ordnad. Detta är starkare än att vara en mättad kedja, eftersom det också utesluter förekomsten av element antingen mindre än alla element i kedjan eller större än alla dess element. En ändlig mättad kedja är maximal om och endast om den innehåller både ett minimalt och ett maximalt element av poset.
• Maximalt element . Ett maximalt element av en delmängd X av en poset P är ett element m av X , så att m ≤ x innebär m = x , för alla x i X . Det dubbla begreppet kallas minimalt element .
• Maximalt element . Synonym för det största elementet. För en delmängd X av en poset P kallas ett element a av X det maximala elementet av X om x ≤ a för varje element x i X . Ett maxim um -element är nödvändigtvis maxim al , men det omvända behöver inte gälla.
• Möt . Se infimum .
• Minimalt element . Ett minimalt element av en delmängd X av en poset P är ett element m av X , så att x ≤ m innebär m = x , för alla x i X . Den dubbla föreställningen kallas maximalt element .
• Minsta element . Synonym till minsta element. För en delmängd X av en poset P kallas ett element a av X det minsta elementet av X om x ≥ a för varje element x i X . Ett minimum um -element är nödvändigtvis minimalt , men det omvända behöver inte gälla.
• Monotone . En funktion f mellan poset P och Q är monoton om, för alla element x , y av P , x ≤ y (i P ) innebär f ( x ) ≤ f ( y ) (i Q ). Andra namn för den här egenskapen är isoton och ordningsbevarande . I analys , i närvaro av totala beställningar , kallas sådana funktioner ofta monotont ökande , men detta är inte en särskilt bekväm beskrivning när det handlar om icke-totala beställningar. Den dubbla begreppet kallas antiton eller ordningsomkastning .

O

• Beställning-dubbel . Ordningsdualen för en partiellt ordnad uppsättning är samma uppsättning med delordningsrelationen ersatt av dess motsats.
• Orderinbäddning . En funktion f mellan poset P och Q är en ordningsinbäddning om, för alla element x , y av P , x ≤ y (i P ) är ekvivalent med f ( x ) ≤ f ( y ) (i Q ).
• Ordningsisomorfism . En avbildning av f : P → Q mellan två posetter P och Q kallas en ordningsisomorfism, om den är bijektiv och både f och f ⁻¹ är monotona funktioner . På motsvarande sätt är en orderisomorfism en surjektiv orderinbäddning .
• Ordningsbevarande . Se monoton .
• Orderomvändning . Se antiton .

P

• Delordning . En partiell ordning är en binär relation som är reflexiv , antisymmetrisk och transitiv . I ett litet missbruk av terminologi, används termen ibland också för att inte hänvisa till en sådan relation, utan till dess motsvarande delvis ordnade uppsättning.
• Delvis beställt set . En partiellt ordnad uppsättning $(P,\leq ),$ eller poset för kort, är en uppsättning $P$ tillsammans med en partiell ordning $\,\leq \,$ på $P.$
• Poset . Ett delvis beställt set.
• Förbeställ . En förorder är en binär relation som är reflexiv och transitiv . Sådana order kan också kallas kvasiorder eller icke-strikt förbeställning . Termen förbeställning används också för att beteckna en acyklisk binär relation (även kallad en acyklisk digraf) .
• Förbeställt set . En förbeställd uppsättning $(P,\leq )$ är en uppsättning $P$ tillsammans med en förbeställning $\,\leq \,$ på $P.$
• Konservera . En funktion f mellan poset P och Q sägs bevara suprema (joins), om vi för alla delmängder X av P som har en supremum sup X i P finner att sup{ f ( x ): x i X } existerar och är lika med f (sup X ). En sådan funktion kallas även sammanfogningsbevarande . Analogt säger man att f bevarar finita, icke-tomma, riktade eller godtyckliga kopplingar (eller möter). Den omvända egenskapen kallas join-reflekting .
• Prime . Ett idealt I i ett gitter L sägs vara primtal, om x ∧ y i I för alla element x och y i L innebär x i I eller y i I . Den dubbla begreppet kallas ett primfilter . På motsvarande sätt är en uppsättning ett primfilter om och endast om dess komplement är ett primideal.
• Rektor . Ett filter kallas huvudfilter om det har ett minsta element. Dubbelt sett är ett huvudideal ett ideal med ett största inslag. De minsta eller största elementen kan också kallas huvudelement i dessa situationer.
• Projektion (operatör) . En självkarta på en delvis ordnad uppsättning som är monoton och idempotent under funktionssammansättning . Projektioner spelar en viktig roll i domänteorin .
• 0 Pseudokomplement . I en Heyting-algebra är elementet x ⇒; kallas pseudokomplementet till x . Den ges också av sup{ y : y ∧ x = 0}, dvs som den minsta övre gränsen av alla element y med y ∧ x = 0.

F

• Kvasiordning . Se förbeställning .
• Kvasitransitiv . En relation är kvasitransitiv om relationen på distinkta element är transitiv. Transitiv innebär kvasitransitiv och kvasitransitiv innebär acyklisk.

R

• Reflekterar . En funktion f mellan poset P och Q sägs återspegla suprema (joins), om, för alla delmängder X av P för vilka supremum sup{ f ( x ): x i X } finns och har formen f ( s ) för vissa s i P , då finner vi att sup X existerar och att sup X = s . Analogt säger man att f reflekterar finita, icke-tomma, riktade eller godtyckliga kopplingar (eller möter). Den omvända egenskapen kallas join-preserving .
• Reflexiv . En binär relation R på en mängd X är reflexiv, om x R x gäller för varje element x i X .
• Resterande . En dubbel karta kopplad till en restmappning .
• Återstående kartläggning . En monoton karta för vilken förbilden av en huvudnedsättning återigen är den viktigaste. Motsvarande en komponent i en Galois-anslutning.

S

• Mättad kedja . En kedja i en poset så att inget element kan läggas till mellan två av dess element utan att förlora egenskapen att vara helt ordnad. Om kedjan är ändlig betyder det att i varje par av på varandra följande element täcker det större det mindre. Se även maximal kedja.
• Utspridda . En total order är spridd om den inte har någon tätt ordnad delmängd.
• Scott-kontinuerlig . En monoton funktion f : P → Q mellan poset P och Q är Scott - kontinuerlig om mängden { fx | x i D } har det högsta f (sup D ) i Q . Med andra ord är en Scott-kontinuerlig funktion en funktion som bevarar all riktad suprema. Detta motsvarar i själva verket att vara kontinuerlig med avseende på Scott-topologin på respektive poset.
• Scott-domän . En Scott-domän är en delvis ordnad uppsättning som är en avgränsad komplett algebraisk cpo .
• Scott öppen . Se Scott topologi .
• Scott topologi . För en poset P är en delmängd O Scott-öppen om det är en övre uppsättning och alla riktade uppsättningar D som har ett supremum i O har icke-tom skärningspunkt med O . Uppsättningen av alla Scott-öppna uppsättningar bildar en topologi , Scott-topologin .
• Semigitter . Ett semilattic är en poset där antingen alla finita icke-tomma sammanfogningar (suprema) eller alla finita icke-tomma möten (infima) existerar. Följaktligen talar man om ett sammanfogningssemilattice eller meet-semilattice .
• Minsta elementet . Se minsta element .
• Sperner-egenskap för en delvis ordnad uppsättning
• Sperner poset
• Strikt Sperner-poset
• Starkt Sperner-poset
• Strikt ordning . Se strikt delordning .
• Strikt delordning . En strikt partiell ordning är en homogen binär relation som är transitiv , irreflexiv och antisymmetrisk .
• Strikt förbeställning . Se strikt delordning .
• Supremum . För en poset P och en delmängd X av P kallas det minsta elementet i uppsättningen av övre gränser för X (om det finns, vilket det kanske inte finns) supremum , join eller minst övre gräns för X . Det betecknas med sup X eller $\bigvee$ X . Det högsta av två element kan skrivas som sup{ x , y } eller x ∨ y . Om mängden X är finit talar man om ett finit supremum . Den dubbla föreställningen kallas infimum .
• Suzumura konsistens . En binär relation R är Suzumura konsekvent om x R ^∗ y antyder att x R y eller inte y R x .
• Symmetrisk relation . En homogen relation R på en mängd X är symmetrisk, om x R y innebär y R x , för alla element x , y i X .

T

• Topp . Se enhet .
• Total beställning . En totalordning T är en delordning där vi för varje x och y i T har x ≤ y eller y ≤ x . Totala order kallas också linjära order eller kedjor .
• Total relation . Synonym till Connected relation .
• Transitiv relation . En relation R på en mängd X är transitiv, om x R y och y R z innebär x R z , för alla element x , y , z i X .
• Transitiv stängning . Den transitiva stängningen R ^∗ av en relation R består av alla par x , y för vilka det finns en finit kedja x Ra , a Rb , ..., z Ry .

U

• Enhet . Det största elementet i en poset P kan kallas enhet eller bara 1 (om det finns). En annan vanlig term för detta element är topp . Det är infimum av den tomma mängden och supremum av P . Den dubbla begreppet kallas noll .
• Upprörd . Se övre set .
• Övre gräns . En övre gräns för en delmängd X av en poset P är ett element b av P , så att x ≤ b , för alla x i X . Den dubbla begreppet kallas nedre gräns .
• Övre set . En delmängd X av en poset P kallas en övre mängd om, för alla element x i X och p i P , x ≤ p antyder att p finns i X . Den dubbla begreppet kallas lägre mängd .

V

• Värdering . Givet ett gitter ${\displaystyle X} är$ en värdering $\nu :X\to [0,1]$ strikt (det vill säga $\ nu (\varnothing )=0$ ), monoton, modulär (det vill säga ${\displaystyle \nu (U)+\ nu (V)=\nu (U\cup V)+\nu (U\cap V)} )$ och positiv. Kontinuerliga värderingar är en generalisering av mått.

W

• Långt under förhållande . I en poset P är något element x långt under y , skrivet x << y , om för alla riktade delmängder D av P som har ett supremum, innebär y ≤ sup D x ≤ d för något d i D . Man säger också att x approximerar y . Se även domänteori .
• Svag ordning . En partiell ordning ≤ på en uppsättning X är en svag ordning förutsatt att poset (X, ≤) är isomorf till en räkningsbar samling av uppsättningar ordnade genom jämförelse av kardinalitet .

Z

• 0 Noll . Det minsta elementet i en poset P kan kallas noll eller bara (om det finns). En annan vanlig term för detta element är botten . Noll är det högsta av den tomma mängden och infimumet för P . Den dubbla föreställningen kallas enhet .

Anteckningar

Definitionerna som ges här överensstämmer med de som finns i följande standardreferensböcker:

• BA Davey och HA Priestley, Introduction to Lattices and Order , 2nd Edition, Cambridge University Press, 2002.
• G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove och DS Scott, Continuous Lattices and Domains , In Encyclopedia of Mathematics and its Applications , Vol. 93, Cambridge University Press, 2003.

Specifika definitioner:

•   Deng, Bangming (2008), Finita dimensionella algebror och kvantgrupper , Matematiska undersökningar och monografier, vol. 150, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4186-0