Abstrakt m-utrymme

Inom matematik, specifikt för ordningsteori och funktionsanalys , är ett abstrakt m -rum eller ett AM-rum ett Banach-gitter $(X,\|\cdot \|)$ vars norm uppfyller $\left\|\sup\{x,y\}\right\|=\sup \left\{\|x\| ,\|y\|\right\}$ för alla x och y i den positiva konen av X .

Vi säger att ett AM-rum X är ett AM-rum med enhet om det dessutom finns någon u ≥ 0 i X så att intervallet [− u , u ] := { z ∈ X : − u ≤ z och z ≤ u } är lika med enhetsbollen för X ; ett sådant element u är unikt och en ordningsenhet av X .

Exempel

Den starka dualen av ett AL-utrymme är ett AM-utrymme med enhet.

Om X är ett arkimediskt ordnat vektorgitter , är u en ordningsenhet av X , och p _u är Minkowski-funktionen för ${\ displaystyle [u,-u]:=\{x\in X:-u\leq x{\text{ och }}x\leq x\},} sedan hela det semi-$ normerade utrymmet ( X , p _u ) är ett AM-utrymme med enhet u .

Egenskaper

Varje AM-mellanrum är isomorft (som ett Banach-gitter) med något slutet vektorsubgitter av något lämpligt $C_{\mathbb {R} }\left(X\right)$ . Den starka dualen av ett AM-utrymme med enhet är ett AL-utrymme .

Om X ≠ { 0 } är ett AM-mellanrum $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ enhet så är mängden K för alla extrempunkter på den positiva ytan av dubbelenhetskulan en icke-tom och svag kompakt (dvs. -compact) delmängd av $X^{\prime }$ och vidare, utvärderingskartan ${ \displaystyle I:X\to C_{\mathbb {R} }\left(K\right)}$ definierad av $I(x):=I_{x}$ (där $I_{x}:K\to \mathbb {R}$ definieras av $I_{x}(t)=\langle x ,t\rangle$ ) är en isomorfism.

Se även

• Vector galler
• AL-utrymme

Bibliografi

•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .