Ordningskonvergens

Inom matematik, specifikt för ordningsteori och funktionell analys , är ett filter ${\mathcal {F}}$ i en ordning komplett vektorgitter $X$ ordningskonvergent om det innehåller en ordningsbunden delmängd (dvs. , ingår i ett intervall av formen $[a,b]:=\{x\in X:a\leq x {\text{ och }}x\leq b\}$ ) och om ${\mathcal {F}},$

$$\sup \left\{\inf S:S\in \operatörsnamn {OBound} (X)\cap {\mathcal {F}}\right\}=\inf \left\{\sup S:S\in \operatorname {OBound} (X)\cap {\mathcal {F}} \höger\},$$

där $\operatorname {OBound} (X)$ är mängden av alla ordningsbegränsade delmängder av X , i vilket fall detta gemensamma värde kallas ordningsgränsen för F $\displaystyle {\mathcal {F }}}$ i $X.$

Ordningskonvergens spelar en viktig roll i teorin om vektorgitter eftersom definitionen av ordningskonvergens inte beror på någon topologi.

Definition

Ett nät $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ i ett vektorgitter $X$ sägs minska till $x_{0}\in X$ om $\alpha \leq \beta$ innebär $x_{\beta }\leq x_{\alpha }$ och $x_{0}=inf\left\{x_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ i $X.$ Ett nät $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ i ett vektorgitter $X$ sägs att beställa-konvergera till $x_{0}\in X$ om det finns ett netto $\left(y_{\alpha }\right)_{\alpha \ i A}$ i $X$ som minskar till $0$ och uppfyller $\left|x_{\alpha }-x_{0}\right|\leq y_{\alpha }$ för alla $\alpha \in A$ .

Beställningskontinuitet

En linjär karta $T:X\to Y$ mellan vektorgitter sägs vara ordningskontinuerlig om närhelst $\left(x_{\alpha }\right) _{\alpha \in A}$ är ett nät i $X$ som ordningskonvergerar till $x_{0}$ i $X,$ sedan nätet $\left(T\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}$ ordning-konvergerar till $T\left( x_{0}\right)$ i $Y.$$T$ sägs vara kontinuerlig ordningsföljd om närhelst $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N } }$ är en sekvens i $X$ som ordningskonvergerar till $x_{0}$${ \displaystyle \left(T\left(x_{n}\right)\right)_{n\in \mathbb {N} }} order-konvergerar$ X $\displaystyle X,}$ sedan sekvensen till $T\left(x_{0} \right)$ i $Y.$

Relaterade resultat

I ett komplett vektorgitter $X$ vars ordning är regelbunden, är $X$ av minimal typ om och endast om varje ordningskonvergent filter i $X$ konvergerar när $X$ är utrustad med ordningstopologin .

Se även

• Banach -gitter – Banach-utrymme med en kompatibel struktur av ett gitter Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Fréchet galler
• Lokalt konvext galler
• Normerat galler
• Vektorgitter – Delvis ordnat vektorutrymme, ordnat som ett gitter Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål

•    Khaleelulla, SM (1982). Motexempel i topologiska vektorutrymmen . Föreläsningsanteckningar i matematik . Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .