Direkt produkt

I matematik kan man ofta definiera en direkt produkt av objekt som redan är kända, vilket ger en ny. Detta generaliserar den kartesiska produkten av de underliggande uppsättningarna , tillsammans med en lämpligt definierad struktur på produktuppsättningen. Mer abstrakt talar man om produkten i kategoriteori , som formaliserar dessa föreställningar.

Exempel är produkten av mängder, grupper (beskrivs nedan), ringar och andra algebraiska strukturer . Produkten av topologiska utrymmen är ett annat exempel .

Det finns också den direkta summan – i vissa områden används detta omväxlande, medan det i andra är ett annat koncept.

Exempel

• Om vi ​​tänker på $\mathbb {R}$ som mängden reella tal, så är den direkta produkten $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ bara den kartesiska produkten $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.$
• Om vi ​​tänker på $\mathbb {R}$ som gruppen av reella tal under addition, så har den direkta produkten $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ fortfarande $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ som dess underliggande mängd. Skillnaden mellan detta och föregående exempel är att $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ nu är en grupp, så vi måste också säga hur man lägger till deras element. Detta görs genom att definiera $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).$
• Om vi ​​tänker på $\mathbb {R}$ som ringen av reella tal, så har den direkta produkten $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ återigen $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ som dess underliggande mängd. Ringstrukturen består av addition definierad av $(a,b)+(c,d)=(a+c,b +d)$$(a,b)(c,d)=(ac,bd).$ definierad av
• Även om ringen $\mathbb {R}$ är ett fält , är $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ inte ett, eftersom elementet $(1,0)$ har inte en multiplikativ invers .

På liknande sätt kan vi prata om den direkta produkten av ändligt många algebraiska strukturer, till exempel ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .} Detta$ förlitar sig på det faktum att den direkta produkten är associativ upp till isomorfism . Det vill säga $(A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)$ för alla algebraiska strukturer ${\ displaystyle A,}$$B,$ och $C$ av samma typ. Den direkta produkten är också kommutativ upp till isomorfism, det vill säga $A\times B\cong B\times A$ för alla algebraiska strukturer $A$ och $B$ av samma slag. Vi kan till och med tala om den direkta produkten av oändligt många algebraiska strukturer; till exempel kan vi ta den direkta produkten av oräkneligt många kopior av $\mathbb {R} ,$ som vi skriver som $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .$

Grupp direkt produkt

Huvudartiklar: Direkt produkt av grupper och direkt summa

I gruppteorin kan man definiera den direkta produkten av två grupper $(G,\circ )$ och $(H,\cdot ),$ betecknade med $G\times H.$ För abelska grupper som skrivs additivt kan det också kallas den direkta summan av två grupper , betecknade med $G\oplus H.$

Den definieras enligt följande:

• uppsättningen av elementen i den nya gruppen är den kartesiska produkten av uppsättningarna av element av $G{\text{ och }}H,$ , $\{(g,h):g\in G,h\in H\};$ vill säga
• på dessa element sätt en operation, definierad elementmässigt:
  $$(g,h)\times \left(g',h'\right)=\left( g\circ g',h\cdot h'\right)$$

Observera att $(G,\circ )$ kan vara samma som $(H,\cdot ).$

Denna konstruktion ger en ny grupp. Den har en normal undergrupp som är isomorf till $G$ (given av elementen i formen $(g,1)$ ), och en isomorf till $H$ (som omfattar element $(1,h)$ ).

Det omvända gäller också. Det finns följande igenkänningssats: Om en grupp $K$ innehåller två normala undergrupper $G{\text{ och }}H,$ så att $K=GH$ och skärningspunkten mellan $G{\text{ och }}H$ innehåller endast identiteten, då är $K$ isomorf till $G\times H.$ En uppmjukning av dessa villkor, som kräver att endast en undergrupp är normal, ger den halvdirekta produkten .

Som ett exempel, ta som $G{\text{ och }}H$ två kopior av den unika (upp till isomorfismer) gruppen av ordning 2, $C^{2}:$ säg ${\displaystyle \{1,a\}{\text{ och }}\{1,b\}.} Då$ C $C_{2}\ gånger C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\} ,$ med operationen element för element. Till exempel, ${\displaystyle (1,b)^{*}(a,1)=\ vänster(1^{*}a,b^{*}1\höger)=(a,b),} och$ ( $(1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).$

Med en direkt produkt får vi några naturliga grupphomomorfismer gratis: projektionskartorna definierade av

$${\begin{aligned}\pi _{1 }:G\ gånger H\ till G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\ gånger H\till H,\ \ \pi _{2 }(g,h)&=h\end{aligned}}$$

kallas koordinatfunktionerna .

Dessutom bestäms varje homomorfism $f$ till den direkta produkten helt av dess komponentfunktioner $f_{i}=\pi _{i}\circ f.$

För vilken grupp som helst $(G,\circ )$ och alla heltal $n\geq 0,$ upprepad tillämpning av den direkta produkten gruppen av alla $n$ - tupler $G^{n}$ (för $n=0,$ är detta den triviala gruppen ), till exempel $\mathbb {Z} ^{n}$ och $\mathbb {R} ^{n}.$

Direkt produkt av moduler

Den direkta produkten för moduler (inte att förväxla med tensorprodukten ) är mycket lik den som definierats för grupper ovan, med den kartesiska produkten med additionsoperationen som komponentvis, och den skalära multiplikationen bara fördelar över alla komponenterna. Utgående från $\mathbb {R}$ får vi det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{n},$ det prototypiska exemplet på ett verkligt $n$ -dimensionellt vektorrum. Den direkta produkten av $\mathbb {R} ^{m}$ och $\mathbb {R} ^{n}$ är $\mathbb {R} ^{m+n}.$

Observera att en direkt produkt för ett ändligt index ${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ är kanoniskt isomorf till den direkta summan ${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$ Den direkta summan och direktprodukten är inte isomorfa för oändliga index, där elementen i en direkt summa är noll för alla utom för ett ändligt tal av poster. De är dubbla i betydelsen kategoriteori : den direkta summan är samprodukten , medan den direkta produkten är produkten.

Tänk till exempel ${\textstyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$ och ${\textstyle Y =\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ,}$ den oändliga direkta produkten och direkta summan av de reella talen. Endast sekvenser med ett ändligt antal element som inte är noll finns i $Y.$ Till exempel, $(1,0,0,0,\ldots )$ är i $Y$ men $(1,1,1,1,\ldots )$ är det inte. Båda dessa sekvenser är i den direkta produkten $X;$ faktiskt, $Y$ är en riktig delmängd av $X$ (det vill säga $Y\subset X$ ).

Topologisk rymddirekt produkt

Den direkta produkten för en samling topologiska utrymmen $X_{i}$ för $i$ i $I,$ någon indexuppsättning, använder sig återigen av den kartesiska produkten

$$\prod _{i\in I}X_{i}.$$

Att definiera topologin är lite knepigt. För ändligt många faktorer är detta det självklara och naturliga att göra: ta helt enkelt som bas för öppna uppsättningar att vara samlingen av alla kartesiska produkter av öppna delmängder från varje faktor:

$${\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ :\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\ höger\}.$$

Denna topologi kallas produkttopologin . Till exempel, direkt definiering av produkttopologin på $\mathbb {R} ^{2}$ med de öppna uppsättningarna av $\mathbb {R}$ (disjunkta fackföreningar av öppna intervall), grunden för denna topologi skulle bestå av alla osammanhängande föreningar av öppna rektanglar i planet (som det visar sig sammanfaller den med den vanliga metriska topologin).

Produkttopologin för oändliga produkter har en twist, och detta har att göra med att kunna göra alla projektionskartor kontinuerliga och att göra alla funktioner i produkten kontinuerliga om och bara om alla dess komponentfunktioner är kontinuerliga (det vill säga att uppfylla den kategoriska definitionen av produkt: morfismerna här är kontinuerliga funktioner): vi tar som bas för öppna uppsättningar att vara samlingen av alla kartesiska produkter av öppna delmängder från varje faktor, som tidigare, med förbehållet att alla utom ändligt många av de öppna delmängder är hela faktorn:

$${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ :\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{ j_{i}}\ \mathrm {öppen\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {och} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_ {i}=X_{i})\right\}.$$

Den mer naturligt klingande topologin skulle i detta fall vara att ta produkter av oändligt många öppna delmängder som tidigare, och detta ger en något intressant topologi, boxtopologin . Det är dock inte så svårt att hitta ett exempel på en massa kontinuerliga komponentfunktioner vars produktfunktion inte är kontinuerlig (se den separata inmatningsrutans topologi för ett exempel och mer). Problemet som gör vridningen nödvändig bottnar i slutändan i det faktum att skärningen av öppna mängder endast garanterat är öppen för ändligt många mängder i definitionen av topologi.

Produkter (med produkttopologin) är bra med avseende på att bevara egenskaperna hos deras faktorer; till exempel är produkten av Hausdorff-utrymmen Hausdorff; produkten av sammankopplade utrymmen är ansluten, och produkten av kompakta utrymmen är kompakt. Den sista, kallad Tychonoffs sats , är ännu en motsvarighet till valets axiom .

För fler egenskaper och likvärdiga formuleringar, se den separata produkttopologin .

Direkt produkt av binära relationer

På den kartesiska produkten av två mängder med binära relationer $R{\text{ och }}S,$ definierar ${\displaystyle (a,b)T( c,$$aRc{\text{ och }}bSd.$ som Om $R{\text{ och }}S$ båda är reflexiva , irreflexiva , transitiva , symmetriska eller antisymmetriska , då $T$ kommer också att vara. På liknande sätt ärvs totaliteten av ${\displaystyle T} från$$R{\text{ och }}S.$ Genom att kombinera egenskaper följer att detta även gäller för att vara en förordning och vara en ekvivalensrelation . Men om $R{\text{ och }}S$ är sammankopplade relationer behöver ${\displaystyle T} inte vara sammankopplade$ ; till exempel, den direkta produkten av $\,\leq \,$ på $\mathbb {N}$ med sig själv relaterar inte $(1,2){\text{ och }}(2,1).$

Direkt produkt i universell algebra

Om $\Sigma$ är en fast signatur , är $I$ en godtycklig (möjligen oändlig) indexuppsättning, och $\left(\mathbf {A} _{ i}\right)_{i\in I}$ är en indexerad familj av $\Sigma$ algebror, den direkta produkten ${\textstyle \mathbf {A} =\prod _ {i\in I}\mathbf {A} _{i}}$ är en $\Sigma$ algebra definierad enligt följande:

• Universummängden $A$ av $\mathbf {A}$ är den kartesiska produkten av universummängderna $A_{i}$ av $\mathbf {A} _{i},$ formellt: ${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• För varje $n$ och varje $n$ -är operationssymbol $f\in \Sigma ,$ dess tolkning $f^{\mathbf {A} }$ i ${\displaystyle \mathbf {A} } komponentvis, formellt: för alla$ definieras $a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A$ och varje $i\in I,$ den ${\displaystyle i}:$ e komponenten av $f^{\mathbf {A} }\!\left (a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)$ definieras som $f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).$

För varje $i\in I,$ är ${\displaystyle i}:$ e projektionen $\pi _{i}:A\to A_{i}$ definieras av $\pi _{i}(a)=a(i).$ Det är en surjektiv homomorfism mellan $\Sigma$ algebrorna $\mathbf {A} {\text{ och }}\mathbf {A} _{i}.$

Som ett specialfall, om indexmängden $I=\{1,2\},$ den direkta produkten av två $\Sigma$ algebror ${ \displaystyle \mathbf {A} _{1}{\text{ och }}\mathbf {A} _{2}}$ erhålls, skrivet som $\mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}.$ Om $\Sigma$ bara innehåller en binär operation $f ,$ ovanstående $A_{1}=G,A_{2}=H,$ av den direkta produkten av grupper erhålls genom att använda notationen A ${\displaystyle f^{A_{1}}=\circ ,\ f^{A_{2}}=\cdot ,\ {\text{ och }}f^{A}=\times .} På liknande sätt är$ definitionen av den direkta produkten av moduler subsumeras här.

Kategorisk produkt

Huvudartikel: Produkt (kategoriteori)

Den direkta produkten kan abstraheras till en godtycklig kategori . I en kategori, givet en samling objekt $(A_{i})_{i\in I}$ indexerade av en uppsättning $I$ , är en produkt av dessa objekt ett objekt $A$ tillsammans med morfismer $p_{i}\colon A\to A_{i}$ för alla $i\in I$ , t.ex. att om $B$ är något annat objekt med morfismer $f_{i}\colon B\to A_{i}$ för alla $i\in I$ , det finns en unik morfism $B\to A$ vars komposition med $p_{i}$ är lika med $f_{i}$ för varje $i$ . Sådana $A$ och $(p_{i})_{i\in I}$ finns inte alltid. Om de existerar är $(A,(p_{i})_{i\in I})$ unik upp till isomorfism, och $A$ betecknas $\prod _{i\in I}A_{i}$ .

I det speciella fallet med kategorin av grupper finns alltid en produkt: den underliggande uppsättningen av $\prod _{i\in I}A_{i}$ är den kartesiska produkten av de underliggande uppsättningarna av $A_{i}}$$p_{i}\colon A\to A_{i}$ är gruppoperationen komponentvis multiplikation, och (homo)morfismen är projektionen som skickar varje tupel till dess ${\displaystyle i}:$ e koordinat.

Intern och extern direkt produkt

Se även: Intern direkt summa

Vissa författare gör skillnad mellan en intern direkt produkt och en extern direkt produkt. Om $A,B\subseteq X$ och $A\times B\cong X,$ så säger vi att $X$ är en intern direkt produkt av $A{\text{ och }}B,$ medan om $A{\text{ och }}B$ inte är subobjekt så säger vi att detta är en extern direktprodukt .

Se även

• Direkt summa – Operation i abstrakt algebra som komponerar objekt till "mer komplicerade" objekt
• Kartesisk produkt – Matematisk uppsättning bildad av två givna uppsättningar
• Samprodukt – Kategoriteoretisk konstruktion
• Gratis produkt – operation som tar två grupper G och H och konstruerar en ny grupp G ∗ H Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Halvdirekt produkt – Operation i gruppteori
• Zappa–Szep-produkt – Matematikkoncept Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Tensorprodukt av grafer – Operation i grafteori
• Beställningar på den kartesiska produkten av helt beställda set – Beställning vars delar alla är jämförbara

Anteckningar

•    Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , vol. 211 (Reviderad tredje upplagan), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556