Omvänd relation

För omvända samband i statistik, se negativt samband .

I matematik är den omvända relationen , eller transponera , av en binär relation den relation som uppstår när elementens ordning växlas i relationen. Till exempel, motsatsen till relationen 'barn till' är relationen 'förälder till'. I formella termer, om $X$ och $Y$ är mängder och $L\subseteq X\times Y$ är en relation från $X$ till $Y,$ sedan $L^{\operatörsnamn {T} }$ är relationen definierad så att $yL^{\operatörsnamn {T} }x$ om och endast om $xLy.$ I set-builder-notation ,

$L^{\operatörsnamn {T} }=\{(y,x)\i Y\ gånger X:(x,y)\i L\}.$

Notationen är analog med den för en invers funktion . Även om många funktioner inte har en invers, har varje relation en unik motsats. Den unära operationen som kartlägger en relation till den omvända relationen är en involution , så den inducerar strukturen av en halvgrupp med involution på de binära relationerna på en mängd, eller, mer allmänt, inducerar en dolkkategori på kategorin av relationer som beskrivs nedan . . Som en unär operation pendlar det omvända (ibland kallat konvertering eller transponering ) med de ordningsrelaterade operationerna i relationskalkylen, det vill säga den pendlar med union, skärning och komplement.

Eftersom en relation kan representeras av en logisk matris , och den logiska matrisen av den omvända relationen är transponeringen av originalet, kallas den omvända relationen också transponeringsrelationen . Det har också kallats motsatsen eller dual av den ursprungliga relationen, eller inversen av den ursprungliga relationen, eller den reciproka $L^{\circ }$ av relationen $L.$

Andra notationer för den omvända relationen inkluderar $L^{\operatörsnamn {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^ {\circ },$ eller $L^{\vee }.$

Exempel

För de vanliga (kanske strikta eller partiella) ordningsrelationerna är det omvända den naivt förväntade "motsatta" ordningen, till exempel ${\leq ^{\operatörsnamn {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatörsnamn {T} }}={>}.$

En relation kan representeras av en logisk matris som t.ex

$${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$$

Då representeras det omvända förhållandet av dess transponeringsmatris :

$${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.$$

Motsatsen till släktskapsrelationer heter: " $A$ är ett barn till $B$ " har converse " $B$ är en förälder till $A$ ". " $A$ är en brorson eller systerdotter till $B$ " har konversera " $B$ är en farbror eller faster till $A$ ". Relationen " $A$ är ett syskon till $B$ " är sin egen motsats, eftersom det är en symmetrisk relation.

Egenskaper

I monoiden av binära endorelationer på en mängd (där den binära operationen på relationer är sammansättningen av relationer ) uppfyller inte den omvända relationen definitionen av en invers från gruppteorin, det vill säga om $L$ är en godtycklig relation på $X,$ sedan $L\circ L^{\operatörsnamn {T} }$ är inte lika med identitetsrelationen på $X$ i allmänhet. Den omvända relationen uppfyller de (svagare) axiomen för en halvgrupp med involution : $\left(L^{\operatörsnamn {T} }\right)^{\operatörsnamn {T} }= L$ och $(L\circ R)^{\operatörsnamn {T} }=R^{\operatörsnamn {T} }\circ L^{\operatörsnamn {T} }.$

Eftersom man generellt kan betrakta relationer mellan olika mängder (som bildar en kategori snarare än en monoid, nämligen kategorin relationer Rel ), överensstämmer i detta sammanhang den omvända relationen med axiomen för en dolkkategori (aka kategori med involution). En relation lika med dess motsats är en symmetrisk relation ; i dolkkategoriernas språk är det självtillslutande .

Dessutom är halvgruppen av endorelationer på en uppsättning också en delvis ordnad struktur (med inkludering av relationer som mängder), och faktiskt en involutiv kvantal . På samma sätt är kategorin heterogena relationer , Rel också en ordnad kategori.

I relationskalkylen pendlar konvertering (den unära operationen att ta den omvända relationen) med andra binära operationer av union och skärningspunkt . Konvertering pendlar också med unär operation av komplement samt med att ta suprema och infima. Konvertering är också förenligt med ordningen av relationer genom inkludering.

Om en relation är reflexiv , irreflexiv , symmetrisk , antisymmetrisk , asymmetrisk , transitiv , kopplad , trikotom , en partiell ordning , total ordning , strikt svag ordning , total förordning ( svag ordning ) eller en ekvivalensrelation , är dess motsats också.

Inverser

Om $I$ representerar identitetsrelationen, så kan en relation $R$ ha en invers enligt följande: $R$ kallas

högerinverterbar

om det finns en relation $X,$ kallas en höger invers av $R,$ som uppfyller $R\circ X=I.$

vänster-inverterbar

om det finns en relation $Y,$ kallas en vänsterinvers av $R,$ som uppfyller $Y\circ R=I.$

inverterbar

om den är både högerinverterbar och vänsterinverterbar.

För en inverterbar homogen relation $R,$ sammanfaller alla höger- och vänsterinverser; denna unika mängd kallas dess invers och den betecknas med $R^{-1}.$ I det här fallet gäller ${\displaystyle R^{-1}=R^{\operatörsnamn {T} }}.$

Omvänd relation för en funktion

En funktion är inverterbar om och endast om dess omvända relation är en funktion, i vilket fall den omvända relationen är den omvända funktionen.

Den omvända relationen för en funktion $f:X\to Y$ är relationen $f^{-1}\subseteq Y\times X$ definierad av $\operatörsnamn {graf} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\ gånger X:y=f(x)\}.$

Detta är inte nödvändigtvis en funktion: Ett nödvändigt villkor är att $f$ är injektiv , eftersom annars $f^{-1}$ är flervärdigt . Detta villkor är tillräckligt för att $f^{-1}$ är en delfunktion , och det är tydligt att $f^{-1}$ då är en (total) funktion om och endast om $f$ är surjektiv . I så fall, vilket betyder att om $f$ är bijektiv , kan $f^{-1}$ kallas den inversa funktionen av $f.$

Till exempel har funktionen $f(x)=2x+2$ den inversa funktionen $f^{-1 }(x)={\frac {x}{2}}-1.$

Funktionen $g(x)=x^{2}$ har dock det omvända förhållandet $g^{-1}(x )=\pm {\sqrt {x}},$ som inte är en funktion, som har flera värden.

Komposition med relation

Med hjälp av sammansättning av relationer kan det omvända komponeras med den ursprungliga relationen. Till exempel är delmängdsrelationen sammansatt med dess motsats alltid den universella relationen:

∀A ∀B ∅ ⊂ A ∩B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. På samma sätt,

För U = universum , A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B₇ B .

Tänk nu på det inställda medlemsförhållandet och dess motsats.

$A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .$

Alltså $A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .$ Den motsatta sammansättningen $\in \ni$ är den universella relationen.

Sammansättningarna används för att klassificera relationer efter typ: för en relation Q , när identitetsrelationen på intervallet Q innehåller Q ^T Q , kallas Q univalent . När identitetsrelationen på domänen av Q finns i QQ ^T , kallas Q total . När Q är både univalent och total så är det en funktion . När Q ^T är univalent, så kallas Q injektiv . När Q ^T är total, kallas Q surjektiv .

Om Q är univalent är QQ ^T en ekvivalensrelation på domänen av Q , se Transitiv relation#Related properties .

Se även

• Dualitet (ordningsteori) – term inom det matematiska området för ordningsteori Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Transponera graf – Riktad graf med omvända kanter

•   Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory , sid. 40 , ISBN 978-0-387-90092-6