Galler disjunkt

Inom matematiken, specifikt för ordningsteori och funktionell analys , är två element x och y ${\displaystyle \inf \left\{|x|,|y|\right\}=0} ,$ ett vektorgitter X gitter disjunkta eller helt enkelt disjunkta om i vilket fall vi skriver $x\perp y$ , där det absoluta värdet av x är definieras som $|x|:=\sup \left\{x,-x\right\}$ . Vi säger att två uppsättningar A och B är lattice disjunkte eller disjunkta om a och b är disjunkta för alla a i A och alla b i B , i vilket fall vi skriver $A\perp B$ . Om A är singeluppsättningen $\{a\}$ så kommer vi att skriva $a\perp B$ istället för $\{a\}\ perp B$ . För varje uppsättning A definierar vi det disjunkta komplementet till att vara mängden $A^{\perp }:=\left\{x\in X:x\perp A\right\}$ .

Karakteriseringar

Två element x och y är disjunkta om och endast om $\sup\{|x|,|y|\}=|x|+|y|$ . Om x och y är disjunkta så $|x+y|=|x|+|y|$ och $\left(x+y\right)^{+}=x^{ +}+y^{+}$ , där för alla element z , $z^{+}:=\sup \left\{z,0\right\}$ och $z^{-}:=\sup \left\{-z,0\right\}$ .

Egenskaper

Osammanhängande komplement är alltid band , men det omvända är inte sant i allmänhet. Om A är en delmängd av X så att $x=\sup A$ existerar, och om B är ett delmängdsgitter i X som är disjunkt från A , då är B ett gitterdisjunkt från ${ \displaystyle \{x\}}$ .

Representation som en osammanhängande summa av positiva element

För valfritt x i X , låt $x^{+}:=\sup \left\{x,0\right\}$ och ${\displaystyle x^{-}:=\sup \left\{-x,0\right\}} ,$ där observera att båda dessa element är $\geq 0$ och $x=x^{+}-x^{-}$ med $|x|=x^{+}+x^{-}$ . Då $x^{+}$ och $x^{-}$ disjunkta, och $x=x^{+}-x^{- }$ är den unika representationen av x som skillnaden mellan disjunkta element som är $\geq 0$ . För alla x och y i X , $\left|x^{+}-y^{+}\right|\leq |xy|$ och $x+y =\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}$ . Om y ≥ 0 och x ≤ y så är x ⁺ ≤ y . Dessutom, $x\leq y$ om och endast om $x^{+}\leq y^{+}$ och $x^ {-}\leq x^{-1}$ .

Se även

• Solid set
• Lokalt konvext vektorgitter
• Vector galler

Källor

•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 3. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .