Delvis beställt utrymme

Inom matematiken är ett partiellt ordnat rum (eller pospace ) ett topologiskt rum $X$ utrustat med en sluten partiell ordning $\leq$ , dvs en partiell ordning vars graf $\{(x,y)\in X^{2}\mid x\leq y\}$ är en sluten delmängd av $X^{2}$ .

Från pospaces kan man definiera dimaps , dvs kontinuerliga kartor mellan pospaces som bevarar ordningsrelationen.

Ekvivalenser

För ett topologiskt utrymme $X$ utrustat med en partiell ordning $\leq$ , är följande ekvivalenta:

• $X$ är ett delvis ordnat utrymme.
• För alla $x,y\in X$ med $x\not \leq y$ , finns det öppna mängder $U,V\subset X$ med $x\in U,y\in V$ och $u\not \leq v$ för alla $u\ i U,v\in V$ .
• För alla $x,y\in X$ med $x\not \leq y$ , finns det disjunkta kvarter $U$ av $x$ och $V$ av $y$ så att $U$ är en övre mängd och $V$ är en lägre mängd.

Ordertopologin är ett specialfall av denna definition, eftersom en total ordning också är en partiell ordning.

Egenskaper

Varje pospace är ett Hausdorff-utrymme . Om vi ​​tar likhet $=$ som partiell ordning, blir denna definition definitionen av ett Hausdorff-utrymme.

Eftersom grafen är stängd, om $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ och $\left (y_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ är nät som konvergerar till x respektive y , så att $x_{\alpha }\leq y_{\alpha }$ för alla $\alpha$ , sedan $x\leq y$ .

Se även

• Ordnat vektorutrymme – Vektorutrymme med en delordning
• Ordnat topologiskt vektorutrymme
• Topologiska vektorgitter

•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .

externa länkar

• beställt utrymme på Planetmath