Beställ dubbel (funktionsanalys)

För annan användning, se Order dual (disambiguation) .

Inom matematik, specifikt för ordningsteori och funktionsanalys , är ordningsdualen för ett ordnat vektorrum $X}$ displaystyle mängden $\operatorname {Pos} \ vänster(X^{*}\right)-\operatörsnamn {Pos} \left(X^{*}\right)$ där $\operatörsnamn {Pos} \left(X^{* }\right)$ betecknar mängden av alla positiva linjära funktioner på $X$ , där en linjär funktion $f$ på $X$ kallas positiv om för alla ${\ displaystyle x\in X,}$$x\geq 0$ innebär $f(x)\geq 0.$ Ordningsdual av $X$ betecknas med $X^{+}$ . Tillsammans med det relaterade konceptet med den ordningsbundna dualen spelar detta utrymme en viktig roll i teorin om ordnade topologiska vektorrum .

Kanonisk beställning

Ett element $f$ av ordningen dual av $X$ kallas positivt om $x\geq 0$ innebär $\operatorname {Re } f(x)\geq 0.$ De positiva elementen i ordningsdual bildar en kon som inducerar en ordning på $X^{+}$ som kallas den kanoniska ordningen . Om $X$ är ett ordnat vektorrum vars positiva kon $C$ genererar (det vill säga $X=CC$ ) så är ordningsdualen med den kanoniska ordningen en ordnat vektorutrymme. Ordningsdual är omfånget för uppsättningen positiva linjära funktionaler på $X$ .

Egenskaper

Beställningsdualen ingår i den ordningsbundna dubbla . Om den positiva konen för ett ordnat vektorrum ${\displaystyle X} och om$ genererar $[0,x]+[0,y]= [0,x+y]$ gäller för alla positiva $x$ och $y$ , då är ordningen dual lika med den ordningsbundna dual, som är ett ordningskomplett vektorgitter under dess kanoniska ordning.

Ordningsdual av ett vektorgitter är ett ordningskomplett vektorgitter. Ordningsdualen för ett vektorgitter $X$ kan vara ändlig dimension (möjligen till och med $\{0\}$ ) även om $X$ är oändlig dimensionell.

Beställ bidual

Antag att $X$ är ett ordnat vektorrum så att den kanoniska ordningen på $X^{+}$ gör $X^{+}$ till ett ordnat vektorrum. Då ordningsbidualen till att vara ordningsdual av $X^{+}$ och betecknas med $X^{++}$ . Om den positiva konen för ett ordnat vektorrum ${\displaystyle X} och om$ genererar $[0,x]+[0,y]= [0,x+y]$ gäller för alla positiva $x$ och $y$ , sedan är $X^{++}$ ett ordningskomplett vektorgitter och utvärderingskartan $X\to X^{++}$ är ordningsbevarande. I synnerhet, om $X$ är ett vektorgitter så är $X^{++}$ ett ordningskomplett vektorgitter.

Minimalt vektorgitter

Om $X$ är ett vektorgitter och om $G$ är ett fast delrum av $X^{+}$ som separerar punkter i $X$ , då är utvärderingskartan $X\to G^{+}$ definieras genom att skicka $x\in X$ till kartan $E_{x}:G^ {+}\to \mathbb {C}$ ges av $E_{x}(f):=f(x)$ , är en gitterisomorfism av ${\ displaystyle X}$ på ett vektorundergitter av G $\displaystyle G^{+}}$ . Men bilden av denna karta är i allmänhet inte ordningsklar även om $X$ är ordningsklar. I själva verket behöver inte ett regelbundet ordnat, ordningskomplett vektorgitter avbildas av utvärderingskartan på ett band i ordningens bidual. Ett komplett, regelbundet ordnat vektorgitter vars kanoniska bild i sin ordningsföljd bidual är ordningsklar kallas minimal och sägs vara av minimal typ .

Exempel

För alla $1<p<\infty$ , är Banach-gittret $L^{p}(\mu )$ ordning komplett och av minimal typ; i synnerhet är normtopologin på detta utrymme den finaste lokalt konvexa topologin för vilken varje ordningskonvergent filter konvergerar.

Egenskaper

Låt $X$ vara ett ordningskomplett vektorgitter av minimal typ. För alla $x\in X$ så att $x>0,$ är följande ekvivalenta:

1. $x$ är en enhet med svag ordning .
2. För varje icke-0 positiv linjär funktionell $f$ på $X$ , $f(x)>0.$
3. För varje topologi $\tau$ på $X$ så att $(X,\tau )$ är ett lokalt konvext vektorgitter , $x$ är ett kvasi -inre spets av dess positiva kon.

Relaterade begrepp

Ett ordnat vektorrum $X$ kallas regelbundet och dess ordning sägs vara regelbundet om det är arkimediskt ordnat och $X^{+}$ särskiljer punkter i $X$ .

Se även

• Algebraiskt dubbelrum – I matematik, vektorrum av linjära former Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Kontinuerligt dubbelt utrymme – I matematik, vektorrum av linjära former Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Dubbelrum – I matematik, vektorrum av linjära former
• Beställningsbunden dubbel

Bibliografi

•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .