Produktorder

För affärsidé, se inköpsorder .

Hasse diagram över produktordern på $\mathbb {N}$ × $\mathbb {N}$

I matematik , givet två förbeställda uppsättningar $\displaystyle A}$ { och $\displaystyle B,} är$$A\times B.$ produktordningen (även kallad koordinatordningen eller komponentvis ordningen ) en delordning på den kartesiska produkten Givet två par $\left(a_{1},b_{1}\right)$ och $\ left(a_{2},b_{2}\right)$ i $A\times B,$ deklarerar att $\ left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)$ om och endast om $a_{1}\leq a_{2}$ och $b_{1}\leq b_{2}.$

En annan möjlig ordning på $A\times B$ är den lexikografiska ordningen , som är en total ordning . Produktordern för två helt beställda uppsättningar är dock inte i allmänhet total; till exempel är paren $(0,1)$ och $(1,0)$ ojämförbara i produktordningen för beställningen $0<1$ med sig själv. Den lexikografiska ordningen för totalt ordnade uppsättningar är en linjär förlängning av deras produktordning, och därför är produktordningen en subrelation till den lexikografiska ordningen.

Den kartesiska produkten med produktordern är den kategoriska produkten i kategorin delbeställda set med monotona funktioner .

Produktordningen generaliserar till godtyckliga (möjligen oändliga) kartesiska produkter. Antag att $A\neq \varnothing$ är en mängd och för varje $a\in A,$$\left(I_{a},\ leq \right)$ är en förbeställd uppsättning. Sedan definieras produktförbeställningen på ${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a}} genom att deklarera för valfritt$$i_{\ bullet }=\left(i_{a}\right)_{a\in A}$ och $j_{\bullet }=\left(j_{a}\right )_{a\in A}$ i $\prod _{a\in A}I_{a},$ att

$i_{\bullet }\leq j_{\bullet }$ om och bara om $i_{a}\leq j_{a}$ för varje $a\in A.$

Om varje $\left(I_{a},\leq \right)$ är en delorder så är produktens förbeställning det också.

Dessutom, givet en uppsättning ${\displaystyle A,} kan$ produktordningen över den kartesiska produkten $\prod _{a\in A}\{0,1\}$ vara identifieras med inkluderingsordningen av delmängder av $A.$

Begreppet gäller lika väl för förbeställningar . Produktordern är också den kategoriska produkten i ett antal rikare kategorier, inklusive gitter och booleska algebror .

Se även

• Direkt produkt av binära relationer
• Exempel på delorder
• Stjärnprodukt , ett annorlunda sätt att kombinera delbeställningar
• Beställningar på den kartesiska produkten av helt beställda set
• Ordinalsumman av delorder
• Ordnat vektorutrymme – Vektorutrymme med en delordning