Specialisering (för)beställning

Inom den gren av matematik som kallas topologi , är specialiseringen (eller kanonisk ) förbeställning en naturlig förordning på uppsättningen av punkterna i ett topologiskt utrymme . För de flesta utrymmen som övervägs i praktiken, nämligen för alla de som uppfyller T - ₀ separationsaxiomet , är denna förordning till och med en partiell ordning (kallad specialiseringsordning ). Å andra sidan, för T ₁ mellanslag blir ordningen trivial och är av ringa intresse.

₀ Specialiseringsordningen övervägs ofta i tillämpningar inom datavetenskap , där T -mellanrum förekommer i denotationssemantik . Specialiseringsordningen är också viktig för att identifiera lämpliga topologier på partiellt ordnade uppsättningar, vilket görs i ordningsteori .

Definition och motivation

Betrakta vilket topologiskt utrymme X som helst . Specialiseringen förorder ≤ på X relaterar två punkter av X när den ena ligger i stängningen av den andra. Olika författare är dock oense om vilken "riktning" ordern ska gå. Vad som är överenskommet är att om

x ingår i cl{ y },

(där cl{ y } betecknar stängningen av singelmängden { y }, dvs skärningspunkten mellan alla slutna mängder som innehåller { y }), säger vi att x är en specialisering av y och att y är en generalisering av x ; detta skrivs vanligtvis y ⤳ x .

Tyvärr skrivs egenskapen " x är en specialisering av y " alternativt som " x ≤ y " och som " y ≤ x " av olika författare (se respektive och ).

Båda definitionerna har intuitiva motiveringar: i fallet med den förra har vi

x ≤ y om och endast om cl{ x } ⊆ cl{ y }.

Men i det fall där vårt rymd X är primspektrum Spec R för en kommutativ ring R (vilket är motivationssituationen i tillämpningar relaterade till algebraisk geometri ), så har vi under vår andra definition av ordningen

y ≤ x om och endast om y ⊆ x som primideal för ringen R .

För konsekvensens skull kommer vi för resten av denna artikel att ta den första definitionen, att " x är en specialisering av y " skrivs som x ≤ y . Vi ser då,

x ≤ y om och endast om x finns i alla slutna mängder som innehåller y .

x ≤ y om och endast om y ingår i alla öppna mängder som innehåller x .

Dessa omformuleringar hjälper till att förklara varför man talar om en "specialisering": y är mer generell än x , eftersom den finns i mer öppna mängder. Detta är särskilt intuitivt om man ser slutna uppsättningar som egenskaper som en punkt x kanske har eller inte. Ju fler slutna uppsättningar som innehåller en punkt, desto fler egenskaper har punkten, och desto mer speciell är den. Användningen överensstämmer med de klassiska logiska föreställningarna om släkte och art ; och även med den traditionella användningen av generiska punkter i algebraisk geometri , där slutna punkter är de mest specifika, medan en generisk punkt i ett utrymme är en som finns i varje icke-tom öppen delmängd. Specialisering som idé tillämpas även inom värderingsteori .

Intuitionen av att övre element är mer specifik återfinns vanligtvis i domänteorin , en gren av ordningsteori som har gott om tillämpningar inom datavetenskap.

Övre och undre set

Låt X vara ett topologiskt rum och låt ≤ vara specialiseringsförordningen på X . Varje öppen uppsättning är en övre uppsättning med avseende på ≤ och varje sluten uppsättning är en lägre uppsättning . Motsatserna är i allmänhet inte sanna. Faktum är att ett topologiskt utrymme är ett Alexandrov-diskret utrymme om och bara om varje övre uppsättning också är öppen (eller motsvarande varje nedre uppsättning också är stängd).

Låt A vara en delmängd av X . Den minsta övre uppsättningen som innehåller A betecknas ↑ A och den minsta nedre uppsättningen som innehåller A betecknas ↓ A . Om A = { x } är en singelton använder man notationen ↑ x och ↓ x . För x ∈ X har man:

• ↑ x = { y ∈ X : x ≤ y } = ∩{öppna mängder som innehåller x }.
• ↓ x = { y ∈ X : y ≤ x } = ∩{slutna mängder som innehåller x } = cl{ x }.

Den nedre uppsättningen ↓ x är alltid stängd; den övre uppsättningen ↑ x behöver dock inte vara öppen eller stängd. De slutna punkterna i ett topologiskt utrymme X är just de minimala elementen i X med avseende på ≤.

Exempel

• I Sierpinski-utrymmet {0,1} med öppna mängder {∅, {1}, {0,1}} är specialiseringsordningen den naturliga (0 ≤ 0, 0 ≤ 1 och 1 ≤ 1).
• Om p , q är element av Spec( R ) ( spektrumet för en kommutativ ring R ) så är p ≤ q om och endast om q ⊆ p (som primideal ). Således är de slutna punkterna i Spec( R ) exakt de maximala idealen .

Viktiga egenskaper

Som namnet antyder är specialiseringen preorder en preorder, dvs den är reflexiv och transitiv .

₀ Ekvivalensrelationen som bestäms av specialiseringsförordningen är bara den för topologisk omöjlighet . Det vill säga, x och y är topologiskt omöjliga att särskilja om och endast om x ≤ y och y ≤ x . Därför antisymmetrin för ≤ exakt T- separationsaxiomet: om x och y inte går att särskilja så är x = y . I detta fall är det motiverat att tala om specialiseringsordningen .

Å andra sidan är symmetrin för specialiseringsförbeställning ekvivalent med R- ₀ separationsaxiomet: x ≤ y om och endast om x och y är topologiskt omöjliga att särskilja. Det följer att om den underliggande topologin är T ₁ så är specialiseringsordningen diskret, dvs man har x ≤ y om och endast om x = y . Därför är specialiseringsordningen av lite intresse för T ₁ -topologier, speciellt för alla Hausdorff-utrymmen .

Varje kontinuerlig funktion $f$ mellan två topologiska utrymmen är monoton med avseende på specialiseringsförordningarna för dessa utrymmen: $x\leq y$ innebär $f(x)\leq f(y).$ Det omvända är dock inte sant i allmänhet. I kategoriteorispråket har vi sedan en funktion från kategorin topologiska utrymmen till kategorin förbeställda mängder som tilldelar ett topologiskt utrymme dess specialiseringsförordning. Denna funktion har en vänster adjoint , som placerar Alexandrov-topologin på en förbeställd uppsättning.

₀ Det finns utrymmen som är mer specifika än T- utrymmen för vilka denna ordning är intressant: de nyktra utrymmena . Deras förhållande till specialiseringsordningen är mer subtil:

För alla nykter utrymme X med specialisering ordning ≤, vi har

• ( X , ≤) är en riktad fullständig partiell ordning , dvs varje riktad delmängd S av ( X , ≤) har en supremum sup S ,
• för varje riktad delmängd S av ( X , ≤) och varje öppen mängd O , om sup S är i O , så har S och O icke-tom skärningspunkt .

Man kan beskriva den andra egenskapen genom att säga att öppna uppsättningar är otillgängliga av riktad suprema . En topologi är ordningskonsistent med avseende på en viss ordning ≤ om den inducerar ≤ som dess specialiseringsordning och den har ovanstående egenskap av otillgänglighet med avseende på (befintlig) suprema av riktade mängder i ≤.

Topologier på beställningar

Specialiseringsordningen ger ett verktyg för att få en förbeställning från varje topologi. Det är naturligt att fråga efter det omvända också: Erhålls varje förordning som en specialiseringsförordning av någon topologi?

Faktum är att svaret på denna fråga är positivt och det finns i allmänhet många topologier på en mängd X som inducerar en given ordning ≤ som deras specialiseringsordning. Alexandroff- topologin för ordningen ≤ spelar en speciell roll: det är den finaste topologin som inducerar ≤. Den andra ytterligheten, den grövre topologin som inducerar ≤, är den övre topologin , den minsta topologin inom vilken alla komplement av mängder ↓ x (för vissa x i X ) är öppna.

Det finns också intressanta topologier mellan dessa två ytterligheter. Den finaste sobra topologin som är ordningskonsistent i ovanstående mening för en given ordning ≤ är Scott-topologin . Den övre topologin är dock fortfarande den grövsta nyktra ordningskonsistenta topologin. Faktum är att dess öppna uppsättningar till och med är otillgängliga för någon suprema. Därför är varje nyktert utrymme med specialiseringsordning ≤ finare än den övre topologin och grövre än Scott-topologin. Ändå kan ett sådant utrymme misslyckas med att existera, det vill säga det existerar delordningar för vilka det inte finns någon nykter ordningskonsistent topologi. Speciellt Scott-topologin är inte nödvändigtvis nykter.

• MM Bonsangue, Topological Duality in Semantics , volym 8 av Electronic Notes in Theoretical Computer Science , 1998. Reviderad version av författarens Ph.D. avhandling. Tillgänglig online , se särskilt kapitel 5, som förklarar motiven ur denotationssemantikens synvinkel inom datavetenskap. Se även författarens hemsida .