Dubbelkon och polarkon

En uppsättning C och dess dubbla kon C ^* .

En uppsättning C och Co. ^dess polära kon Den dubbla könen och den polära könen är symmetriska till varandra med avseende på ursprunget.

Dubbel kon och polär kon är närbesläktade begrepp inom konvex analys , en gren av matematiken .

Dubbel kon

I ett vektorutrymme

Den dubbla könen C ^{* av} en delmängd C i ett linjärt rymd X över realerna , t.ex. euklidiskt rymd Rn , med dubbelrum X ^* är mängden

$C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},$

där $\langle y,x\rangle$ är dualitetsparningen mellan X och X ^* , dvs $\langle y,x\rangle =y (x)$ .

C ^* är alltid en konvex kon , även om C varken är konvex eller en kon .

I ett topologiskt vektorrum

Om X är ett topologiskt vektorrum över de reella eller komplexa talen, då är den dubbla konen i en delmängd C ⊆ X följande uppsättning av kontinuerliga linjära funktionaler på X :

$C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }: \operatörsnamn {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ för alla }}x\in C\right\}$ ,

som är uppsättningens polar - C . Oavsett vad C är, kommer ${\displaystyle C^{\prime }} att vara en konvex kon.$ Om C ⊆ {0} så är $C^{\prime }=X^{\prime }$ .

I ett Hilbert-utrymme (intern dubbel kon)

Alternativt definierar många författare den dubbla konen i sammanhanget av ett verkligt Hilbert-rum (som R ⁿ utrustad med den euklidiska inre produkten) för att vara det som ibland kallas den inre dubbla konen .

$C_{\text{intern}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.$

Med den senare definitionen för C ^* har vi att när C är en kon, gäller följande egenskaper:

• y som inte är noll är i C ^* om och endast om båda följande villkor gäller:

1. y är en normal vid ursprunget för ett hyperplan som stöder C .
2. y och C ligger på samma sida av det stödjande hyperplanet.

• C ^* är stängd och konvex.
• $C_{1}\subseteq C_{2}$ innebär $C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}$ .
• Om C har icke-tomt inre, är C ^* spetsig , dvs C* innehåller ingen linje i sin helhet.
• Om C är en kon och förslutningen av C är spetsig, så har C ^* icke-tomt inre.
• C ^** är stängningen av den minsta konvexa konen som innehåller C (en konsekvens av hyperplanseparationssatsen )

Självdubbla koner

En kon C i ett vektorrum X sägs vara självdual om X kan utrustas med en inre produkt ⟨⋅,⋅⟩ så att den inre dubbelkonen relativt denna inre produkt är lika med C . De författare som definierar den dubbla konen som den inre dubbla konen i ett verkligt Hilbert-rum brukar säga att en kon är självdual om den är lika med dess interna dual. Detta skiljer sig något från definitionen ovan, som tillåter en förändring av inre produkt. Till exempel gör definitionen ovan en kon i Rn med ellipsoid ^bas självdual, eftersom den inre produkten kan ändras för att göra basen sfärisk, och en kon med sfärisk bas i Rn är lika med dess inre dual ^.

Den icke-negativa ortanten för R ⁿ och utrymmet för alla positiva semidefinita matriser är självduala, liksom kottarna med ellipsoid bas (ofta kallade "sfäriska kottar", "Lorentz-strutar", eller ibland "glasstrutar"). Så är alla koner i R ³ vars bas är det konvexa skrovet av en vanlig polygon med ett udda antal hörn. Ett mindre regelbundet exempel är konen i R ³ vars bas är "huset": det konvexa skrovet på en kvadrat och en punkt utanför kvadraten som bildar en liksidig triangel (med lämplig höjd) med en av kvadratens sidor.

Polarkon

Polaren för den slutna konvexa könen C är den stängda konvexa könen Co ^, och vice versa.

För en mängd C i X är den polära konen av C mängden

$C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.$

Det kan ses att den polära könen är lika med den negativa av dubbelkonen, dvs Co = ^. − C ^*

För en sluten konvex kon C i X är polarkonen ekvivalent med den polära uppsättningen för C .

Se även

• Bipolär teorem
• Polar set

Bibliografi

•   Boltyanski, VG ; Martini, H.; Soltan, P. (1997). Utflykter i kombinatorisk geometri . New York: Springer. ISBN 3-540-61341-2 .
•   Goh, CJ; Yang, XQ (2002). Dualitet i optimering och variationsmässiga ojämlikheter . London; New York: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•   Ramm, AG (2000). Shivakumar, PN; Strauss, AV (red.). Operatörsteori och dess tillämpningar . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1990-9 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .